1 / 35

Combinatorics คอมบินาตอริกส์

Combinatorics คอมบินาตอริกส์. Combinatorics. คอมบินาตอริกส์เป็นการศึกษาเรื่องการจัดเรียงวัตถุ ซึ่งเป็นเรื่องที่สำคัญใน Discrete mathematics หัวข้อที่ศึกษา กฎการรวมและกฎการคูณ (Sum and Product Rules) รังนกพิราบ (Pigeonhole Principle) Inclusion and Exclusion Permutation Combination.

hien
Download Presentation

Combinatorics คอมบินาตอริกส์

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Combinatorics คอมบินาตอริกส์

  2. Combinatorics คอมบินาตอริกส์เป็นการศึกษาเรื่องการจัดเรียงวัตถุ ซึ่งเป็นเรื่องที่สำคัญใน Discrete mathematics หัวข้อที่ศึกษา • กฎการรวมและกฎการคูณ (Sum and Product Rules) • รังนกพิราบ (Pigeonhole Principle) • Inclusion and Exclusion • Permutation • Combination

  3. การนับแบบพื้นฐาน การแก้ปัญหาของตารางความจริงโดยการวาดต้นไม้ ที่บอกถึงความเป็นไปได้ต้นไม้นี้ได้บอกเป็นนัยของหลักทั่วไปที่สามารถใช้แก้ปัญหาการนับได้มากมายก่อนหน้านี้ได้กล่าวถึงหลักทั่วไปว่าจะพิจารณาตัวอย่างต้นไม้ในแบบอื่น ตัวอย่าง เด็กๆได้รับอนุญาตให้เลือกลูกกวาดธรรมดา ที่มีอยู่สองสีคือสีแดงและดำและลูกกวาดชนิดเคลือบมีอยู่สามสีคือเหลืองเขียวและขาวจะมีเซตที่แตกต่างกันกี่เซตที่เด็กจะเลือกลูกกวาดทั้งสองชนิดนี้ได้อย่างละหนึ่งสี

  4. Tree Diagrams 2x3 =6= 3x2

  5. การนับแบบพื้นฐาน หลักการนับแบบพื้นฐาน ที่จะศึกษากันมีสองแบบคือ กฎการคูณและกฎการรวม เรามาดูแต่ละกฎว่ามีการแตกต่างกันอย่างไร กฎการคูณ (Product Rule)สมมุติว่ามีกระบวนการหรือเหตุการณ์หนึ่งที่สามารถแยกออกได้เป็นสองเหตุการณ์ โดยเหตุการณ์แรกมี n1วิธี ส่วนเหตุการณ์ที่สองมี n2วิธี เมื่อเหตุการณ์แรกเสร็จสิ้นเรียบร้อยแล้ว ดังนั้นกระบวนการนี้สามารถทำได้ทั้งหมด n1n2วิธี กฎการบวก (Sum Rule)ถ้าAและBเป็นเซตของเหตุการณ์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง(AB =) โดยเหตุการณ์ในเซตAมีn1ทางเลือกส่วนในเซตBมีn2ทางเลือกดังนั้นจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเหตุการณ์ทางเลือกในเซตAและBคือ n1+ n2

  6. i1 1 2 n1 i2 1 2 n2 1 2 n2 im 1 2 nm 1 2 nm ตัวอย่าง ให้หาค่า kหลังจากประมวลผลส่วนของโปรแกรมต่อไปนี้ วิธีทำ ค่าเริ่มต้นของ k = 0 ค่าของ kจะถูกเพิ่มครั้งละ 1 ในแต่ละครั้งที่วงวนที่ซ้อนกัน ดั้งนั้น ค่าของ kคือ n1n2n3...nm k = 0 for i1 := 1 to n1 for i2 := 1 to n2 : : for im := 1 to nm k := k + 1 k = n1n2n3...nm

  7. ตัวอย่าง ให้หาค่า kหลังจากประมวลผลส่วนของโปรแกรมต่อไปนี้ วิธีทำ ที่วงวน i1 เพิ่มค่าจนถึง n1 ทำให้ k = n1ตามด้วยวงวน i2 วนจนถึง n2 ทำให้ kถูกเพิ่มค่าไปอีก n2 นั่นคือเมื่อจบวงวน n2 จำทำให้ k = n1 + n2 : และเมื่อประมวลผลไปจนถึงวงวน imพอจบวงวนนี้ก็จะได้ค่า k = n1 + n2 + ... + nm k = 0 for i1 := 1 to n1 k := k + 1 for i2 := 1 to n2 k := k + 1 : : for im := 1 to nm k := k + 1

  8. ปัญหาการนับที่มีความซับซ้อนปัญหาการนับที่มีความซับซ้อน ปัญหาที่มีความซับซ้อนขึ้นจนไม่สามารถที่จะแก้ปัญหาได้ด้วยกฎการรวมหรือกฎการคูณเพียงวิธีใดวิธีหนึ่ง บางครั้งเมื่อนำทั้งกฎการรวมและกฎการคูณมาใช้รวมกันก็สามารถแก้ปัญหาที่ซับซ้อนได้ ตัวอย่างภาษาเบสิกเวอร์ชันแรกๆสามารถกำหนดชื่อของตัวแปรในรูปของสตริงที่ใช้หนึ่งหรือสองตัวอักษรแบบอัลฟานิวเมอริก(Alphanumeric characters) โดยที่ทั้งตัวพิมพ์ใหญ่และตัวพิมพ์เล็กไม่มีความแตกต่างกันอย่างไรก็ตามชื่อตัวแปรจะต้องขึ้นต้นด้วยตัวอักษรที่จะต้องไม่ซ้ำกับสตริงห้าตัวของสองตัวอักษรที่เป็นคำสงวนของภาษาเบสิกดังนั้นในภาษาเบสิกเราสามารถตั้งชื่อตัวแปรที่ไม่ซ้ำกันสูงสุดได้กี่ตัว(สำหรับเวอร์ชันที่กล่าวมานี้)

  9. V1 V2 A,a; B,b; ...; Z,z A,a; B,b; ...; Z,z A,a; B,b; ...; Z,z; 0, 1, ..., 9 ตัวอย่าง การใช้กฎการบวกร่วมกับกฎการคูณ ให้Vเท่ากับจำนวนตัวแปรที่ไม่ซ้ำกันของภาษาเบสิกเวอร์ชันนี้ ส่วนV1แทนจำนวนตัวแปรที่ตั้งชื่อโดยใช้อักษรเพียงหนึ่งตัว และV2แทนจำนวนตัวแปรที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสองตัวอักษร ดังนั้นตัวแปรที่ไม่ซ้ำกันทั้งหมดคือV = V1 + V2 V1= 26 V2= 2636–5= 931 V = V1 + V2= 26 + 931 = 957 ตัวแปร

  10. ต้นไม้ของการตัดสินใจ เราจะใช้ต้นไม้เพื่อแก้ปัญหาการนับที่เป็นการบวกแต่ที่ผ่านมาเราใช้ต้นไม้อธิบายกฎการคูณ และมีปัญหาไม่น้อยทีเดียวที่ใช้ต้นไม้ของการตัดสินใจซึ่งถูกใช้เพื่อแก้ปัญหาการนับ ที่หลักการคูณไม่สามารถนำมาแก้ปัญหาได้ ตัวอย่างในการโยนเหรียญแต่ละครั้งจะมีผลลัพธ์ไม่หัว(Head: H) ก็ก้อย(Tail: T) มีกี่หนทางที่โยนเหรียญห้าครั้งจะไม่ปรากฏหัวสองครั้งติดกัน วิธีทำในรูปได้แสดงต้นไม้การตัดสินใจของปัญหานี้ การโยนเหรียญแต่ละครั้งจะมีสองผลลัพธ์กิ่งทางซ้ายแทนการออกหัวและกิ่งทางขวาแทนการออกก้อยดังนั้นคำตอบของปัญหานี้คือเมื่อไรที่กิ่งนั้นออกหัวแล้วครั้งต่อไปจะต้องออกก้อยซึ่งนับจำนวนได้ทั้งหมด 13 หนทาง

  11. โยนเหรียญห้าครั้งโดยไม่ปรากฏหัวซ้ำกันสองครั้งโยนเหรียญห้าครั้งโดยไม่ปรากฏหัวซ้ำกันสองครั้ง

  12. AB S B–A A–B B A หลักการนำเข้า(Inclusion)-ตัดออก(Exclusion) เพื่อพัฒนาหลักการนำเข้าและการตัดออกจะกำหนดให้A และBเป็นเซตย่อยใดๆของเซตเอกภพสัมพัทธ์Sดังนั้นA–B, B–A และABจะเป็นเซตที่ไม่ร่วมกันเลย(ดูรูป) • ถ้าxA–Bดังนั้นxBเพราะฉะนั้นxB–AและxAB • ดังนั้นจากข้อเท็จจริงนี้สามารถกล่าวได้ว่ายูเนียนของทั้งสามเหตุการณ์

  13. เมื่อ และ หลักการตัดออก หลักการนำเข้า หลักการนำเข้าและการตัดออกของสองเซต สามเหตุการณ์ที่ไม่ร่วมกัน เมื่อใช้ทั้งสองเทอมนี้แทนลงในสมการที่ (1) ก็จะได้ว่า

  14. ตัวอย่างหลักการนำเข้า-ตัดออกของสองเหตุการณ์ตัวอย่างหลักการนำเข้า-ตัดออกของสองเหตุการณ์ • ตัวอย่างผู้สำรวจประชามติได้สอบถามผู้มีสิทธิออกเสียง 35 คนในการสนับสนุนผู้สมัครคนที่หนึ่งและคนที่สองหรือทั้งคู่จากการหยั่งเสียงพบว่า 14 คนสนับสนุนคนที่ 1 และ 26 คนสนับสนุนเบอร์สองจะมีกี่เสียงที่สนับสนุนผู้สมัครทั้งสองคน • วิธีทำถ้าให้เซตAแทนคนที่ออกเสียงเลือกเบอร์หนึ่งและBแทนคนที่ออกเสียงเลือกเบอร์สองในตอนนี้เราทราบว่า จากสมการที่สองจะได้ว่า

  15. หลักการนำเข้า-ตัดออกของสามเซตหลักการนำเข้า-ตัดออกของสามเซต จากสมการที่ (2) สามารถที่จะขยายไปสู่กรณีที่เป็นการรวมกันของสามเซตดังต่อไปนี้ เพราะฉะนั้นจากหลักการรวมและการกีดกันของสามเซตใดๆจะได้ว่า

  16. ในสมการที่ (4) มีสัญลักษณ์ ซึ่งเป็นการบวกจำนวน สมาชิกจากการอินเตอร์เซ็กกันของAiAjโดยที่iและjสามารถมีค่า ได้ในช่วง1 และnเมื่อi < j หลักการนำเข้า-ตัดออกของ nเซต ถ้ามีnเซตเราควรบวกจำนวนสมาชิกในเซตเดี่ยวๆทั้งหมดเข้าด้วยกันลบออกด้วยจำนวนสมาชิกที่อินเตอร์เซ็กชันกันอยู่และบวกด้วยจำนวนสมาชิกที่อินเตอร์เซ็กชันของสามเซตและลบออกด้วยจำนวนสมาชิกที่อินเตอร์เซ็กชันกันอยู่สี่เซตและเขียนเทอมต่อไปเรื่อยๆจนครบซึ่งสามารถเขียนในรูปแบบทั่วไปของหลักการนำเข้าและการตัดออกของเซตที่มีสมาชิกจำกัดได้ว่า

  17. หลักรังนกพิราบ (Pigeonhole principle) ปัญหาอย่างหนึ่งในคอมบินาตอริกคือ การอธิบายหรือแจกแจงให้เห็นถึงความมีอยู่ (Existence) ของรูปแบบของวัตถุ เพื่อยืนยันว่ารูปแบบเหล่านั้นมีอยู่จริง มีวิธีตรงคือการแจกแจงให้เห็นว่ามีรูปแบบอะไรบ้าง วิธีนี้ทำได้เมื่อวัตถุดังกล่าวมีปริมาณน้อยๆ อีกวิธีหนึ่งเป็นวิธีอ้อมที่ใช้ยืนยันความมีอยู่ของรูปแบบการจัดเรียงวัตถุที่สนใจ ในกรณีที่วัตถุมีปริมาณมากๆ คือหลักรังนกพิราบที่สามารถใช้เป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ โดยเริ่มจากหลักการที่มีรูปแบบง่ายๆ แล้วนำไปสู่รูปแบบทั่วไป ไปจนถึงใช้อธิบายรูปแบบที่ปราณีตอย่างทฤษฎีของแรมเซย์ (Ramsey Theory)

  18. หลักรังนกพิราบ ชื่ออื่นๆ ของ Pigeonhole Principle • Shoebox Principle • Dirichlet Drawer Principle หลังจากศตวรรษที่ 19 Diriechlet ได้ใช้หลักรังนกพิราบบ่อยในงานของเขา ทฤษฎีบทหลักรังนกพิราบ: ถ้ามีนกพิราบ k+1 ตัว แล้วมีจำนวนรังนกอยู่ kรัง แสดงว่าจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งรังที่มีนกพิราบอย่างน้อยสองตัว พิสูจน์ โดยข้อขัดแย้ง จากสมมุติฐาน เมื่อแต่ละรังมีนกสูงสุดเพียงตัวเดียว จะมีนกพิราบทั้งหมดมากที่สุดได้เพียง kตัว ดังนั้นข้อสมมุติข้างต้นมีความขัดแย้ง เนื่องจากมีนก k+1 ตัว ซึ่งแสดงว่ามีบางรังที่มีนกมากกว่าหนึ่งตัว

  19. ตัวอย่าง หลักรังนกพิราบ ตัวอย่าง เพื่อให้แน่ใจว่ามีสองคนที่มีนามสกุลที่เริ่มต้นด้วยตัวอักษรเดียวกัน(มีกี่คนที่อยู่ในห้อง ที่มีตัวอักษรแรกของนามสกุลซ้ำกัน) วิธีทำในภาษาไทยมีพยัญชนะอยู่ 44 ตัวสมมุติว่ามีการนำมาใช้ตั้งเป็นนามสกุลทุกตัวอักษรซึ่งในที่นี้ตัวอักษรทั้ง 44 ตัว จะเปรียบว่าเป็นถังถ้ามีคนอยู่ 45 ถ้าทั้ง 44 คนมีนามสกุลที่ขึ้นต้นด้วยพยัญชนะทุกตัวที่ไม่ซ้ำกันเลยทำให้คนที่ 45 จะต้องมีพยัญชนะที่ขึ้นต้นนามสกุลของเขาซ้ำกับ 44 คนอย่างแน่นอนซึ่งเปรียบได้กับนกพิราบ 45 บินเข้าไปใน 44 รัง เพราะฉะนั้นจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งรังที่มีนกมากกว่าหนึ่งตัว

  20. กรณีทั่วไปของหลักรังนกพิราบกรณีทั่วไปของหลักรังนกพิราบ กรณีทั่วไปของหลักรังนกพิราบคือ เมื่อ kและ mเป็นจำนวนเต็มบวก ถ้ามีนกพิราบ mk+1 ตัว โดยที่มีรังนกอยู่ kรัง แสดงว่าจะต้องมีหนึ่งรังที่มีนกพิราบอยู่ m+1 ตัว เพราะว่าถ้าแต่ละรังมีนกพิราบอย่างน้อย mตัว ก็จะต้องมีจำนวนนกทั้งหมดเท่ากับ mk เป็นอย่างน้อย ซึ่งขัดแย้งกับข้อสมมุติข้างต้นที่มีนก mk+1 ตัว ทฤษฎีบท กรณีทั่วไปของหลักรังนกพิราบ: จะกำหนดให้จำนวนนกพิราบแทนจำนวนวัตถุที่มี Nชิ้นที่ถูกใส่ลงในกล่องที่มี kกล่อง ดังนั้นจะต้องมีอย่างน้อยที่สุดหนึ่งกล่องที่บรรจุอย่างน้อย N/kชิ้น

  21. โดยที่อสมการ ถูกใช้ นี่เป็นข้อขัดแย้งเนื่องจากมีวัตถุทั้งหมด Nชิ้น ตัวอย่าง ในห้องเรียนมีนักศึกษา 30 คน แสดงว่ามีนักศึกษาอย่างน้อย คนที่เกิดเดือนเดียวกัน พิสูจน์ กรณีทั่วไปของหลักรังนกพิราบ สมมุติว่าไม่มีกล่องใดที่บรรจุวัตถุมากกว่า N/k - 1 ชิ้น ดังนั้นจำนวนทั้งหมดของวัตถุมีอย่างมากที่สุดเป็น

  22. เพอร์มิวเตชัน (Permutation) เพอร์มิวเตชันเป็นเซตของการจัดเรียงวัตถุที่แตกต่างกัน โดยการจัดเรียงแบบมีลำดับของวัตถุ โดยทั่วไปจำนวนของการเรียงสับเปลี่ยนวัตถุrชิ้นที่แตกต่างกันโดยเลือกจากวัตถุnชิ้นที่แตกต่างกันจะแทนด้วยP(n,r) ดังนั้นผลลัพธ์ของปัญหาตัวเลขสี่หลักโดยไม่ให้มีตัวเลขในแต่ละหลักซ้ำกันสามารถแทนได้โดยP(10, 4) สูตรของP(n,r)สามารถเขียนในรูปของฟังก์ชันแฟกตอเรียล(Factorial function) สำหรับเลขจำนวนเต็มn ใดๆแฟกตอเรียลของnหรือเขียนแทนด้วยn! = n(n–1)(n–2)…1

  23. จากฟังก์ชันแฟกตอเรียลจะได้ว่าจากฟังก์ชันแฟกตอเรียลจะได้ว่า ดังนั้นสูตรโดยทั่วไปของP(n,r)คือ สำหรับ สูตรของP(n,r) และสำหรับr<n

  24. ตัวอย่าง เพอร์มิวเตชัน ตัวอย่าง มีกี่วิธีที่จะจับสลากรางวัลที่หนึ่ง รางวัลที่สอง และรางวัลที่สาม จากคนที่ส่งชิงรางวัล 100 คน โดยคนทั้ง 100 คนจะต้องไม่ซ้ำกัน วิธีทำ การจับสลากรางวัลสามรางวัลคือ รางวัลที่หนึ่งเปรียบได้กับตัวเลขในหลักร้อย รางวัลที่สองเป็นตัวเลขในหลักสิบ ส่วนรางวัลที่สามเป็นเลขหลักหน่วย โดยคนที่ได้รางวัลที่หนึ่งแล้วจะไม่มีโอกาสได้รางวัลอื่นๆ อีก คนที่สองและสามก็เช่นกัน โดยรางวัลที่หนึ่งเลือกจากคน 100 คน รางวัลที่สองเลือกจากคน 99 คน ส่วนรางวัลที่สามเลือกจากคน 98 นั่นก็คือ P(100,3) = 100  99  98

  25. คอมบิเนชัน (Combination) r-combination จากสมาชิกของเซตที่เป็นการเลือกแบบไม่มีลำดับของสมาชิก rตัวจากเซต ดังนั้น r-combination คือเซตย่อยของเซตที่มีสมาชิก r ตัว ตัวอย่าง กำหนดให้ S={1, 2, 3, 4} ดังนั้น {1, 3, 4} คือ 3-combination จากเซต S

  26. ทฤษฎีบท คอมบิเนชัน เราสามารถกำหนดจำนวนของ r-combination ของเซตที่มีสมาชิก nตัวได้โดยใช้สูตรจาก r-permutation ของเซต การสร้างสูตรโดยวิธีนี้สังเกตว่า r-permutation ของเซตใดๆ สามารถกำหนดได้โดยการสร้าง r-combination ครั้งแรก แล้วจึงเรียงลำดับของคอมบิเนชันเหล่านี้ ทฤษฎีบท จำนวนของ r-combination จากเซตที่มีสมาชิก nตัว โดยที่ nไม่เป็นจำนวนเต็มที่ติดลบ ส่วน rเป็นจำนวนเต็มที่ 0r nจะได้เท่ากับ

  27. นี่แสดงว่า พิสูจน์ทฤษฎีบท คอมบิเนชัน r-permutation ของเซตที่ได้จากการเลือก r-combination จากวัตถุ n ชิ้น คูณด้วยการจัดเรียงวัตถุ rชิ้นจากเซต rนั่นคือ

  28. ตัวอย่าง คอมบิเนชัน บิตสตริง(Bit strings) ที่มีความยาว nเซตที่มีเลข 1 อยู่ rตัว มีจำนวนเท่าไรที่ วิธีทำ ตำแหน่งต่างๆ ที่เลขหนึ่ง 1 ปรากฏอยู่จำนวน rตัว จากบิตสตริงที่มีความยาว nคือ r-combination ของเซตของตำแหน่ง {1, 2, 3,...,n} เพราะฉะนั้นจำนวนเลขหนึ่งที่ปรากฏอยู่ rตัวจาก nตำแหน่งคือ C(n,r) เช่น แปดบิตสตริงจะมี 1 ปรากฏอยู่เจ็ดตัวคือ

  29. สัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coefficients) ข้อเท็จจริงอันหนึ่งของ r-combination คือเมื่อnและ rเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบโดยที่ rnดังนั้น C(n,r) = C(n,n-r) ข้อพิสูจน์อย่างหนึ่งของข้อเท็จจริงนี้คือ และ ที่มาของ สัมประสิทธิ์ทวินาม เพราะฉะนั้น C(n,r) = C(n,n-r) จะเห็นว่าการเท่ากันของกรณีนี้เป็นการเท่ากันในส่วนของจำนวนของสิ่งที่เราสนใจจะนับ แต่ถ้าเราสนใจสิ่งที่ปรากฏอยู่ใน C(n,r) จะเห็นว่ามันเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับ C(n,n-r)

  30. ทฤษฎีทวินาม เป็นสัมประสิทธิ์ทวินาม เนื่องจากจำนวน นี้ปรากฏอยู่ในการขยายการยกกำลังของนิพจน์ทวินามอย่าง (a+b)nซึ่งเป็นนิพจน์ทวินามอย่างง่ายเมื่อ n=1 ตัวอย่าง ให้ขยายนิพจน์ (x+y)3 ทฤษฎีบท ให้ x และ yเป็นตัวแปรและ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบดังนั้น

  31. พิสูจน์ จากทฤษฎีบททวินามที่ x=1 และ y=1 เราจะเห็นว่า บทแทรกของทวินาม บทแทรกที่ 1 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบดังนั้น

  32. พิสูจน์ จากทฤษฎีบททวินามที่ x=-1 และ y=1 เราจะเห็นว่า บทแทรกของทวินาม บทแทรกที่ 2 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบดังนั้น

  33. บทแทรกของทวินาม บทแทรกที่ 3 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบดังนั้น พิสูจน์ จากทฤษฎีบททวินามที่ x=1 และ y=2 เราจะเห็นว่า

  34. เอกลักษณ์ของปาสคาล (Pascal’s Identity) สัมประสิทธิ์ทวินามมีเอกลักษณ์ที่แตกต่างกันมากมาย ในที่นี้จะกล่าวถึงเอกลักษณ์ที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งดังทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของปาสคาล ให้ nและ kเป็นจำนวนเต็มบวกโดยที่ nkดังนั้น จากเอกลักษณ์ของปาสคาล สามารถนำมาสร้างเป็นสามเหลี่ยมปาสคาล (Pascal’s Triangle) ได้

  35. Pascal’s Triangle • 1 • 1 • 12 1 • 3 3 1 • 1 4 6 41 • 1 5 10 10 5 1 • ...

More Related