第二章点、线、面的投影

第二章点、线、面的投影 2.1 点的投影 • 按照GB（国家标准）的规定，机械制图 • 按正投影绘制，采用第一象角画法 • 点在一个投影面上的投影－－不能定位 • 点在两投影面体系中投影－－可以定位

 投影面 • 正面投影面，简称正面或V面。 • 水平投影面，简称水平面或H面。 • 侧面投影面，简称侧面或W面。正面侧面 a 水平面 2.1.1三面投影体系  点在三投影面上的投影  A —— 空间点  a’ —— 点A的正投影 a —— 点A的水平投影 a” —— 点A的侧投影 •  投影轴 • OX轴——V面与H面的交线 • OY轴——H面与W面的交线 • OZ轴——V面与W面的交线

2.1.2三投影面的展开  V面不动 H面绕OX轴向下转90度 V,H,W 共面 W面绕OZ轴向外转90度

2.1.3 点的投影规律 A（x,y.z）  a’a  OX轴 a’a”  OZ轴 aax=a”az=y A到V面的距离 a’ax=a”ay=z A到H面的距离 aay=a’az=x A到W面的距离 az x y z ay ax y ay

2.1.4 典型问题 根据点的两个投影求第三投影 az x y z ay ax y ay

判断两点间的相对位置  分析重影点及其投影的可见性 az x y • b' • b" z ay ax y ay • b

A B B A A B b b ab a a 垂直平行倾斜 2.2 直线的投影实形性 2.2.1. 直线的投影特性类似性 1. 直线对一个投影面的投影特性  直线垂直于投影面----投影积聚成一点  直线平行于投影面----投影反映实长  直线倾斜于投影面----投影仍为直线，但小于实长。积聚性

正平线：平行V 面 水平线：平行H 面侧平线：平行W面正垂线：垂直 V 面铅垂线：垂直 H 面侧垂线：垂直 W面 a’ （2）投影面平行线例：已知AB为水平线,求AB的投影。 a b 2. 直线在三投影体系中的投影特性（1）直线的种类  投影面平行线 投影面垂直线  投影面倾斜线——一般位置直线，与三个投影面都倾斜

Z a’ b’ a” b” Yw X a b YH Z a” a’ b” b’ Yw X ab YH 投影特性：  一个投影反映实长及与投影面的夹角  另两个投影平行于投影轴与V面夹角与W面夹角（3）投影面垂直线投影特性：  一个投影有积聚性  另两个投影反映实长并垂直投影轴

Z b’ b” a’ a” X Yw a b YH （4）一般位置直线投影特性：  三个投影对投影轴既不平行也不垂直  三个投影都不反映实长及与投影面的夹角

Z b’ b” a’ a” X Yw a b YH 典型问题：求直线的实长及其对投影面的夹角（自学P87－88）

C a’ c’ A b’ B a c a’ a’ b k’ k’ ACaca’c’ CB cb c’b’ = = b’ b’ a a 例：已知 K 在直线 AB 上，求 K 点的水平投影 k’。 k b b 2.2.2 直线与点的相对位置 1. 相对位置的两种情况  点在直线上  点在直线外 2. 判别方法  若点在直线上，则点的投影必在直线的同名投影上，否则点在直线外。 若点在直线上，则点的投影将直线的同名投影分割成与空间相同的比例。定比定理

b’ d’ a’ B c’ D A C a c d b 2.2.3 两直线的相对位置 1. 两直线平行投影特性若两直线平行，则其同名投影必平行，反之亦然。

c’ b’ b’ k’ c’ k’ d’ B d’ C a’ a’ D K A d a a d k b c k b c 两直线相交的投影规律：  同名投影必相交  交点符合点的投影规律 2. 两直线相交

b’ c’ 1’ 4’(3’) a’ 2’ d’ a 3 d 1(2) c 4 b 3. 两直线交叉投影特征：  同名投影可能相交，但“交点”不符合点的投影规律。  “交点”代表两直线上的一对重影点。  利用重影点可以帮助想象两直线在空间的相对位置。

B a’ b’ A c’ C b b a c a c 3. 直线与直线垂直直角的投影特性： 若直角中有一条边平行于某一投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。  相互垂直的两直线（相交或交叉）当中，至少有一条直线平行于某投影面时，这两条直线在该投影面上的投影才相互垂直。

b’ b’ b’ b’ d’ b’ a’ c’ c’ a’ a’ a’ a’ c’ c’ c’ c c c c c a a a a a d b b b b b 2.3 平面的投影 2.3.1 平面的表示方法用几何形状表示三点直线和点两平行线两相交线平面图形

B B B A A A C C b b a c C a b a c c 2.3.2 平面的投影特性 1. 平面对一个投影面的投影特性平行垂直倾斜投影特性 平面平行投影面——投影反映实形，实形性 平面垂直投影面——投影积聚成直线，积聚性 平面倾斜投影面——投影有类似性

2. 平面在三投影面体系中的投影 平面的分类： 正平面 水平面 侧平面 投影面平行面特殊位置平面 正垂面 铅垂面 侧垂面 投影面垂直面 投影面倾斜面 —— 一般位置平面

投影反映实形 （1）投影面平行面空间分析—— 平行一个投影面，与另外两个投影面垂直。投影有积聚性投影特征：在所平行的投影面上的投影反映实形，另外两个投影积聚成直线，且与相应的投影轴平行。

b’ b” b’ b” a” a’ a” a’ c’ c” c’ c” a c b 投影有积聚性（2）投影面垂直面空间分析—— 只垂直一个投影面，对另外两个投影面倾斜。投影有类似性投影特征：在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，它与投影轴的夹角反映了平面与相应的投影面之间的夹角；另外两个投影具有类似性。

b” b’ c’ c” a’ a” b a c （3）一般位置平面对三个投影面都倾斜，三个投影都不反映实形，也没有积聚性。空间分析：投影特征：三个投影有类似性

b’ d’ b’ a’ c’ a’ c’ b a d c b a c 已知平面的投影，如何确定平面上某条直线的投影？ 2.3.3 平面上的直线和点 1. 在平面上取直线定理 1 若一直线过平面上的两点，则直线在平面内。例：已知平面由AB,CD所确定，试在平面上任作一直线。定理 2 若一直线过平面上的一点且平行于平面内的一条直线，则该直线在平面内。

b’ b’ k’ k’ a’ a’   c’ c’ c c k k   a a b b 2. 平面上取点面上取点的方法先在平面内作一直线，然后在此直线上取点。即面上取点先取线。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。

小结一 • 点的三面投影及投影规律 • 点的投影与空间坐标的关系 • 根据点的两个投影求第三投影 • 判断两点间的相对位置 • 重影点及其投影的可见性

小结二 • 直线的投影特性，两种特殊位置直线和一般位置直线，实长问题。 • 直线上的点（包括重影点）。 • 两直线平行、相交、交叉、垂直。 • 投影面平行面、垂直面和一般位置平面的投影特性

作业 1 复习：书P80－91 ；自学内容：求直线的实长(要求完全掌握) 2 完成作业：（1）习题集 P6－1,2,3； P7－全部； P9－全部； P10－1（a, b, d, e）；

第二章 点、线、面的投影