1 / 85

Álgebra y Genética Cursillo

Álgebra y Genética Cursillo. “La falta de relación entre la Matemática y la Biología es o una tragedia o un escándalo o un reto, es difícil decidir cual de las tres” Gian Carlo Rota. Dr. Jesús Hernando Pérez Universidad Sergio Arboleda Stefany Moreno Instituto Alberto Merani.

hoai
Download Presentation

Álgebra y Genética Cursillo

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Álgebra y GenéticaCursillo “La falta de relación entre la Matemática y la Biología es o una tragedia o un escándalo o un reto, es difícil decidir cual de las tres” Gian Carlo Rota Dr. Jesús Hernando Pérez Universidad Sergio Arboleda Stefany Moreno Instituto Alberto Merani XVI Encuentro de Geometría y IV de Aritmética 23 a 25 de Junio de 2005

  2. Biomatemática • La Biomatemática es la ciencia mediante la cual se analiza un fenómeno biológico desde los modelos matemáticos, y se obtienen modelos matemáticos a partir de fenómenos biológicos. • La Sucesión de Fibonacci.

  3. Contenido del Cursillo • Primera Parte: • Introducción al Cursillo. • Tema: La Estructura Algebraica de la Herencia Genética. • Segunda Parte: • Tema: El Código Genético como un Álgebra de Codones. • Conclusiones Generales del Cursillo.

  4. Proyecto en proceso • Modelo Hawk – Dove. • Condiciones Generales: • Dos individuos (especies) compiten por un recurso. • Los individuos son de dos tipos: Hawk (Halcón) o Dove (Palomas). • Se utiliza el Modelo Hawk - Dove de la Teoría de Juegos en el cual los dos individuos son los jugadores. • Corroboración Experimental con larvas de Ischnura elegans (Odonato).

  5. PRIMERA PARTE

  6. Conceptos Biológicos Necesarios • Gen: Es la unidad fundamental de la herencia cuya existencia se puede confirmar por variantes alélicas y que ocupa un locus cromosómico concreto. • Cromosoma: Molécula de DNA, RNA y proteínas que forma una estructura filamentosa donde se encuentra la información genética en una secuencia lineal.

  7. Conceptos Biológicos Necesarios • Alelos: Uno de los posibles estados de un gen, diferente de otros alelos por sus efectos fenotípicos. • Diploidía: Doble dotación cromosómica (2n) en la cual los cromosomas se hallan en parejas.

  8. Conceptos Biológicos Necesarios • Haploidía: Dotación cromosómica simple (n). • Meiosis: Proceso de división celular en el cual de una sola célula diploide (2n) se pasa a cuatro haploides (n).

  9. Conceptos Biológicos Necesarios • Gameto: Célula reproductora Haploide (n) cuyo núcleo se fusiona con otra (n). • Zigoto: La célula diploide (2n) que resulta de la fusión de los gametos masculinos y femeninos.

  10. Conceptos Biológicos Necesarios • Homozigotos: Organismo diploide (2n) que lleva alelos idénticos en uno o más loci genéticos. • Heterozigotos: Organismo diploide que lleva dos alelos diferentes en uno o más loci genéticos.

  11. Conceptos Biológicos Necesarios • Genotipo: La constitución genética de un individuo. • Fenotipo: Características observables de un individuo.

  12. Conceptos Matemáticos Necesarios • Un conjunto G es un grupo si tiene una operación + (se nota (G,+)) tal que: 1. Para a, b, c  G a + (b + c) = (a + b) + c. 2. Existe un e  G tal que para todo a  G e + a = a + e = a. 3. Para todo a  G existe un a-1 tal que a + (-a) = (-a) + a = e. 4. Si + es conmutativa se dirá que el grupo es abeliano.

  13. Conceptos Matemáticos Necesarios • Un conjunto A es un anillo si tiene dos operaciones +, · (se nota (A, + , ·) ) las cuáles cumplen lo siguiente: 1. (A ,+) es un grupo abeliano. 2. Para a, b, c  G a · (b + c) = (a · b) + (a · c). (b + c) · a = b · a + c · a

  14. Conceptos Matemáticos Necesarios • Dado un grupo G y un subconjunto H de G, se dice que H es un subgrupo de G si • e  H (El neutro de G es neutro de H) • Para a, b  H, a + b  H. • Para a  H, (-a)  H. • Dado un anillo A y un subconjunto R de A, se dice que R es un subanillo de A si • R es un subgrupo de (A,+) • Para a, b  R, a · b  R

  15. Conceptos Matemáticos Necesarios • Para dos subconjuntos A y B de un anillo M, A·B esta definido como: {a·b| a  A y b  B} • Si A es un subconjunto de un anillo M, <A> es el subanillo más pequeño que contiene al conjunto A.

  16. Potencias Principales Para un anillo C, un x  C y un subanillo U de C las potencias principales están definidas inductivamente como: • x1 = x. • U1= U • xi = xi-1x i  N. • Ui = <Ui-1U>i  N. • Una población Pi representa el cruce entre Pi-1 y P.

  17. Potencias Enteras Para un anillo C, un x  C y un subanillo U de C las potencias enteras están definidas inductivamente como: • x[1] = x. • U[1]= U • x[i] = x[i-1]x[i-1] i  N. • U[i]= <U[I-1] U[I-1]>i  N. • Una población P[i] representa el cruce entre P[I-1] y P[I-1] .

  18. Potencias Enteras y Principales • Ejemplos: • x4 = x3 x = (x2 x) x = ((x x) x) x • x[4] = x[3] x[3] = (x[2]x[2])(x[2]x[2]) = ((x x)(x x)) ((x x)(x x)).

  19. Conceptos Matemáticos Necesarios • Un anillo (C, + , ·) es un cuerpo si satisface además las siguientes propiedades: • Es un Anillo en el cual la operación · tiene un elemento unidad (notado como 1), es conmutativa y asociativa. • Para todo a  C, a ≠0, existe un a-1 tal que a · a-1 = a-1· a = 1.

  20. R x M M r ·m (r, m) Conceptos Matemáticos Necesarios • Si R es un anillo, un R-módulo M es un grupo abeliano junto con una operación que satisface las siguientes propiedades: • a (b x) = (a b) x • a (x + y) = a x + a y • 1 x = x (Si el anillo tiene unidad) • (a + b) x = a x + b x Para todo a, b  R y todo x, y  M.

  21. Conceptos Matemáticos Necesarios • Si R es un anillo, una R-álgebra es un R – módulo A, tal que A es también un anillo y satisface la siguiente propiedad: (a x) y = a (x y) = x (a y) para todo a  R y todo x, y  A.

  22. Conceptos Matemáticos Necesarios • Un Homomorfismo entre grupos es una función f de un grupo A en un grupo B para la cual • f (a + b) = f (a) + f (b), con a, b ∈ A

  23. Conceptos Matemáticos Necesarios • Un Homomorfismo f de un grupo A en un grupo B es inyectivo si f(a) = f(b) implica que a = b. ∀ a,b ∈ A. • Un Homomorfismo f de un grupo A en un grupo B es sobreyectivo si ∀ b ∈ B existe un a ∈ A tal que f(a) = b. • Un Homomorfismo es un isomorfismo si es inyectivo y sobreyectivo.

  24. Conceptos Matemáticos Necesarios • Para un Homomorfismo f de un grupo A en un grupo B el núcleo (Kernel) esta definido como el siguiente subgrupo: • Ker (f) = {a ∈ A | f(a) = e}, donde e es el elemento neutro de B. • Para un anillo A, un elemento a ∈ A es nilpotente si an = 0 (Potencias Principales) para algún n ∈ Z+ (El menor n que cumple esta condición se denomina el índice de a) Para B subanillo de A, decimos que B es nilpotente si existe n ∈ N tal que el producto de cualesquiera n elementos de B es igual a 0.

  25. Conceptos Matemáticos Necesarios • Idempotentes: • Para un anillo A y un m ∈ A, m ≠0, m es idempotente si m2 = m. • Un subconjunto P de un anillo es idempotente si P · P = P. • Genéticamente, esto ultimo se interpreta como una población que independientemente de sus características genotípicas es estable.

  26. Conceptos Matemáticos Necesarios • Dado un Modulo W, un submòdulo H de W, es un subconjunto cerrado para las operaciones de W. • Si W1 y W2 son submódulos de un módulo W se define la suma interna como W1 + W2 = {w1 + w2 : wi∈Wi} • Si W1 + W2 = W, y si W1 ∩W2 = 0, W se dice que es la suma directa de W1 conW2 y se escribe W = W1 ⊕W2

  27. Álgebras con Realización Genética • Álgebras Gaméticas. • Álgebras Zigóticas.

  28. Tabla para un álgebra gamética A a A A ½(A+a) a ½(A+a) a

  29. Tabla para un álgebra zigótica AA Aa aa AA AA ½(AA+Aa) Aa Aa ½(AA+Aa) ¼AA+½Aa+¼aa ½(Aa+aa) ½(Aa+aa) aa aa Aa

  30. Carácter No Asociativo de la Herencia Genética • (P x Q) x R ‡ P x (Q x R) • Ejemplo: • A x (A x a) = ¾A + ¼a • (A x A) x a = ½ A +½a • Los elementos del Álgebra son sumas de la forma: w AA + y Aa + z aa

  31. Álgebras Gaméticas • Población con n alelos {a1,a2,...,an} . n aiaj = ∑ cijkak K=1 Tal que 0 ≤ cijk ≤ 1 i,j,k = 1,...,n n ∑ cijk = 1i,j= 1,...,n K=1 cijk = cjik i,j,k = 1,...,n

  32. Álgebras Zigóticas n • aijapq =∑ cij,pq,ksaks K ≤ s Tal que 0 ≤ cij,pq,ks ≤ 1 i,j,k,p,q,s = 1,...,n n ∑ cij,pq,ks= 1i,j,p,q= 1,...,n K=1 cij,pq,ks = cpq,ij,ks i,j,k,p,q,s = 1,...,n

  33. Álgebras con Realización Genética (Generalización) • Supongamos que A es un álgebra sobre R de dimensión n. • {a1,a2,...,an} una base de A sobre R. aiaj = ∑ cijkak K=1 Tales que 0 ≤ cijk ≤ 1 i,j,k = 1,...,n n ∑ cijk = 1i,j= 1,...,n K=1

  34. Álgebras Báricas • Un álgebra A sobre un campo k es un álgebra bárica si admite un homomorfismo no trivial w: A→ k. • w es llamado el homomorfismo de peso o la función bárica. • En algunos casos w no es único.

  35. Álgebras Báricas • Teorema 1. Tomemos A como una álgebra n- dimensional con realización genética sobre ℝ. Entonces A es un álgebra bárica.

  36. Álgebras Báricas • ¿Tiene solo un homomorfismo de peso un álgebra bárica? a1 a2 a3 a1 a1+a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a3 a2 a2 a2+a3

  37. Álgebras Báricas • w1: A → ℝ • w1(a1)=1 y w1(a2)=w1(a3)=0 • w2: A → ℝ • w2(a3)=1 y w2(a1)=w2(a2)=0

  38. Potencias Enteras y Principales • Teorema 2: Tomemos A un álgebra bárica sobre un campo k, con función de peso w. Si N = Ker w es nilpotente, entonces w es único.

  39. Idempotentes • Teorema 3. Tomemos A un álgebra bárica sobre un campo k con función de peso w. Supongamos que A contiene un idempotente e tal que w(e)=1. Entonces, A = ke ⊕ Ker w.

  40. T - álgebras • Tomemos A un álgebra bárica sobre un campo k. Tomemos {a1,a2,..,an} una base de A. Existe un polinomio llamado el rango polinomial que anula todos los elementos de A: • f(x) = xr + θ1xr-1+ θ2xr-2+... + θr-1x. • Donde θpes un polinomio homogéneo de grado p en las coordenadas eipara x= ∑ni=1 eiai

  41. T - álgebras • Rango Polinomial --- Relevancia Genética. • Tomemos A un álgebra bárica con función de peso w y rango polinomial f(x) = xr + θ1xr-1+ θ2xr-2+... + θr-1x. A es una T-Álgebra de rango r si los coeficientes θpdel rango polinomial de A son funciones de w(x).

  42. T - álgebras • Teorema 4. Tomemos A una T-Álgebra de rango r con función de peso w: A→ k. Entonces todo elemento en N = Ker w es nilpotente de un índice menor o igual que r. • Corolario. Una T-Álgebra tiene una única función de peso.

  43. T-Álgebras Especiales • Una Álgebra bárica con función de peso w es llamada T-Álgebra Especial si N= Kerw es nilpotente

  44. Aplicaciones : Autofertilización • Autofertilización: Es el poceso en el cual se forma un zigoto a partir de los gametos tanto femeninos como masculinos de un mismo individuo. En este caso corresponde a el cruce de una poblacion consigo misma. • P = wAA+yAa+zaa • w + y + z = 1

  45. Autofertilización • P es un elemento de un álgebra zigotica con dos alelos. El interés esta cuando P se cruza con P reiteradamente. • F1 = P x P • F1= w(AA x AA) + y(Aa x Aa) + z(aa x aa) = wAA + y(¼AA +½Aa+¼aa) + zaa = (w + ¼y) AA + ½yAa + (z + ¼y) aa

  46. Autofertilización Fn= wnAA + ynAa + znaa. ? • Un: Diferencia Genética de la población Fn con Fn-1, es decir , Un = Fn– Fn-1 U1 = F1 – P, U2 = F2 – F1. • Para el primer caso tendríamos: U1 = ¼y AA - ½yAa + ¼y aa = ½y (½AA – Aa + ½aa )

More Related