Ch.2 예제 풀이

1. Ch.2 예제 풀이 환경공학과 200911613 홍남정

2. 예제 [2.1] 해양학자가 높이 5m인 해양실험실을 설계하려 한다. 실험실의 윗면이 바다 속 100m되는 곳에 잠기더라도 견딜 수 있어야 한다. 海水(해수)의 비중을 1.020으로 하고 윗면에서의 압력과 측면에서의 압력변화를 구하라. <풀이> 인 윗면에서 실험실 윗면으로부터 아래로 잰 깊이를 라 하면 압력변화는

3. [예제 2.2] 기를 지배하는 등온조건을 가정하여, 2,000m 高度(고도)에서의 압력과 밀도를 계산하라. 해면에서의 압력과 밀도는 각각 Pa abs, 이다. <풀 이> 식 (2.2.12)로부터 식 (2.2.9)에서 靜力學的(정역학적) 평형상태에 있는 액체의 압축성을 생각할 때 식 (2.2.7)과 식 (1.7.1)을 사용한다.

4. [예제2.3] 대기에서 고도에 따른 온도변화율을 氣溫減率(기온감율)(lapse rate)이라 한다. 공기의 어느 부위의 운동은 그 주위 공기와의 밀도 차에 의존한다. 공기의 한 부위가 상승할 때 압력은 감소하고 체적은 팽창하며 온도는 乾燥斷熱(건조단열) 기온감율(dry adiabatic laps rate)이라 하는 비율로 감소한다. 지상으로부터 30ft 높이에서 버섯모양을 한 연기의 온도는 주변공기의 온도보다 20oF 높을 것으로 추정된다. 다음 조건하에서 연기의 어떤 변화가 일어날 것인가? (a) At standard atmospheric lapse rate β = -0.00651oC per meter and t0 =20oC. (a) 표준대기의 기온감율 이고 이다. (b) At an inverted lapse rate β = 0.00365oC per meter. (b) 逆氣溫滅率(역기온감율) 이다.

5. <풀 이> 식(2.2.7)과 (2.2.14)를 결합하면 또는 열전달 없이 (등엔트로피과정, 7.1절) 팽창하는 기체의 질 량에 대한 온도와 압력관계는 여기서, T1은 연기의 초기 절대온도 P0는 초기 절대 압력이고, K는 비열비이다. 공기와 2원자분자 기체에서 K는 1.4이다. 두 식에서 P/PO를 소거하면

6. 기체는 그 주위온도와 같아질 때까지 상승 할 것이므로 마지막 두식으로부터 y를 구하면 로 놓을 때 For β = -0.00651oC per metre, R = 287 m·N/(kg·K), a = 2.002, and y = 3201 m. For the atmospheric temperature inversion β = -0.00365oC per metre, a = -0.2721, and y = 809.2 m. (a) 일 때 a=1.994이고 y=10570 ft (b) 대기온도변화가 이면

7. [예제 2.4] 그림 2.7(a)에서 A와 B에 있는 액체는 물이고, 에는 액주계 비중 S=0.8인 기름이 들어 있다. h1=300mm, h2=200mm, h3=600mm 이다. (a) pA-pB는 몇 Pa인가? (b) pB=50 kPa이고 기압계 읽음이 730 mmhg 이라면 A에서의 절대 압력은 높이로 水柱(수주) 몇 m에 해당하는가? <풀이> (a) (b) (a)로부터

8. [예제 2.5] 그림 2.8의 미압계로 두 공기압의 압렵차를 측정하려고 한다. S2 =1.10, a/A=0.01, R=5mm, t=20, 대기압은 760mmHg이다. 공기의 압력차는 몇 Pa인가? <풀이> 는 아주 작으므로 무시한다. 식 (2.4.1)에 대입하면

9. [예제 2.6] 삼각수구문(gate) (그림 2.12)가 를 따라 힌지(hinge)로 연결되어 있고 에 작용하는 수직력 에 의하여 열려진다. 수문 윗부분에는 비중 O.8인 기름이 채워져 있고 아래 부분은 대기 중에 개방되어 있다. 수문의 무게를 무시하고 다음을 구하여라. (a) 수문에 작용하는 힘의 크기를 적분으로, 그리고 식 (2.5.2)를 적용하여 구하라. (b)압력중심의 위치, (c)수문을 여는데 필요한 힘의 크기 P. 그림2.12 삼각 수문

10. <풀이> (a) 그림 2.12를 참조하여 적분하면 x가 y에 따라 선형적으로 변화하고, y = 8에서 x = O, y = 13에서 x : 6 이므로 a, b에 관해서 풀고, a, b의 값을 제 1식에 대입하여 x의 값을 y의 항으로 나타낼 수 있다. 같은 방법으로 y=13, x=6 과 y=18, x=0으로부터 따라서

11. 이 식을 적분하고 의 값을 대입하면, 합력의 크기를 얻는다. 식 (2.5.2)로부터 (b) 圖示(도시)된 좌표축에 대하여 도심의 위치는 이다. 식 (2.5.8)을 다시 쓰면 작용면은 x축에 평행한 圖心軸(도심축)에 관하여 대칭이므로 , 따 라서 이다.

12. 식 (2.5.11)로부터 즉, 압력중심은 圖心(도심)보다 水門面(수문면)을 따라 측정해서 O.32 ft 아래에 위치한다. (c) 기름에 의한 효과를 합력으로 대치하고, CD에 관한 모멘트평형을 취 하면

13. [예제 2.7] 수로의 높이가 일정 높이 y[그림 2.14(a)]로 되면 수문이 열려 물이 쏟아지도록 설계된 구조물이 있다. 수문은 의 무게를 갖는 강철판으로 되어있다. 높이 y를 구하라. 그림 2.14 수로 측면에 설치한 水位調節板(수위조절판)의 배열

14. <풀이> 압력프리즘의 개념을 사용한다. 紙面(지면)에 수직으로 단위 폭을 갖는 수평부분 [그림 2.14(b)]에 작용하는 힘을 밑면적 , 일정높이 인 압력프리즘의 부피로 주어지므로 그 크기가 이고 압력중심은 밑면의 도심이 된다. 수직면의 압력프리즘은 밑면이 이고 높이가 0부터 까지 변하는 쐐기모 양이다[그림 2.14(c)]. 평균높이가 이므로 이다. 쐐기모양 프리즘의 체심은 힌지로부터 높이에 있다. 수문 밑면부분의 강판 무게 3,000N이 그의 중심에 작용한다. 그림 2.14(d)는 모든 힘과 모멘트 계산을 위한 거리가 圖示(도시)되어 있다. 수문이 기울기 시작하려는 순간의 높이 에 대하여 평형방정식을 세우면, 힌지에 대문이 기울기 시작하려는 순간의 높이 에 대하여 평형방정식을 세우면, 힌지에 대한 모멘트 합이 0이어야 하므로 혹은

15. 위 방정식은 두개의 근 중 오직 하나만이 식의 근을 갖는다. 그 값은 2와 3사이의 값임을 쉽게 알 수 있다. Newton-Raphson법(부록 B.5)을 사용하면 이 방법은 일종의 逐次法(축차법)이다. y의 초기값을 적절히 가정한다. 예컨대, y=2.5로 하고 식의 우변에 대입하면 좀 더 근접한 y값이 나온다. 세 번 반복하여, y=2.196 m를 얻는다.

16. [예제 2.8] 평면에 작용하는 압력에 의한 힘의 한 응용으로서 중력댐(gravity dam)의 설계가 있다. 댐에 작용하는 힘들로부터 댐 밑면에서의 최대압축응력과 최소압축응력을 계산할 수 있다. 그림 2.15는 콘크리트 댐의 한 단면을 표시한 그림이다. 콘크리트의 비중량은 이고, 는 물의 비중량이다. 폭 1ft의 댐을 자유물체로 생각한다. 자유물체에 작용하는 힘들은 콘크리트, 물, 기초압력(foundation pressure) 그리고 靜水力學的 隆起(정수력학적 융기)(hydrostatic uplift)등에 의한 힘을 들 수 있다. 정수력학적 융기의 크기를 결정하는 문제는 이 책의 정도를 벗어나지만, 여기서는 댐의 상단에서 靜水壓力水頭(정수압력수두)(hydrostatic head)의 1/2이 작용하고, 이것이 선형적으로 감소하여 하단에서는 0이 된다고 가정한다. 충분한 마찰력, 다시 말해서 전단응력이 댐의 밑바닥에 발생되어 수압에 의하여 댐을 밀어내는 힘과 평형을 이루어 야 한다. 즉, 이다. 밑바닥에서 댐을 밀어 올리려는 結果力(결과력)은 댐의 무게에서 諦水力學的隆起力(정수력학적융기력)을 뺀 것과 같다. 즉, 이고, 작용점은 자유물 체가 평형을 이루는 점이다. 0점에 관한 모멘트를 취하면 그리고

17. 통상 기초압력은 댐 밑면에 걸쳐 선형적으로 변화하는 것으로 가정한다. 즉, 압력 프리즘은 와 같은 부피를 갖는 사다리꼴이 된다. 따 라서, 여기서 와 은 의 단위라 표시한 최대, 최소압축응력이다. 압력프리즘의 體心(체심)은 지점에 위치한다. 체심의 위치를 와 의 항으로 나타내기 위하여 점0에 관한 모멘트를 취한다. 그림. 2.15 콘크리트 동력댐 이 식을 정리하면 따라서 , 을 얻는다.

18. 밑면에 작용하는 합력의 작용점이 댐 밑면을 3등분 했을 때 중앙부분에 오기만 하면 은 항상 압축응력이 된다. 콘크리트는 引張(인장)에 매우 취약하므로 좋은 설계가 되기 위해서는 합력이 밑면의 3등분 중 중앙에 작용하도록 설계하는 것이 요망된다.

19. [예제 2.9] 그림 2.16과 같은 파이프에 물이 들어 있다. 깊이가 y에 도달할 때 충분한 모멘트를 발생시켜 평형추를 밀고 물이 흘러나온다. 구조물의 무게를 무시하고 깊이 y를 구하라.

20. <풀이>

21. [예제 2.10] <풀이>

22. [예제 2.11] 원통 장애물이 그림과 같이 물을 막 고 있다(그림2.22). 원통 벽면의 접촉은 매끄럽다. 폭 1m인 원통에 대하여 다음을 구하라. (a)원통의 무게 (b)벽면에 미치는 힘. <풀이>

23. [예제 2.12] <풀이>

24. [예제 2.13] <풀이>

25. [예제 2.14] 그림 2.30모양의 평저선은 폭이 20ft이고 길이 60ft, 총 무게가 225ton(2,000 lb)이다. 중심은 수면 위 1.0ft인 곳에 있다. 일 때 경심 높이와 복원모멘트를 구하라. <풀이>

27. [예제 2.15] 배수 질량이 1Mkg 이고 수면에서의 수평단면(부장면)이 그림 2.32와 같은 바지선이 있다. 부심은 수면 아래 2.0m에 있고 중심은 수면보다 0.5m 아래에 있다. 배가 y-y축 주위로 좌우로 흔들릴 때(rolling)와 x-x축에 대해 앞뒤로 흔들릴 때(pitching) 경심의 높이를 구하라.

28. <풀이> • 롤링의 경우 : • 피칭의 경우 :

29. [예제 2.17] 다음 그림과 같이 밑면 6*6, 높이 2인 밀폐상자에 액체가 절반이 차 있다. 상자는 인 선형등가속도로 가속되고 있다. 밑면에서의 압력변화를 나타내는 방정식을 유도하라. <풀이> 자유표면의 기울기는 따라서 자유표면은 그림과 같이 위치한다. 0을 원점으로 택하면 식(2.9.2)는 가 된다. 그림 2.35 용기의 선형 등가속도 운동 에서 이므로 따라서 y=0 으로 하여 밑면의 방정식을 구하면

30. [예제 2.18] 비중 1.2인 액체가 연직축에 대하여 200 rpm으로 회전하고 있다. 축으로부터 1m 거리에 있는 어느 점 A에서의 압력이 70 kPa이다. 점 A보다 2m 높고, 축에서 1.5m 떨어진 점 B에서의 압력은 얼마인가? 두 점에 대하여 식 (2.9.5)를 적응하면 그리고 이다. 첫째 식에서 둘째 식을 빼고 수치를 대입하면 따라서

31. 자유표면이 없거나 부분적으로 노출된 자유표면을 갖는 용기가 어느 연직축에 대해 등속회전운동 할 때는 가상 자유표면을 설정할 수 있다. 가상 자유표면은 식(2.9.6)으로 주어지는 회전포물면이다. 임의점에서 가상 자유표면까지의 거리는 그 점에서의 압력수두가 된다. 그림 2.38 연직축에 관한 傾斜管(경사관)의 회전

32. [예제2.19] 밑면이 막혀 있는 길이 4ft의 直管(연관)에 물을 채우고 연직 축과 30〫 경사진 상태에서 直管의 중앙점을 통과하는 연직축에 관해 8.02rad/s로 회전시킨다. 압력이 0인 포물면을 그려라. 또 직관의 밑면과 중앙점에서의 압력을 구하라. <풀이> 그림 2.38에서 압력이 0인 포물면은 점 A를 통과한다. 인 정점을 원점으로 취하면 식(2.9.6)은 이 된다. 따라서 정점은 점 A 아래 1.0ft에 위치한다. 밑면에서의 압력은 또는 이고