over voetbal enzo n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Over voetbal enzo PowerPoint Presentation
Download Presentation
Over voetbal enzo

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 23

Over voetbal enzo - PowerPoint PPT Presentation


  • 187 Views
  • Uploaded on

Over voetbal enzo. Hoeveel zeshoeken bevat een voetbal?. Probleem: onmogelijk om een voetbal te maken met alleen zeshoeken. Bovenstaande figuur is een vlakvulling: een vlak rooster. De veelzijdigheid van bollen. Hoekpunten n. Zijden n. 1. Buren 2. 2. Diagonalen n*(n-3)/2. n. 3.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Over voetbal enzo' - homer


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
over voetbal enzo
Over voetbal enzo

Hoeveel zeshoeken bevat een voetbal?

Probleem:

onmogelijk om een voetbal te maken

met alleen zeshoeken

Bovenstaande figuur is een vlakvulling:

een vlak rooster

De veelzijdigheid van bollen

veelhoeken polygonen

Hoekpunten n

Zijden n

1

Buren 2

2

Diagonalen n*(n-3)/2

n

3

Veelhoeken (polygonen)

Convexe veelhoek:

Alle diagonalen vallen binnen veelhoek

recursieve constructie

1

1

2

2

n

n

3

3

Recursieve Constructie:

Herhaald afknippen

Een n-hoek bekom je

als je vertrekkende vanuit een driehoek

n-3 maal een hoekpunt wegsnijdt.

Herhaald bijplakken

Een n-hoek bekom je door

n-2 driehoeken aan elkaar te plakken.

De som van de hoeken van een n-hoek

= (n-2)*180°

regelmatige veelhoeken
Regelmatige veelhoeken

Gegeven: r(=1) en n(=9)

a=

regelmatige veelhoeken1
Regelmatige veelhoeken

z=2*r*sin(180°/n)

a=r*cos(180°/n)

Opp =

r2*sin(180°/n)* cos(180°/n)

= r2*sin(360°/n)/2

Opp n-hoek=n*r2/2*sin(360°/n)

Omtrek n-hoek=2*n*r*sin(180°/n)

Opp 9-hoek=9/2*sin(40°)=2,89

Omtrek 9-hoek=2*9*sin(20°)=6,16

veelvlakken
veelvlakken

Een veelvlak is een ruimtelijke figuur

begrensd door vlakke veelhoeken: Zijden of facetten(diamant)

Ribben

Hoekpunten

Buren zijn hoekpunten verbonden door ribbe

Diagonalen:

zijdediagonaal

lichaamsdiagonaal

slide7
orde

5

3

3

3

3

3

3

5

3

3

De orde van een zijde =

Aantal begrenzende ribben

De orde van een hoekpunt =

Aantal ribben die toekomen

prisma n
Prisma{n}

Grondvlak // bovenvlak

3

Opstaande ribben

3

Hoogte h:

afstand boven-grond

3

5

3

3

4

h

4

De orde van een zijde =

zijvlakken orde 4

grond en boven orde n

4

3

3

3

5

De orde van een hoekpunt =

allemaal orde 3

3

3

inh=opp(grond)*h

piramide n
Piramide {n}

grondvlak

top

opstaande ribben

5

Hoogte h:

afstand top-grondvlak

3

3

3

3

3

3

5

3

3

inh=opp(grond)*h/3

De orde van een hoekpunt =

grondvlak orde 3

top orde n

De orde van een zijde =

zijvlakken orde 3

grondvlak orde n

formule van euler
Formule van Euler

Voor convexe veelvlakken geldt steeds:

H+Z-R=2

platonische veelvlakken
Platonische veelvlakken

Tetraëder

Kubus

octaëder

Slechts 5

Zijden zijn identieke regelmatige veelhoeken

EN &

Dus alle ribben even lang

Alle hoekpunten hebben zelfde orde

dodeca der
dodecaëder

twaalfvlak

12 regelmatige 5-hoeken

Orde hoekpunten 3

Orde zijden 5

icosa der
Icosaëder

20 regelmatige 3-hoeken

Orde hoekpunten 5

Orde zijden 3

dualiteit
Dualiteit

Dodecaëder  Icosaëder

Kubus  octaëder

Verbind middelpunten van zijden

duale in tabel
Duale in tabel

Het duale van afknotten is uitstulpen

geode
geode

Een veelvlak waarbij elk

Hoekpunt op een bol ligt

En orde 5 of 6 heeft

Richard Buckminster Fuller

(1895-1983)

fullerenen
Fullerenen

Het duale van een geode

wordt een Fullereen genoemd

Onze voetbal is een

Fullereen F(1,1)

ook dit nog
Ook dit nog

H+Z-R=2

5H5+6H6=2R=3Z

Euler

Telt het aantal ribben uit elke punt

Elke ribbe wordt dubbel geteld

Elke zijde heeft 3 ribben,

maar weeral dubbel geteld

12H+12Z-12R=24

2H5+2(5H5+6H6)+12Z-6(2R)=24

2H5+2(3Z)+12Z-6(3Z)=24

In elke geode zijn er exact 12 hoekpunten van orde 5.

H=H5+H6

2H5=24

voetbal
Voetbal?

H+Z-R=2

3H=2R=6Z

Euler

Telt het aantal ribben uit elke punt

Elke ribbe wordt dubbel geteld

Elke zijde heeft 6 ribben,

maar weeral dubbel geteld

6H+6Z-6R=12

2(3H)+6Z-3(2R)=12

2(6Z)+6Z-3(6Z)=12

Er bestaan geen voetballen met alleen zeshoeken

012