第 10 讲

第 10 讲 矢量与代数、平面

矢量及其线性运算 既有大小又有方向的量。几何上用有向线段 1.矢量等等。表示。数学记号可以是的模记作矢量的大小叫做矢量的模。模为 0 的矢量称为零矢量；模为 1 的矢量称为单位矢量。数学上只研究与起点无关的矢量，即所谓自由矢量。两矢量起点相同时若终点在同一直线上, 则称它们共线。规定零矢量与任意矢量共线。与a 模相等, 方向相反的矢量称为a 的负矢量，记作 -a。

矢量及其线性运算 2.矢量相等两个矢量相等, 当且仅当它们模相等且方向相同。作设有矢量任取点 A, 3.矢量的加法则以B为起点，（三角形法则）作矢量加法满足交换律、结合律。规定矢量的差为根据三角形法则可有如下不等式：

矢量及其线性运算 矢量a与实数 l 的乘积是一个矢 4.矢量与数的乘法当规定量, 记作la。时, la与反之与 a方向相反。 a方向相同；该运算满足如下算律：其中a, b为矢量,l, m 为常数。 a, b共线，当且仅当存在非零常数 l 使得 la=b。

思路概括 坐标矢量坐标运算矢量运算用矢量研究几何代数研究几何

y 矢量与坐标 A A2 P261 Th.1 1维情形 A O O A1 x 2维情形 O

3维情形 O ●

矢量运算与坐标运算 矢量加法：满足平行四边形法则。矢量乘法：…… 平行四边形法则化为坐标加法设则规定类似地，可规定

矢量运算与坐标运算 集合 P 集合 Q 设若且则称这两个带运算的集合同构。

矢量运算与坐标运算 空间矢量集三元坐标集二者同构

两（三）个矢量共线（面）当且仅当 它们线性相关。 0 矢量与任何矢量共线。矢量的方向余弦： z A 方向角：矢量与坐标轴正向的夹角方向余弦： O y x 矢量在坐标轴的投影：在y 轴:

矢量的数量积 设有矢量它们正向之间定义的夹角（简称夹角）为与的数量积为显然有数量积也称内积、点积。另外，根据定义及上式，

矢量的数量积 称矢量垂直（或正交），如果并不一定有显然，或另外，共线，当且仅当的夹角及b 例 1.求矢量的方向余弦。

矢量的矢量积 设有矢量它们之间的夹角为定义与的矢量积为矢量其方向垂直于且与和构成右手系；并且有矢量积也称叉积，记作：显然，并不一定有或共线，当且仅当另外，

矢量的矢量积 设则有都垂直的单位例 2、求与矢量。

矢量的矢量积 矢量积满足如下算律：证明略。

向量的混合积 设记作规定 a, b, c 的混合积为：即可以证明：练.求证

例 3.求点 所确定的三角形 ABC的面积 S及角 B。例 4.证明对任意三角形 ABC，成立如下等式：求例 5.已知 | a | = 10, | b | = 2, 求例 6.已知 | a | = 3, | b | = 2, 并求 a在 b上的投影。解答见黑板

空间平面的方程 z 1. 点法式方程 n 为平面已知 M0 p 的法矢量，点 ● M 在平面内，求平面方程。 ● 为平面解：设点 y O 则内任一点， x 此即所求方程。

空间平面的方程 z 1. 点法式方程 n M0 且以 M ● 例 7、求过点 ● 为法向量的平面的方程。解：依据公式，所求方程为 y O x

1.点法式方程 例 8、求过点的平面的方程。平面的法矢解：量必同时与垂直，因此可取平面法矢为得所求方程为

2. 一般方程 z 将平面的点法式方程展开，得 ( 1 ) 其中，称 ( 1 ) 式为平面的一般方程。 O y 例 9、已知求上图中三角形 PQR所 x 在平面的方程。

3. 截距式方程 例 11、求在 x轴上截距为 2 且与平面平行的平面的方程。其中，例 10、求在各坐标轴上截距相等（不为 0）, 由此考虑两平面的平面且过点的方程。平行的充要条件。

4. 两平面的夹角 规定两平面p1,p2的夹角q 为它们法矢量n1, n2 之间的夹角或其锐角补角。即 n1 例 12、求两平面 n2 之间的夹角 q 。

4. 两平面的夹角 和例 13、求两平面的夹角 q 。解：应用上面的公式有因此，

作业：P269. 7. 10. P275. 5. 6. P279. 2. 3. 7.

线性代数 n维矢量 n维矢量空间称为零向量，为a 的负向量.

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