Бийский лицей Алтайского края

1. Бийский лицей Алтайского края

2. Алгебра 11 классКомплексные числа

3. Вам поклоняюсь, вас желаю, числа! Свободные, бесплотные как тени, Вы радугой связующей повисли К раздумиям с вершины вдохновенья. Валерий Яковлевич Брюсов (русский писатель 1873-1924)

4. Историческая справка Итальянский математик Джерсламс Кардано (1501-1576), решая задачу о представлении числа 10 в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых равнялось 40, встретился с ситуацией, что система не имеет действительных решений. Величины, квадрат которых равен отрицательному числу Кардано назвал «софически отрицательными», считал, что они лишены всякого реального содержания. Писал: «Для осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утонченной, насколько бесполезной»

5. Основатели теории комплексных чисел Бомбелли-итальянский алгебраист в 1572г. ввёл правила арифметических действий Р. Декарт- французкий математик и философ в 1637г. Дал название «мнимые числа» Эйлер-русский математик, щвейцарец по происхождению, ввёл символ i , а в 1748г. нашел формулу, носящую теперь его имя. из формулы получается таинственное равенство единения арифметики, алгебры, геометрии и анализа. К.Гаусс в 1799г. доказал основную теорему алгебры, в 1831г. предложил геометрическую интерпретацию. Независимо от него датчанином Весселем (1797) и французом Аргоном (1806) предложено геометрическое толкование комплексных чисел

6. Словарь терминов • Комплексный-лат. составной, сложный. Термин введён Гауссом • i-первая буква французского слова imaginaire, мнимый • Инверсия, inversio - лат. переворачивание

7. Цель занятия: повторение и обобщение знаний по теме;с выходом на ознакомление с теорией функций комплексного переменного. План работы на уроке: 1 этап - повторение вопросов теории 2 этап - вычислительная работа 3 этап - практическая работа, выход на новый материал 4 этап – итоговый контроль *

8. Этап 1.1 Работа в парах (устно) 1)Сформулируйте определение комплексного числа. 2)Как изображается комплексное число на плоскости? 3)Как вычислить модуль комплексного числа? 4)Что называется аргументом? 5) В каких границах заключен главный аргумент? 6) Как записать число в тригонометрической форме? 7) Какое число называется сопряженным? Свойство сопряженных чисел? 8) Запишите теоремы о модуле и аргументе 9) Формула Муавра для Z в степени n

9. Этап 1.2.Основные определения • Число вида z=a+bi называется комплексным, а и b-действительные числа, i-мнимая единица Re z=a, Im z=b • Модулем комплексного числа называется • Аргументом комплексного числа z называется угол между положительным направлением полуоси ОХ и радиус-вектором ОМ, М(а,b) • Главный аргумент arg z заключен в границах • Тригонометрическая форма комплексного числа

10. Этап 1.3.Основные формулы

11. Этап 2.1.Выполните действия, ответы запишите в тетрадь 1) (3+2i)+3(-1+3i)2) i-2-(6-5i) 3) (1+i)(1-i)4) 5)6) Разложите на множители в комплексных числах:

12. Этап 2.2. Проверь себя! • 1) 11i • 2) -8+6i • 3) 2 • 4) –i, I • 5) -3i • 6) -4 • 7)(x-i)(x+i) • 8)(a+2bi)(a-2bi) • 9) (x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)

13. Этап 2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа • Изобразите комплексное число на плоскости z=-2+2i • Запишите данное число в тригонометрической форме ---------------------------------------------------------------------

14. Этап 2.4.Решите задачу различными способами в алгебраической и тригонометрической форме

15. Этап 2.5. Указания к решению. 1 способ. Если z=x+iy, то получаем уравнение 3x+3yi-x+yi=-4+8i, x+2yi=-2+4i, Используем условие равенствакомплексных чисел, получаем, что х=-2, у=2. При возведении в квадрат, получаемчисло -8i, которое возводим в куб. Ответ: 512i 2 способ. Представленное в тригонометрической форме число возвести по формуле Муавра в 6-ю степень. *

16. Этап 3.1.Геометрическое место точек • Изобразить на плоскости ГМТ, удовлетворяющих условиям:

17. Этап 3.2.1. Полученные ГМТ. №1. Окружность с центром (0;-1) и радиусом 1,5 №2. Полуплоскость у2. №3. Угол, заключенный между заданными лучами. №4. Прямые у=х и у=-х. №5. Точки, расположенные в вершинах правильного 6-тиугольникас центром (0;0). Модуль равен 1. Простейший аргумент

18. Этап 3.2.2.Решения задач.

19. Этап 3.3. Функции комплексногопеременного • Задайте условиями четверть круга с центром в точке (0;0), радиусом 2. • Выполните преобразования и постройте ГМТ w, удовлетворяющее условию: Выполните: I вариант - а, в, д II вариант - б, г, д.

20. Этап 3.4.1.Решения задач.

21. Этап 3.4.2.Решения задач. *

22. Этап 4.1. Итоговый тест. Проверь себя! ( «да» или «нет») • Число 1+i является действительным? • -2(cos900+i sin900)-является тригонометрической формой комплексного числа? • Многочлен (х+4) можно разложить на множители в комплексных числах? • Если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным? • Число имеет аргумент равный /3 ?

23. Этап 4.2. Ответы. • Нет • Нет • Да • Да • Нет *

24. Молодцы! Спасибо за хорошую работу на уроке!

25. Урок подготовлен и проведен учителем математики высшей категории КГОУ «Бийский лицей Алтайского края» Безкишкиной Мариной Васильевной для слушателей курсов повышения квалификации БФАКИПКРО и студентовФМФ БГПУ им. В.М.Шукшина 2007г.