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SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Y APLICACIONES

1.1 Objetivos 1.2 Ángulo trigonométrico. Características 1.3 Sistemas de medidas 1.4 Fórmula general de conversión de sistemas de medidas angulares 1. 5 Problemas elementales sobre Máximos y Mínimos de una expresión 1. 6 Longitud de arco 1. 7 Sector Circular 1. 8 Trapecio circular

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  1. 1.1 Objetivos • 1.2 Ángulo trigonométrico. Características • 1.3 Sistemas de medidas • 1.4 Fórmula general de conversión de sistemas de medidas angulares • 1. 5 Problemas elementales sobre Máximos y Mínimos de una expresión • 1. 6 Longitud de arco • 1. 7 Sector Circular • 1. 8 Trapecio circular • 1. 9 Área de la Faja o Zona Circular • 1.10 Aplicaciones de la Longitud de Arco • 1.11 Velocidad angular • 1.12 Longitud y latitud. Ecuador • 1.13 Problemas de relojes • 1.14 Problemas propuestos SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Y APLICACIONES

  2. Usted deberá ser capaz de: • Convertir medidas de ángulos en grados a medidas en radianes, expresando la respuesta en términos de . • Convertir medidas de ángulos en grados a medidas en radianes, expresando la solución como un número, y no en términos de . • Convertir medidas en radianes a medidas en grados. • Describir las características de los sistemas de medidas angulares basados en grados sexagesimales, centesimales y radianes. 1.1 OBJETIVOS

  3. Trigonometría es una parte de las Matemáticas Elementales Puras que se encarga, generalmente, del análisis y el estudio de las figuras triangulares, es decir, que estudia la resolución analítica de los triángulos, vale decir, el cálculo numérico de sus elementos principales (lados, ángulos y líneas notables) relacionando las magnitudes angulares con las magnitudes lineales (lados) utilizando para ello algunas relaciones, llamadas funciones trigonométricas, que se definirán en los capítulos siguientes. DEFINICIÓN

  4. La palabra Trigonometría se deriva de tres vocablos griegos, a saber: Tri- gono - metron Tres ángulo medida y cuyo significado, etimológicamente, podemos expresarlo como: “medida de los tres ángulos de un triángulo”. DEFINICIÓN

  5. A la Trigonometría se le conoce como la ciencia de la medida indirecta, pues por medio de ésta, pueden ser calculadas, por ejemplo, las distancias que no se pueden medir directamente, de manera física; así por ejemplo, si se deseara medir la altura de una montaña o el ancho de un río, no es necesario, para tales fines, el subir a la montaña o cruzar el río. Ciencia de la medida indirecta

  6. Las primeras aplicaciones de la Trigonometría se hicieron en la Agrimensura (el arte de la medición de tierras) y la navegación. Actualmente la aplicación de la Trigonometría es muy amplia y su importancia como curso básico es fundamental para muchas y variadas materias tales como sus aplicaciones a la Geodesia, Topografía, Astronomía, Navegación, Aeronáutica, Matemáticas Superiores, (tanto en su aplicación al Cálculo Diferencial e Integral, como a la Geometría Analítica), en las Matemáticas Aplicadas (series de Fourier), en la Física y en general en la Ingeniería (principalmente en Electricidad y Electrónica, en Mecánica, Ingeniería Civil, etc.). Aplicaciones e importancia

  7. PROBLEMAS APLICADOS A SISMOLOGÍA PRESIÓN DEL TÍMPANO p(t)=Asenwt+Bsen(wt+) ¿Dónde se aplica la Trigonometría?

  8. APLICACIÓN A LOS PROBLEMAS DE TEMPERATURAS f(t) = asen (bt + c) + d DISEÑO DE UN COLECTOR SOLAR donde = - , =+, y =sen-1(sen/1.52). ¿Dónde se aplica la Trigonometría?

  9. Bloque de Masa m mg Sen mg Cos  mg  otras aplicaciones Descomposición de fuerzas ( vectores ) ¿Dónde se aplica la Trigonometría?

  10. x xMAXSen (wt) K m x xMAX Posición de equilibrio t 2 w Vibraciones Movimiento Armónico Simple (MAS) ¿Dónde se aplica la Trigonometría?

  11. VMAXSen (wt) t VMAX 2 w IMAX -  w IMAXSen (wt+) I R V C Circuitos eléctricos Circuito R – C , alimentado por una fuente de voltaje senoidal ¿Dónde se aplica la Trigonometría?

  12. Solamente, por motivos didácticos, para su mejor estudio, dividamos la trigonometría en tres grandes partes, a saber: • I. Trigonometría Plana. • II. Trigonometría Esférica. • III. Trigonometría Hiperbólica. Clasificación de la Trigonometría

  13. Es la ciencia que se ocupa del estudio de los triángulos planos y cuya base es la Geometría Euclideana; relacionando para ello los lados del triángulo con por lo menos un ángulo de dicho triángulo. Estableceremos muchas relaciones, entre las cuales podemos mencionar: La Ley de Senos, Ley de Cosenos, Ley de las Tangentes, Ley de las Proyecciones, etc. TRIGONOMETRÍA PLANA

  14. En todo triángulo cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto a dicho lado y la razón de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Ley de Senos:

  15. En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo opuesto al primer lado. Es decir, que si se conocen, por ejemplo, las medidas de las longitudes de los lados b y c y la medida del ángulo A, entonces, se puede determinar el lado “a” mediante la relación siguiente: a2 = b2 + c2 - 2bc CosA Ley de Cosenos:

  16. En todo triángulo un lado es igual a la suma de las proyecciones de los otros dos lados sobre este lado. Es decir que: b = c CosA + a CosC Ley de las Proyecciones:

  17. Es la ciencia que se ocupa del estudio de los triángulos esféricos y cuya base es la Geometría no Euclideana. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS ESFÉRICOS Circunferencia Máxima: La intersección de un plano y una esfera es una circunferencia (Fig.1) que recibe el nombre de circunferencia máxima si el plano secante pasa por el centro de la esfera; en los demás casos, se llama circunferencia menor. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA Fig. 1

  18. Es el ángulo formado en una esfera por dos arcos secantes de circunferencias máximas. Los arcos de las circunferencias máximas son los lados del ángulo esférico, y el punto de intersección de los arcos es el vértice. Ángulo esférico:

  19. Es la superficie esférica limitada por tres circunsferencias máximas. NicolaiLobachevsky (1793 - 1856) Fue quien contribuyó en mayor proporción en el desarrollo, estudio y propiedades de la trigonometría esférica. Triángulo Esférico:

  20. Esta trigonometría será de gran aplicación en las matemáticas universitarias y en las distintas ramas de la ingeniería. Resultan de las combinaciones de las funciones exponenciales ex y e-x , que merecen que se les dé un nombre y las definieron de la siguiente manera: Definición:Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico están definidas por las relaciones: TRIGONOMETRÍA HIPERBÓLICA

  21. En las figuras adjuntas, respectivamente, mostramos las gráficas de las funciones seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. En la mayor parte de las tablas matemáticas pueden encontrarse valores de estas funciones.

  22. En geometría elemental se define un ángulo plano como la figura geométrica que consiste de dos rayos (semirrectas) con sus puntos extremos en común. Estos puntos extremos comunes es el vértice y los rayos son los lados del ángulo. Ángulo A0B ó B0A m A0B: medida del ángulo A0B : número que expresa la medida del ángulo AOB 1.2 ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

  23. Un ángulo trigonométrico es el ángulo engendrado o generado por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo (llamado vértice u origen) desde una posición inicial, llamado lado inicial, hasta una posición final, llamado lado final. • Sentido de Rotación: La rotación de este rayo puede realizarse en sentido horario o en sentido anti-horario, lo cual para diferenciarlos asumiremos, por convención, que: i) Si la rotación se efectúa en sentido anti-horario la medida del ángulo es positivo. ii) Si la rotación se efectúa en sentido horario la medida del ángulo es negativo. Definición:

  24. La magnitud o sentido de la rotación no se restringe de ninguna manera. Entonces podemos dar al lado inicial varias revoluciones en cualquier dirección respecto al vértice o punto inicial 0. Es decir, los ángulos trigonométricos son ilimitados. Es decir, no tiene límites, pueden tomar cualquier número real. Magnitud:

  25. Mencionaremos a continuación algunos ángulos importantes, que posteriormente, en el Capítulo II, les daremos el nombre de ángulos cuadrantales. Estos ángulos son: 1. Ángulo nulo: 3. Ángulo llano: 2. Ángulo recto: 4. Ángulo revolución: Ángulos conocidos:

  26. Lado Inicial A Lado Final O B Es aquél ángulo generado por una rotación completa. Observación: Convencionalmente el sentido es antihorario Denominaremos la medida de este ángulo como el de UNA VUELTA • Relación entre ángulos trigonométricos Los ángulos trigonométricos se relacionan todos en el mismo sentido positivo. 1. En la figura, hallar x Ángulo de una vuelta

  27. Si consideramos que cada cantidad para ser medida, requiere de una unidad de la misma magnitud, se comprende fácilmente el hecho de que existan distintas clases de unidades de medida, y el conjunto de ellas, relacionadas entre sí, constituyen un sistema de medidas, que sirven para medir las cantidades correspondientes a una misma magnitud. Así, por ejemplo, tenemos el sistema de medidas angulares, el sistema de medidas de peso, el sistema de medidas de tiempo, etc. 1.3 SISTEMAS DE MEDIDAS

  28. Los diferentes sistemas de medición angular tienen como referencia el ángulo de una vuelta, el cual es dividido para obtener su respectiva unidad de medición angular. Los grados se indican con ° (a°) escrito a la derecha y en la parte superior del número. Este sistema para medir ángulos, que es de uso general, recibe el nombre de Sistema Sexagesimal. También se usan los llamados Sistemas centesimal y el Sistema radial, dentro de la variedad de sistemas de conversión que sólo dependen de las unidades que se tomen como medida, constituyendo estos, los 3 sistemas más utilizados. Así tenemos: Sistemas de Medidas Angulares

  29. Es el sistema que tiene por unidad principal al grado sexagesimal (1°) que es un arco correspondiente a un tres cientos sesentava parte de la circunferencia, es decir, un grado (º) resulta de dividir el ángulo de una vuelta en 360 partes iguales, por tanto: el ángulo de una vuelta es equivalente a 360º, o sea que: 1 circunferencia o revolución  360º Sistema Sexagesimal o Inglés:

  30. Este sistema tiene por unidad de medida el ángulo que se obtiene dividiendo la circunferencia en 400 partes iguales que se llaman grados centesimales(g), por tanto: el ángulo de una vuelta es equivalente a 400g. 1 circunferencia o revolución  400g Sistema Centesimal o Francés:

  31. Antes de definir el tercer sistema de medida angular, definamos previamente algunos conceptos previos, tales como: Arco: El arco de una circunferencia es una porción de dicha circunferencia. Angulo Central: Es aquel ángulo cuyo vértice coincide con el centro de una circunferencia y cuyos lados son radios de la misma circunferencia.

  32. L=R R 1 rad R A B En este sistema el ángulo de una vuelta es equivalente a 2 radianes, siendo la unidad angular el radián (rad), el cual resulta de dividir el ángulo de una vuelta entre 2. Radián: Se define el radián como la medida del ángulo central que subtiende, en cualquier circunferencia, un arco de longitud igual al radio. 1 rad57º17’44,8” Sistema radial, radiante o circular:

  33. Como resumen de todo lo dicho podemos mostrar la siguiente tabla de medidas angulares. Medidas Angulares Si entonces podemos aproximar el valor de  por: 1 radián 1 grado , 1 grado centesimal

  34. Es la unidad utilizada en los estudios militares, como la medida del ángulo central subtendido por un arco igual a 1/6400 de la circunferencia. El nombre de esta unidad proviene de que, aproximadamente. Pordefinición: 1 mil = 6400 miles  360° miles Un mil: 1°= 1 mil= y

  35. Ejemplos: 1. Reducir: 28°35’ a segundos. Solución: 28°(a)+35’(b)+14” Donde: (a) y (b) son factores de conversión A) Transformaciones de unidades de especie superior a inferior

  36. 2. Reducir: 2°12’40” a segundos Solución: 2°(a)+12’(b)+40” Donde: (a) y (b) son factores de conversión

  37. 3.Expresar en su forma compleja el ángulo cuya medida es 3,258º Solución: Sea  la medida del ángulo dado, luego: =3,258º, entonces: =3º+0,258º = 3º+15’+0,48’   = 3º15’28,8”

  38. En la sección anterior se ha estudiado los tres sistemas de medidas angulares más importantes, de la gran variedad que puedan existir, de acuerdo a la unidad que se elija como referencia. Ahora abordaremos el problema de establecer una relación que nos permita transformar, sin dificultad, de uno de los sistemas a los otros dos. Consideremos un ángulo cualquiera “ ” tal que su medida en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial estén representados, respectivamente, por los números S, C y R, como se muestra en la figura adjunta: 1.4 FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN DEL SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

  39. B Sº Cg R rad  360º 400 g 2 rad A El ángulo  es medido en los tres sistemas angulares. Por tanto S , C , R son numéricamente distintos pero representan la medida de un mismo ángulo; así : S : Número en grados sexagesimales ( º ) C :Número en grados centesimales (g) R : Número en radianes (rad)

  40. Podemos establecer una equivalencia de un ángulo en los diferentes sistemas de medidas angulares mediante la siguiente proporción: k: es el resultado del cociente. (No tiene unidad angular) Proporción (cociente) que guarda la medida del ángulo  con respecto a la medida del ángulo de una vuelta y que es la misma para cualquier sistema de medición angular que se utilice. Entonces: De la ec. anterior

  41. donde k es el resultado del cociente (no tiene unidades angulares) y hemos prescindido de las unidades angulares sobreentendiendo cuales son las unidades de S, C y R o también: Que es una relación fundamental de conversión a la que con frecuencia haremos referencia y donde: S : Número de grados sexagesimales del ángulo, C : Número de grados centesimales del ángulo, R : Número de radianes del ángulo. podemos establecer otras relaciones equivalentes, de mucha importancia, tales como:

  42. A) Fórmulas de Conversión entre los Sistemas Sexagesimal y Centesimal.

  43. Podemos establecer que si: Entonces: Entonces: 10S = 9C • Nótese que las constantes de proporcionalidades K y K1 son diferentes; al resolver los problemas, se debe tener cuidado de no confundirlas. Algunas veces los estudiantes cometen este error, obteniendo así resultados erróneos.

  44. Ejemplos: 1. ¿A cuántos grados sexagesimales equivalen 50g? Solución: Para dar respuesta a la pregunta planteada, podemos hacerlo de dos maneras distintas: a) Por el factor de conversión: Como: 50g = 50g x 1 b) se tiene que: 10S=9C Como: C = 50g , entonces: 10 S = 9 (50) 50g = 45o S = 45°

  45. 2 ¿Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo si los números que expresan su medida en grados sexagesimales y centesimales (C) están definidos por: S = 2K2 + 3K + 1 y C = 3K2 + K - 2 … ( I ) A) 16° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75° Solución: Como: 10S = 9C, luego, de (I): 10(2k2 + 3k + 1) = 9(3K2 + K - 2) 20K2 + 30K + 10 = 27K2 + 9K -18 K2 - 3K - 4 = 0 (K - 4)(K + 1) = 0 i) K = 4 S =2(4)2 + 3(4) + 1 ii) K = -1 S =2(-1)2 + 3(-1) + 1 S = 45° S = 0°

  46. Lo expresado anteriormente lo podemos ilustrar en el siguiente diagrama: A1) Fórmula de Conversión de Grados Centesimales a Grados Sexagesimales

  47. Esta expresión nos permite convertir la medida de un ángulo del sistema sexagesimal al sistema centesimal: A2) Fórmula de Conversión de Grados Sexagesimales a Grados Centesimales

  48. B) Fórmulas de Conversión de Grados Sexagesimales y Centesimales a Radianes y Viceversa.

  49. Lo expresado anteriormente lo podemos ilustrar en el siguiente diagrama: B1) De Sexagesimales a Radianes: S  R

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