第 3 讲一元函数微积分

第3讲一元函数微积分 郑丰华

实验目的 1、学习用软件求一元函数积分的方法 2、从几何图形上直观理解定积分的定义 3、学习用软件解决定积分应用问题

实验内容 1、符号积分其中为符号表达式

[例1] 对 求积分。 >> f='cos(3*x+t)'; >> int(f) >> int(f,'t') >> int(f,0,pi/2) >> int(f,'t',0,pi/2) >> int(f,'m','n')

ans = 1/3*sin(3*x+t) ans = sin(3*x+t) ans = -1/3*cos(t)-1/3*sin(t) ans = 4*cos(x)^3-3*cos(x)-sin(3*x) ans = 1/3*sin(3*n+t)-1/3*sin(3*m+t)

[例2]计算广义积分 >> f='1/(1+x^2)'; >> int(f,-inf,inf) ans = pi

[例3]计算积分 >> f='exp(-x)*x^(-1/2)'; >> int(f,0,inf) ans = pi^(1/2)

[例4]求变上限积分的导数 >> syms x t; >> f=cos(pi*t^2); >> diff(int(f,sin(x),cos(x))) ans = -cos(pi*cos(x)^2)*sin(x) -cos(pi*sin(x)^2)*cos(x)

[例5]求变上限积分的极限 >> syms x t; >> f=cos(t^2); >> limit(int(f,0,x)/x) ans = 1

>>syms x t; >>y=t*exp(-t^2); >>f=int(y,0,x) >>ezplot(f) >>f=char(f); >>[xmin,ymin]=fminbnd(f,-0.5,0.5)

f = -1/2*exp(-x^2)+1/2 xmin = 0 ymin = 0

2.交互式近似积分 格式说明计算f在区间[0,1]上的近似积分；作变换化为

[例7] 利用rsums命令求积分 并观察定积分定义的几何意义.

>>syms a b x t u; >>f=exp(-t^2); >>s=eval(int(f,-1,1)) >>a=-1;b=1; >>u=a+(b-a)*x; >>rsums(subs(f,u)*(b-a))

3．定积分应用 [例8]在相距100m的两个高度相等的铁塔上悬挂一根电缆，允许电缆在中间下垂10m，试计算两塔之间所用电缆的长度。 [方法1] 建立如图所示直角坐标系 y 悬链线方程为： y=ach x/a a 0 -50 50 x

>>syms a c x; >>f1='a*cosh(50/a)-a-10'; >>ezplot(f1,[80,160]) >>f1=subs(f1,a,x); >>f1=char(f1); >>a=fzero(f1,130) >>f='a*cosh(x/a)'; >>l1=eval(2*int(sqrt(1+diff(f)^2),0,50))

a = 126.6324 l1 = 102.6187

[方法2] 折线法建立直角坐标系如图所示 >> L2=2*sqrt(50^2+10^2) L2 = 101.9804

[方法3] 抛物线法建立直角坐标系如图所示设抛物线方程为 50 -50 0

>> y=c*x^2; >>c1=solve('c*50^2-10'); >>y=subs(y,c,c1); >>L3=eval(2*int(sqrt(1+diff(y)^2),0,50)) >>e12=abs(l1-l2) >>e13=abs(l1-l3) L3 = 102.6061 e12 = 0.6383 e13 = 0.0126

上机实验题 一、基础型实验 1、计算下列不定积分（2）（1）（3）（4）

2、计算下列积分 （2）（1）（4）（3）

3、求下列极限 （1）（2） 4、求函数的极值。

二、应用型实验 空中缆绳长度问题某旅游景点从山脚到山顶有一缆车索道，全长约高度差为采用循环单线个铁塔，将缆绳修建，从下站到上站行经分为段，各段的水平距离用表示，高差用表示，其数据见下表：

每一段缆绳下垂的最低点不低于两端 铁塔最低塔顶悬挂绳处要求：（1）用折线法；（2）用抛物线法，估计整个索道工程所用的缆绳总长度。

第 3 讲一元函数微积分

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