好玩的数学 —— 神奇幻方及其中包含的数学之美

1. 好玩的数学——神奇幻方及其中包含的数学之美好玩的数学——神奇幻方及其中包含的数学之美 经济学院 金融工程 1111787 张琪

2. 神奇而又美妙的幻方世界 幻方，又称纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成。通常幻方由从1到的连续整数组成，其中n为正方形的行或列的数目。其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等，这个和数就叫“幻方常数”或“幻和”。显然，对于任意n阶的幻方来说，其幻方常数S和方阵阶数n的关系是。例如3阶的幻方常数是15，4阶的幻方常数是34……

3. 百变幻方 百变幻方——数学领域中的一道名题。幻方是几千年前中国人首先发自现的，后来传到了世界各地，引起了广泛的关注。幻方是简单得人人都可以理解的数学现象，但它又蕴含着许多人们至今仍无法回答的问题，因此自然而然成为了数学领域中受人关注的一个课题。

4. 幻方的起源——洛书 幻方是科学的结晶与吉祥的象征，发源于我国古代的洛书——九宫图。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。洛书以其高度抽象的内涵，对我国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。同时，它又极其富有数学上的美感。

6. 九宫图中的数学规律

7. 在这一个小小的九宫图中却隐藏着许多的数字规律。从最浅显的开始：各行、列、对角线的和皆为15。上下两行平方和皆为101，左右两列平方和皆为89。在这一个小小的九宫图中却隐藏着许多的数字规律。从最浅显的开始：各行、列、对角线的和皆为15。上下两行平方和皆为101，左右两列平方和皆为89。

8. 用数字的众数和规律去分析此图时就会发现，任意两组数字的随机组合互相相乘，其结果的众数和都为9，例如第一行数字的一个随机组合数字为924，第二列的一个随机组合数字为159，两者相乘，其结果为146916，求其众数和，得1+4+6+9+1+6=27，2+7=9，可见，结果的众数和都为9。用数字的众数和规律去分析此图时就会发现，任意两组数字的随机组合互相相乘，其结果的众数和都为9，例如第一行数字的一个随机组合数字为924，第二列的一个随机组合数字为159，两者相乘，其结果为146916，求其众数和，得1+4+6+9+1+6=27，2+7=9，可见，结果的众数和都为9。

9. 而且，如果我们把对角线分为两族，自左上角到右下角的主对角线和与它平行的两条折对角线称为主族，反方向的对角线称为副族，则会衍生出更多的规律：幻方中间一行、中间一列和每条主对角线上的3个数当做一个3位数正读和反读相加之和都等于1110，而且第1、第3两行数和第1、第3两列数以及主、副两条折对角线正读和反读之和折半也等于1110：而且，如果我们把对角线分为两族，自左上角到右下角的主对角线和与它平行的两条折对角线称为主族，反方向的对角线称为副族，则会衍生出更多的规律：幻方中间一行、中间一列和每条主对角线上的3个数当做一个3位数正读和反读相加之和都等于1110，而且第1、第3两行数和第1、第3两列数以及主、副两条折对角线正读和反读之和折半也等于1110：

10. 第2行： 357+753=1110 第2列： 951+159=1110 对角线： 456+654=1110 258+852=1110 第1、3行： [(492+294)+(816+618)]/2=1110 第1、3列： [(438+834)+(276+672)] /2=1110 主折对角线： [(231+132)+(978+879)] /2=1110 副折对角线： [(471+174)+(936+639)] /2=1110

11. 大家觉得是不是很神奇？因此我们完全有理由在通常的幻方常数15之外，为洛书3阶幻方定义第2个特殊的幻方常数1110，而且它同15一样，有8个之多。由此可见，洛书3阶幻方不但在配置9个数字上非常均衡和对称，富有和谐之美，而且在把行、列看做一个整体的情况下，其数字的配置也非常均衡和对称。大家觉得是不是很神奇？因此我们完全有理由在通常的幻方常数15之外，为洛书3阶幻方定义第2个特殊的幻方常数1110，而且它同15一样，有8个之多。由此可见，洛书3阶幻方不但在配置9个数字上非常均衡和对称，富有和谐之美，而且在把行、列看做一个整体的情况下，其数字的配置也非常均衡和对称。

12. 怎样构造幻方 在对于幻方的研究中，首先一个问题当然是如何构造幻方。在幻方构造法的研究方面，已经取得了很大的进展，有很大成绩。至今为止已经发展了许多巧妙不同的幻方构造法。最简单的幻方就是平面幻方，此外还有立体幻方、高次幻方等。对于立体幻方、高次幻方目前世界上很多数学家仍在研究，现在我们只讨论平面幻方。

13. 对平面幻方的构造，分为三种情况： N为奇数 N为双偶数（n=2×2m形式的偶数） N为单偶数(n=2（2m+1）形式的偶数)

14. N为奇数 此类最为简单，构造方法有连续摆数法(暹罗法)、阶梯法(楼梯法) 、奇偶数分开的菱形法等，下面以连续摆数法为例，向大家介绍奇数阶幻方的构造法。

15. 连续摆数法： 把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。按照这一法则构成5阶幻方的示例如下图：

17. N为双偶数 构造方法有对称法，对角线法，比例放大法等 N为单偶数 构造的方法有斯特雷奇法、LUX法等

19. 至此，我对奇数阶、单偶数阶、双偶数阶幻方都已分别介绍了一些构造方法，当然，也有一些方法可以构造任意阶的幻方，如镶边法、相乘法等，有兴趣的同学可以利用课余时间了解这些方法，相信对开拓我们的思维一定有很大的帮助。至此，我对奇数阶、单偶数阶、双偶数阶幻方都已分别介绍了一些构造方法，当然，也有一些方法可以构造任意阶的幻方，如镶边法、相乘法等，有兴趣的同学可以利用课余时间了解这些方法，相信对开拓我们的思维一定有很大的帮助。

21. 小结 相信通过以上的介绍，大家一定对幻方有了更多的了解，并且为幻方所感染。我们可以看到幻方所具有的幻性是十分丰富的，其分布规律，其结构关系，都表现出惊人的和谐对称性，及整齐一律的美，并蕴含深奥的哲理理念。它可以激起我们想象空间的升华，使我们在数字结构中感受数学之美。

22. 谢谢观看