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SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Y APLICACIONES

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1.1 Objetivos 1.2 Ángulo trigonométrico. Características 1.3 Sistemas de medidas 1.4 Fórmula general de conversión de sistemas de medidas angulares 1. 5 Problemas elementales sobre Máximos y Mínimos de una expresión 1. 6 Longitud de arco 1. 7 Sector Circular 1. 8 Trapecio circular

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sistemas de medidas angulares y aplicaciones
1.1 Objetivos
  • 1.2 Ángulo trigonométrico. Características
  • 1.3 Sistemas de medidas
  • 1.4 Fórmula general de conversión de sistemas de medidas angulares
  • 1. 5 Problemas elementales sobre Máximos y Mínimos de una expresión
  • 1. 6 Longitud de arco
  • 1. 7 Sector Circular
  • 1. 8 Trapecio circular
  • 1. 9 Área de la Faja o Zona Circular
  • 1.10 Aplicaciones de la Longitud de Arco
  • 1.11 Velocidad angular
  • 1.12 Longitud y latitud. Ecuador
  • 1.13 Problemas de relojes
  • 1.14 Problemas propuestos
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Y APLICACIONES
1 1 objetivos
Usted deberá ser capaz de:
  • Convertir medidas de ángulos en grados a medidas en radianes, expresando la respuesta en términos de .
  • Convertir medidas de ángulos en grados a medidas en radianes, expresando la solución como un número, y no en términos de .
  • Convertir medidas en radianes a medidas en grados.
  • Describir las características de los sistemas de medidas angulares basados en grados sexagesimales, centesimales y radianes.
1.1 OBJETIVOS
definici n
Trigonometría es una parte de las Matemáticas Elementales Puras que se encarga, generalmente, del análisis y el estudio de las figuras triangulares, es decir, que estudia la resolución analítica de los triángulos, vale decir, el cálculo numérico de sus elementos principales (lados, ángulos y líneas notables) relacionando las magnitudes angulares con las magnitudes lineales (lados) utilizando para ello algunas relaciones, llamadas funciones trigonométricas, que se definirán en los capítulos siguientes.DEFINICIÓN
definici n1
La palabra Trigonometría se deriva de tres vocablos griegos, a saber:

Tri- gono - metron

Tres ángulo medida

y cuyo significado, etimológicamente, podemos expresarlo como:

“medida de los tres ángulos de un triángulo”.

DEFINICIÓN
ciencia de la medida indirecta
A la Trigonometría se le conoce como la ciencia de la medida indirecta, pues por medio de ésta, pueden ser calculadas, por ejemplo, las distancias que no se pueden medir directamente, de manera física; así por ejemplo, si se deseara medir la altura de una montaña o el ancho de un río, no es necesario, para tales fines, el subir a la montaña o cruzar el río. Ciencia de la medida indirecta
aplicaciones e importancia
Las primeras aplicaciones de la Trigonometría se hicieron en la Agrimensura (el arte de la medición de tierras) y la navegación.

Actualmente la aplicación de la Trigonometría es muy amplia y su importancia como curso básico es fundamental para muchas y variadas materias tales como sus aplicaciones a la Geodesia, Topografía, Astronomía, Navegación, Aeronáutica, Matemáticas Superiores, (tanto en su aplicación al Cálculo Diferencial e Integral, como a la Geometría Analítica), en las Matemáticas Aplicadas (series de Fourier), en la Física y en general en la Ingeniería (principalmente en Electricidad y Electrónica, en Mecánica, Ingeniería Civil, etc.).

Aplicaciones e importancia
d nde se aplica la trigonometr a1
APLICACIÓN A LOS PROBLEMAS DE TEMPERATURAS

f(t) = asen (bt + c) + d

DISEÑO DE UN COLECTOR SOLAR

donde = - , =+, y =sen-1(sen/1.52).

¿Dónde se aplica la Trigonometría?
d nde se aplica la trigonometr a2
Bloque de Masa m

mg Sen

mg Cos

mg

otras aplicaciones

Descomposición de fuerzas

( vectores )

¿Dónde se aplica la Trigonometría?
d nde se aplica la trigonometr a3
x

xMAXSen (wt)

K

m

x

xMAX

Posición de equilibrio

t

2

w

Vibraciones

Movimiento Armónico Simple (MAS)

¿Dónde se aplica la Trigonometría?
d nde se aplica la trigonometr a4
VMAXSen (wt)

t

VMAX

2

w

IMAX

- 

w

IMAXSen (wt+)

I

R

V

C

Circuitos eléctricos

Circuito R – C ,

alimentado por una fuente

de voltaje senoidal

¿Dónde se aplica la Trigonometría?
clasificaci n de la trigonometr a
Solamente, por motivos didácticos, para su mejor estudio, dividamos la trigonometría en tres grandes partes, a saber:
  • I. Trigonometría Plana.
  • II. Trigonometría Esférica.
  • III. Trigonometría Hiperbólica.
Clasificación de la Trigonometría
trigonometr a plana
Es la ciencia que se ocupa del estudio de los triángulos planos y cuya base es la Geometría Euclideana; relacionando para ello los lados del triángulo con por lo menos un ángulo de dicho triángulo. Estableceremos muchas relaciones, entre las cuales podemos mencionar:

La Ley de Senos, Ley de Cosenos, Ley de las Tangentes, Ley de las Proyecciones, etc.

TRIGONOMETRÍA PLANA
ley de senos
En todo triángulo cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto a dicho lado y la razón de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.Ley de Senos:
ley de cosenos
En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo opuesto al primer lado.

Es decir, que si se conocen, por ejemplo, las medidas de las longitudes de los lados b y c y la medida del ángulo A, entonces, se puede determinar el lado “a” mediante la relación siguiente:

a2 = b2 + c2 - 2bc CosA

Ley de Cosenos:
ley de las proyecciones
En todo triángulo un lado es igual a la suma de las proyecciones de los otros dos lados sobre este lado. Es decir que:

b = c CosA + a CosC

Ley de las Proyecciones:
trigonometr a esf rica
Es la ciencia que se ocupa del estudio de los triángulos esféricos y cuya base es la Geometría no Euclideana.

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS ESFÉRICOS

Circunferencia Máxima: La intersección de un plano y una esfera es una circunferencia (Fig.1) que recibe el nombre de circunferencia máxima si el plano secante pasa por el centro de la esfera; en los demás casos, se llama circunferencia menor.

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Fig. 1

ngulo esf rico
Es el ángulo formado en una esfera por dos arcos secantes de circunferencias máximas. Los arcos de las circunferencias máximas son los lados del ángulo esférico, y el punto de intersección de los arcos es el vértice.Ángulo esférico:
tri ngulo esf rico
Es la superficie esférica limitada por tres circunsferencias máximas.

NicolaiLobachevsky (1793 - 1856)

Fue quien contribuyó en mayor proporción en el desarrollo, estudio y propiedades de la trigonometría esférica.

Triángulo Esférico:
trigonometr a hiperb lica
Esta trigonometría será de gran aplicación en las matemáticas universitarias y en las distintas ramas de la ingeniería. Resultan de las combinaciones de las funciones exponenciales ex y e-x , que merecen que se les dé un nombre y las definieron de la siguiente manera:

Definición:Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico están definidas por las relaciones:

TRIGONOMETRÍA HIPERBÓLICA
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En las figuras adjuntas, respectivamente, mostramos las gráficas de las funciones seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. En la mayor parte de las tablas matemáticas pueden encontrarse valores de estas funciones.
1 2 ngulo trigonom trico
En geometría elemental se define un ángulo plano como la figura geométrica que consiste de dos rayos (semirrectas) con sus puntos extremos en común. Estos puntos extremos comunes es el vértice y los rayos son los lados del ángulo.

Ángulo A0B ó B0A

m

A0B: medida del ángulo A0B

: número que expresa la medida del ángulo AOB

1.2 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
definici n2
Un ángulo trigonométrico es el ángulo engendrado o generado por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo (llamado vértice u origen) desde una posición inicial, llamado lado inicial, hasta una posición final, llamado lado final.
  • Sentido de Rotación:

La rotación de este rayo puede realizarse en sentido horario o en sentido anti-horario, lo cual para diferenciarlos asumiremos, por convención, que:

i) Si la rotación se efectúa en sentido anti-horario la medida del ángulo es positivo.

ii) Si la rotación se efectúa en sentido horario la medida del ángulo es negativo.

Definición:
magnitud
La magnitud o sentido de la rotación no se restringe de ninguna manera. Entonces podemos dar al lado inicial varias revoluciones en cualquier dirección respecto al vértice o punto inicial 0. Es decir, los ángulos trigonométricos son ilimitados. Es decir, no tiene límites, pueden tomar cualquier número real.Magnitud:
ngulos conocidos
Mencionaremos a continuación algunos ángulos importantes, que posteriormente, en el Capítulo II, les daremos el nombre de ángulos cuadrantales. Estos ángulos son:

1. Ángulo nulo:

3. Ángulo llano:

2. Ángulo recto:

4. Ángulo revolución:

Ángulos conocidos:
ngulo de una vuelta
Lado Inicial

A

Lado

Final

O

B

Es aquél ángulo generado

por una rotación completa.

Observación: Convencionalmente

el sentido es antihorario

Denominaremos la medida de este ángulo como el de UNA VUELTA

  • Relación entre ángulos trigonométricos

Los ángulos trigonométricos se relacionan todos en el mismo sentido positivo.

1. En la figura, hallar x

Ángulo de una vuelta
1 3 sistemas de medidas
Si consideramos que cada cantidad para ser medida, requiere de una unidad de la misma magnitud, se comprende fácilmente el hecho de que existan distintas clases de unidades de medida, y el conjunto de ellas, relacionadas entre sí, constituyen un sistema de medidas, que sirven para medir las cantidades correspondientes a una misma magnitud. Así, por ejemplo, tenemos el sistema de medidas angulares, el sistema de medidas de peso, el sistema de medidas de tiempo, etc.1.3 SISTEMAS DE MEDIDAS
sistemas de medidas angulares
Los diferentes sistemas de medición angular tienen como referencia el ángulo de una vuelta, el cual es dividido para obtener su respectiva unidad de medición angular.

Los grados se indican con ° (a°) escrito a la derecha y en la parte superior del número. Este sistema para medir ángulos, que es de uso general, recibe el nombre de Sistema Sexagesimal. También se usan los llamados Sistemas centesimal y el Sistema radial, dentro de la variedad de sistemas de conversión que sólo dependen de las unidades que se tomen como medida, constituyendo estos, los 3 sistemas más utilizados. Así tenemos:

Sistemas de Medidas Angulares
sistema sexagesimal o ingl s
Es el sistema que tiene por unidad principal al grado sexagesimal (1°) que es un arco correspondiente a un tres cientos sesentava parte de la circunferencia, es decir, un grado (º) resulta de dividir el ángulo de una vuelta en 360 partes iguales, por tanto: el ángulo de una vuelta es equivalente a 360º, o sea que:

1 circunferencia o revolución  360º

Sistema Sexagesimal o Inglés:
sistema centesimal o franc s
Este sistema tiene por unidad de medida el ángulo que se obtiene dividiendo la circunferencia en 400 partes iguales que se llaman grados centesimales(g), por tanto: el ángulo de una vuelta es equivalente a 400g.

1 circunferencia o revolución  400g

Sistema Centesimal o Francés:
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Antes de definir el tercer sistema de medida angular, definamos previamente algunos conceptos previos, tales como:

Arco: El arco de una circunferencia es una porción de dicha circunferencia.

Angulo Central: Es aquel ángulo cuyo vértice coincide con el centro de una circunferencia y cuyos lados son radios de la misma circunferencia.

sistema radial radiante o circular
L=R

R

1 rad

R

A

B

En este sistema el ángulo de una vuelta es equivalente a 2 radianes, siendo la unidad angular el radián (rad), el cual resulta de dividir el ángulo de una vuelta entre 2.

Radián: Se define el radián como la medida del ángulo central que subtiende, en cualquier circunferencia, un arco de longitud igual al radio.

1 rad57º17’44,8”

Sistema radial, radiante o circular:
slide34
Como resumen de todo lo dicho podemos mostrar la siguiente tabla de medidas angulares.

Medidas Angulares

Si

entonces podemos aproximar el valor de  por:

1 radián

1 grado , 1 grado centesimal

un mil
Es la unidad utilizada en los estudios militares, como la medida del ángulo central subtendido por un arco igual a 1/6400 de la circunferencia. El nombre de esta unidad proviene de que, aproximadamente.

Pordefinición: 1 mil =

6400 miles  360°

miles

Un mil:

1°=

1 mil=

y

a transformaciones de unidades de especie superior a inferior
Ejemplos:

1. Reducir: 28°35’ a segundos.

Solución:

28°(a)+35’(b)+14”

Donde: (a) y (b) son factores de conversión

A) Transformaciones de unidades de especie superior a inferior
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2. Reducir: 2°12’40” a segundos

Solución:

2°(a)+12’(b)+40”

Donde: (a) y (b) son factores de conversión

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3.Expresar en su forma compleja el ángulo cuya medida es 3,258º

Solución:

Sea  la medida del ángulo dado, luego: =3,258º, entonces:

=3º+0,258º

= 3º+15’+0,48’

 = 3º15’28,8”

1 4 f rmula general de conversi n del sistema de medidas angulares
En la sección anterior se ha estudiado los tres sistemas de medidas angulares más importantes, de la gran variedad que puedan existir, de acuerdo a la unidad que se elija como referencia. Ahora abordaremos el problema de establecer una relación que nos permita transformar, sin dificultad, de uno de los sistemas a los otros dos.

Consideremos un ángulo cualquiera “ ” tal que su medida en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial estén representados, respectivamente, por los números S, C y R, como se muestra en la figura adjunta:

1.4 FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN DEL SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
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B

Cg

R rad

360º

400 g

2 rad

A

El ángulo  es medido en los tres sistemas angulares. Por tanto S , C , R son numéricamente distintos pero representan la medida de un mismo ángulo; así :

S : Número en grados sexagesimales ( º )

C :Número en grados centesimales (g)

R : Número en radianes (rad)

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Podemos establecer una equivalencia de un ángulo en los diferentes sistemas de medidas angulares mediante la siguiente proporción:

k: es el resultado del cociente.

(No tiene unidad angular)

Proporción (cociente) que guarda la medida del ángulo  con respecto a la medida del ángulo de una vuelta y que es la misma para cualquier sistema de medición angular que se utilice. Entonces:

De la ec. anterior

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donde k es el resultado del cociente (no tiene unidades angulares) y hemos prescindido de las unidades angulares sobreentendiendo cuales son las unidades de S, C y R

o también:

Que es una relación fundamental de conversión a la que con frecuencia haremos referencia y donde:

S : Número de grados sexagesimales del ángulo,

C : Número de grados centesimales del ángulo,

R : Número de radianes del ángulo.

podemos establecer otras relaciones equivalentes, de mucha importancia, tales como:

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Podemos establecer que si:

Entonces:

Entonces:

10S = 9C

  • Nótese que las constantes de proporcionalidades K y K1 son diferentes; al resolver los problemas, se debe tener cuidado de no confundirlas. Algunas veces los estudiantes cometen este error, obteniendo así resultados erróneos.
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Ejemplos:

1. ¿A cuántos grados sexagesimales equivalen 50g?

Solución: Para dar respuesta a la pregunta planteada, podemos hacerlo de dos maneras distintas:

a) Por el factor de conversión:

Como: 50g = 50g x 1

b) se tiene que: 10S=9C

Como: C = 50g , entonces: 10 S = 9 (50)

50g = 45o

S = 45°

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2 ¿Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo si los números que expresan su medida en grados sexagesimales y centesimales (C) están definidos por:

S = 2K2 + 3K + 1 y C = 3K2 + K - 2 … ( I )

A) 16° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°

Solución: Como: 10S = 9C, luego, de (I):

10(2k2 + 3k + 1) = 9(3K2 + K - 2)

20K2 + 30K + 10 = 27K2 + 9K -18

K2 - 3K - 4 = 0 (K - 4)(K + 1) = 0

i) K = 4 S =2(4)2 + 3(4) + 1

ii) K = -1 S =2(-1)2 + 3(-1) + 1

S = 45°

S = 0°

b f rmulas de conversi n de grados sexagesimales y centesimales a radianes y viceversa
B) Fórmulas de Conversión de Grados Sexagesimales y Centesimales a Radianes y Viceversa.
c2 de radianes a centesimales r c
“Para convertir radianes a grados centesimales debemos multiplicar el número de radianes por el factor de conversión (200/ ), el resultado así obtenido nos dará el número de grados centesimales”. C2) De Radianes a Centesimales: R  C
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Las dos últimas fórmulas de conversión podemos expresarlo en el siguiente esquema:

Adicionalmente se puede obtener algunos resultados útiles, que con frecuencia se utilizarán en diversos ejercicios de este capítulo. Así, por ejemplo, de las fórmulas deducidas, logramos que:

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Adicionalmente se puede obtener algunos resultados útiles, que con frecuencia se utilizarán en diversos ejercicios de este capítulo. Así, por ejemplo, de las fórmulas deducidas, logramos que:
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Ejemplos:
  • Calcular el valor de un ángulo en radianes si se cumple que el producto expresado en los tres sistemas es

A) B) C) D) E)

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Hallar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que en los sistemas sexagesimal y centesimal se expresan, respectivamente, como S y C y que

y siendo  y  complementarios.

1 5 problemas elementales sobre m ximos y m nimos de una expresi n
Es un problema muy antiguo el tratar de optimizar una relación o función, problema que modernamente fue resuelto, de una forma bastante sencilla, por medio del cálculo diferencial. En esta sección no recurriremos al análisis del cálculo diferencial, sino más bien a unos principios básicos del estudio de los números reales tales como axiomas, propiedades y teoremas1.5 PROBLEMAS ELEMENTALES SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA EXPRESIÓN
1 6 longitud de arco
Objetivos:
  • Usted deberá ser capaz de:
    • Hallar la longitud del arco de una circunferencia, dada la medida de su ángulo del centro y la longitud del radio.
    • Hallar la medida del ángulo del centro de una circunferencia, dadas las longitudes del arco subtendido y del radio.
  • Hallar la longitud del radio de la circunferencia, dadas las medidas de la longitud de arco subtendido y la del ángulo central.
1. 6 Longitud de arco
1 7 sector circular
OBJETIVOS
  • Usted deberá ser capaz de:
  • Determinar la medida del área de un sector circular conocidos la medida del ángulo del centro y la longitud del radio.
  • Determinar la medida del área de un sector circular conocidas la medida del radio y la longitud del arco subtendido.
  • Determinar la medida del área de un sector circular conocidas la longitud del arco subtendido y la medida del ángulo central.
1. 7 Sector Circular
1 8 trapecio circular
OBJETIVOS: Ud. deberá ser capaz de:
  • Determinar la medida del área de un trapecio circular conocidos las longitudes de los lados curvos y el ancho del trapecio.
  • Determinar el ángulo formado por las prolongaciones de los lados curvos en función de las medidas de los lados curvos y del ancho del trapecio.
1. 8 Trapecio circular
1 9 rea de la faja o zona circular
Definición: Se llama zona circular o segmento circular de dos bases, a laporcióndel círculo comprendida entre dos cuerdas paralelas.
  • El área de una faja o zona circular que no contenga el centro de la circunferencia es igual a la diferencia entre el segmento correspondiente a la cuerda mayor y el segmento correspondiente a la cuerda menor.
  • Si el centro de la circunferencia estuviera dentro de la faja circular, entonces, se hallará el área de la faja restando del área del círculo el área de los segmentos correspondientes a las dos cuerdas.
1. 9 Área de la Faja o Zona Circular
1 10 aplicaciones de la longitud de arco
Existe una amplia gama de aplicaciones de longitud de arco en la Ingeniería, principalmente en la Ingeniería Mecánica. Daremos solamente algunas aplicaciones elementales.
  • Un elemento circular puede ser una rueda, un aro, un disco, un sistema de engranajes poleas, sistema de transmisión, etc. , los cuales ruedan sobre una superficie, y/o son partes de un mecanismo que transmite movimiento de giro (sin deslizamiento).
1.10 Aplicaciones de la Longitud de Arco
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