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用机算 (MATLAB) 和建模实践改造工科线性代数（项目介绍）

用机算 (MATLAB) 和建模实践改造工科线性代数（项目介绍）. 西安电子科技大学 陈怀琛. 1. 立项依据. 根据 高教司函 [2008]192 号文件 ，建立了“使用信息技术工具改造课程项目”，资助 20 个利用计算机软硬件改造课程的项目。其中工科基础课 8 项（数、理、化、电各 2 项），经管类 6 项，艺术类 6 项。经过申报评审，教育部下达了教高厅函 [2009]1 号文，我校被批准作为 “用机算和建模实践改造工科线性代数课程” 项目的牵头单位。要求我校组织联合 15~20 个参与单位，推广试点两年，总结经验。将来再考虑向全国推广。. 2. 课程改造的理念.

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用机算 (MATLAB) 和建模实践改造工科线性代数（项目介绍）

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  1. 用机算(MATLAB)和建模实践改造工科线性代数（项目介绍）用机算(MATLAB)和建模实践改造工科线性代数（项目介绍） 西安电子科技大学 陈怀琛

  2. 1. 立项依据 • 根据高教司函[2008]192号文件，建立了“使用信息技术工具改造课程项目”，资助20个利用计算机软硬件改造课程的项目。其中工科基础课8项（数、理、化、电各2项），经管类6项，艺术类6项。经过申报评审，教育部下达了教高厅函[2009]1号文，我校被批准作为 “用机算和建模实践改造工科线性代数课程” 项目的牵头单位。要求我校组织联合15~20个参与单位，推广试点两年，总结经验。将来再考虑向全国推广。

  3. 2. 课程改造的理念 • 1)实行“需求牵引”，根据机械、电子专业后续课对矩阵运算的需求分析，把线性代数解题的目标定位为：“6阶以上、复数和超定问题”。 • 2)实行“技术推动”：引入MATLAB软件，把传统的“只会笔算”改造为“笔算与机算相结合”。    本次会议的论文[1]“科学计算能力培养与线性代数改革”就是分析这个问题的。 • 3)把矩阵建模和机算引导到后续课中去，实现无缝连接，推动相关后续课程的现代化。 • 本次会议的论文[2]“复杂线性系统建模的矩阵方法”给出了四门后续课程（电路、信号与系统、数字信号处理和自动控制原理）利用线性代数改革推动其内容现代化的例子。

  4. 3. 项目的实施进程 • 项目于2009年1月启动。 • 一、“机算”层次：在校内，主要是对全校5000名本科生的线性代数都加入了机算的内容，作为课程的要求；在校外，联合了16所参与大学，他们将在今年进行几百名学生的机算教学的试点，明年要超过1000人。这是第一个层次“机算”，关键是要培训教师。要使线性代数老师在思想上接受这个概念，需要做艰苦的工作，（其实初步掌握软件并不十分困难，）同时要准备相应的教材，我们准备了三本教材。 • 二、“建模”层次，主要针对后续课的改革，要争取后续课教师的参与，这个工作更加艰难。因为课程很多，教师分散，加上过去他们学的线性代数多时不用，当时也没有学软件，所以很难与线性代数课程改革挂上钩。

  5. 教材一、线性代数实践及MATLAB 本书的标志性特征： • 线性代数抽象吗？看了本书后，你会知道它的概念都基于空间形象。 • 线性代数冗繁吗？学了本书后，你会懂得它的计算全可有简明程序。 • 线性代数枯燥吗？读了本书后，你会发现它的应用极其广泛又精彩。 • 这本书是针对已学过线性代数理论的老师、工程师、研究生的“补丁书”

  6. 教材二、工程线性代数(MATLAB版) 四个主要特点： 1.基本概念都从几何图形引入，做到抽象与形象的结合； 2.一切繁琐计算都有简明程序，推动笔算与机算的结合； 3.大量实例诠释了课程的价值，实现理论与实践的结合； 4.能与后续课的需要无缝衔接，体现课程的辐射效应。

  7. 关于抽象与形象的结合 ① 三元方程组解的几何意义（适定、超定与欠定）； ② 两个向量的行列式是它们组成的平行四边形的面积； ③ 三个向量的行列式是它们组成的平行六面体的体积； ④ 二维、三维向量线性相关和线性无关的几何意义； ⑤ 平面（二维）线性变换的几何特征及其意义； ⑥二维特征值和特征向量的几何意义； ⑦三元齐次方程基础解系的几何特征； ⑧二元超定方程最小二乘解的几何表述； ⑨二次型化为标准型的不同方法的几何解释

  8. 关于笔算与机算的结合 ① 矩阵的赋值和其加、减、乘、除（求逆）命令； ② 矩阵化为最简行阶梯型的计算命令；[U0,ip]=rref(A) ③ 多元线性方程组MATLAB求解的几种方法；x=inv(A)*b, U=rref(A) ④ 行列式的几种计算机求解方法；D=det(A),[L,U]=lu(A);D=prod(diag(L)) ⑤ n个m维向量组的相关性及其秩的计算方法和命令; r=rank(A),U=rref(A) ⑥ 求欠定线性方程组的基础解系及超定方程解的MATLAB命令；xb=null(A) ⑦ 矩阵的特征方程、特征根和特征向量的计算命令；f=poly(A);[P,D]=eig(A) ⑧ 化二次型为标准型的MATLAB命令；yTDy=xTAx; 其中y=P-1x,

  9. 关于实现理论与实践的结合 ① 多项式插值系数的计算 ② 平板稳态温度的计算 ③ 交通流量的分析 ④ 成本核算问题 ⑤ 图及其矩阵表述 ⑥ 网络的矩阵分割和连接 ⑦ 弹性梁的柔度矩阵 ⑧ 用行列式计算面积

  10. 关于实现理论与实践的结合(续) ⑨ 化学方程的配平 ⑩ 减肥配方的实现 ⑾ 刚体平面运动的计算和绘图 ⑿ 混凝土配料中的应用 ⒀ 圆锥截面二次型方程插值问题 ⒁ 人口迁徙模型 ⒂ 物料混合问题（用到微分方程）

  11. 关于与后续课应用的衔接 ① 用线性代数解直流电路举例 ② 用线性代数解交流电路举例 ③ 用线性代数解线性系统中常微分方程的举例 ④ 用线性代数解线性系统中信号流图的举例 ⑤ 用线性代数求数字信号处理中的系统函数举例 ⑥ 用线性代数解静力学问题的举例 ⑦ 用线性代数解运动学问题的举例 ⑧ 用线性代数解机械测量学问题的举例 ⑨ 用线性代数解文献管理问题的举例 ⑩ 用线性代数解经济管理问题的举例

  12. 4. 用系统工程的概念来推动 • （1）教育现代化是党中央的一贯方针，体现在邓小平“三个面向”的题词和胡锦涛十七大报告中。过去教育部却没有给予足够重视，这次的立项可以说是一个好的开端。现代化就是要创新，就要和传统观念发生冲突，创新开始必定是少数，维护传统的一定是多数，而且有全套的体制和书籍文件支持。因此领导部门必须特别支持创新。尽管道路不会平坦，但这个历史潮流是绝对不会改变的。 • （2）谁来推动课程的现代化？教育属于上层建筑，首先要由经济基础的四个现代化对人才能力的需求反映到教育上来，首先反映到对专业课和学生的能力的现代化要求，对基础课的现代化要求则是要由专业课对基础课提出需求。这一环不抓，基础课很容易安于现状，几十年一贯制。

  13. 续用系统工程的概念来推动 • （3）制定和改革教学计划的关键在于把握课程与课程之间的衔接，如果这种衔接是建立在现代化的水平之上，那么这个计划就会是先进的。这种衔接要能充分体现后续课对基础课的需求，正是有这种明确不断增长的需求才能促使基础课的现代化；另一方面，基础课的改革给后续课提供了更高的平台，后续的专业课必须利用新的平台，提高本课程的起点，为此我们提出了“教学计划矩阵”的概念 [3]，希望教学行政部门采纳，使以后的教学计划修订建立在更加科学的基础上。 • （4）参与教学计划和教学大纲制订的领导和教师，必须具备全局的观念，不仅要熟悉自己教的课程，而且要对本课程的先修课和后续课都有较好的了解。特别是，对数学基础课的大纲不能由清一色的数学专家来规定。因为从线性代数可以看出，数学专家通常并不了解现代化对工科的最新需求。所以应该由工科专家为主确定课程的外延（目标），由数学专家为主确定它的内涵（实现方法）。

  14. 5、总目标—实现钱学森的预见 “…我想今天已是二十世纪后期，我们正面临世纪之交，所以要考虑二十一世纪会需要什么样的工科教育；保持五十年代的模式不行，保持八十年代的模式也不行。我想现在已经可以看到电子计算机对工程技术工作的影响；今后对一个问题求解可以全部让电子计算机去干，不需要人去一点一点算。而直到今天，工科理科大学一二年级的数学课是构筑在人自己去算这一要求上的。从解析几何、微积分、微分方程、复变函数论、偏微分方程等，无不如此。将来全部可以用电子计算机了，这套课就失去意义。所以理工科的数学课必须改革，数学课不是为了学生学会自己去求解，而是为了学生学会让电子计算机去求解，学会理解电子计算机给出的答案，知其所以然，这就是工科教学改革的部分内容。”

  15. 自动控制中应用实例之一 右图的控制系统 求输出输入关系

  16. 1. 用代入法的计算(30分钟）

  17. 2. 用矩阵法笔算(90分钟) • 为了求这个4*4矩阵的逆，推导就用了两页纸，整个推导用了90分钟。因为它不能只求一个输出，必须把四个输出全部求出来

  18. 3. 矩阵+计算机(5分钟) • 写出程序（用5分钟） • syms W1 W2 W3 W4 u1 u2 • Q(1,4)=-W3; Q(2,1)=W1; • Q(3,2)=W2; Q(4,3)=1; • P(2,1)=W4;P(1,1)=1;P(4,2)=1; • W=inv(eye(4)-Q)*P • X=W*[u1;u2] • 运行此程序即得到结果

  19. 用三种方法解题的比较 • 1、用中学的代入法，30分钟； • 2、用矩阵+笔算，90分钟 • 3、用矩阵+软件，5分钟 • 就解题的效率而言，线性代数比代数方法还要差！终于明白了，原来线性代数不是为手算设计的，它的优点必须在使用了计算机后才能显现。学线性代数而不用计算机，在学术上就是一个谬误，就好像学载重汽车的构造而不教开车、不给汽油一样，一点没有用，还不如手推车有用。

  20. x1uk3x4; x2x1; x3k3x2x4; x4qx7; x5x2k2x8; x6x5; x7k2x6x8; x8qx11; x9x6k1x12; x10x9; x11k1x10x12; x12qx10; x13yC0x12C1x11C2x7C3x3 13元13个线性代数方程，怎么解？用笔算还是计算机？ u(n) k0 x1 x2 x5 x6 x9 x10 k2 k1 k3 q k3 k2 k1 q q x3 x4 x7 x8 x11 x12 C3 C0 C2 C1 y(n)x13 滤波器计算的实例

  21. 本题的矩阵模型是

  22. 本题的MATLAB程序 • clear, syms q % 对符号变量进行定义 • k1=1/4; k2=1/2; k3=1/3; k0=1; % 给网络中的常数 • C0=-0.2; C1=0.8; C2=1.5; C3=1; • Q(4,7)=q; % Q的第一个赋值元素为符号变量 • Q(5,2)=1; Q(1,4)=-k3; Q(2,1)=1;% 为连接矩阵的非零元素赋值 • Q(3,2)=k3; Q(3,4)=1; Q(5,8)=-k2; • Q(6,5)=1; Q(7,6)=k2; Q(7,8)=1; • Q(8,11)=q; Q(9,6)=1; • Q(9,12)=-k1; Q(10,9)=1; • Q(11,10)=k1; Q(11,12)=1; Q(12,10)=q; • Q(13,3)=C3; Q(13,7)=C2; • Q(13,11)=C1; Q(13,12)=C0; • Q(13,13)=0; % 给右下角元素赋值，使未赋值元素全部为零 • P(1,1)=k0; P(13,1)=0; % 给P赋值， • W=inv(eye(size(Q))-Q)*P % 信号流图方程解 • pretty(W(13)) % 以美观的形式显示W中第13行

  23. 程序运行的结果 • 手工将q换成z-1，得到

  24. 大大显示了线性代数的威力 1. 线性代数对几乎所有后续课都非常有用； 2. 线性代数是组织海量数据进行科学计算的最好工具；（13*13=169个元素可变） 3. 算得最多的课程变成算得最少的课程。得益于它的规范化。 我们终于看到，钱学森“指挥计算机算”的话在矩阵建模问题上得到了证实，这使我们有更大的信心沿着这个方向去努力！历史的潮流说明了这是正确而可行的。但需要基础课和后续课老师共同努力。推动自己的课程与计算机相结合的改革！这样中国教育才能迈向现代化，才能与国际接轨！

  25. 获取改革资料的两个网址 • 教育部“使用信息技术工具改造课程项目”的官方网站http://kecheng.enetedu.com • 我们“用机算和建模实践改造工科线性代数课程” 项目的网站http://www.matlabedu.com

  26. 谢谢大家！

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