BULANIK İLİŞKİ MATRİSİ İLE ATAMA PROBLEMİ ÜZERİNE

1. BULANIK İLİŞKİ MATRİSİ İLE ATAMA PROBLEMİ ÜZERİNE Prof. Efendi NASİBOĞLU DEÜ Fen Fakültesi Bilgisayar Bilimleri Bölümü

2. BELİRSİZLİK KAVRAMI • Stokhastik belirsizlik • Zarın yuvarlanması… • Sözel belirsizlik • Güzel kitap, düşük fiyat, ağır eşya… • Bilgisel belirsizlik • Kredi değerliliği, dürüstlük…

3. KLASİK - BULANIK MANTIK • Klasik mantık • Önermeler sadece doğru veya yanlış olabilir. • Spor yapmak faydalıdır. (Doğru) • Teorik eğitim yeterlidir. (Yanlış) • Doğruluk derecesi 0 ya da 1’dir. • Bulanık mantık • Doğruluk derecesi [0,1] aralığında değerler alabilir. • Spor yapmak faydalıdır. (0.9 doğru) • Teorik eğitim yeterlidir. (0.5 doğru)

4. KLASİK KÜME • Bir eleman bir kümeye ya aittir ya da değildir. ya da • Klasik kümede üyelik fonksiyonu

5. 1 x 25 KLASİK KÜME U: insanlar kümesi G: gençinsanlar kümesi

6. 1 x BULANIK KÜME • L. A. Zadeh, “Fuzzy sets,” Information and Control, vol. 8, pp. 338-353, 1965. • U evrensel kümesinde, G bulanık kümesi üyelik fonksiyonu ile tanımlanır. • Klasik kümede ise şeklindedir. 25

7. b1 a1 b2 A B a2 b3 a3 b4 a4 b5 İKİLİ BAĞLANTILAR (BINARY RELATIONS)

8. GERÇEK HAYATTA BAĞLANTILAR • x,y’ye yakındır. • xve ysayıları • x,y’ye bağlıdır. • xve yolayları • x,y’ye benzerdir. • xveykişileri veya nesneleri

9. OPTİMİZASYON NEDİR? • Optimizasyon, bir sistemde yer alan kaynakların en iyi şekilde kullanılması ile, belirli amaçlara ulaşmayı sağlayan bir teknoloji olarak tanımlanmaktadır. • Kaynaklar: İşgücü, zaman, kapital, hammaddeler, kapasite,… • Amaçlar: Maliyet minimizasyonu, kâr maksimizasyonu, kapasite kullanımının ve verimliliğin maksimizasyonu…

10. ATAMA PROBLEMLERİ • Atama problemleri bir çeşit optimizasyon problemidir. • Kaynakların, görevlere en uygun şekilde atanmasını sağlamayı amaçlar. • İşçilerin işlere atanması • İşlerin makinelere paylaştırılması • Nesnelerin kutulara paylaştırılması…

11. ATAMA PROBLEMLERİ Maliyet minimizasyonu için matematiksel gösterim

12. BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ • Bir önceki problem gösteriminde i. işçinin j. işi yapma maliyetleri bulanık değişken olabilir. • Veya işçilerin işleri yapma yeteneklerine göre maksimum kaliteli iş paylaşımı ile ilgilenilebilir.

13. BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ Kutu Paketleme problemi • Nesnelerin konteynerlere yerleştirilmesi problemi; • nesneler olsun. • konteynerler olsun. • kiralık konteyner olsun. • Nesneler ve konteynerler arasındaki bulanık ilişkiler; • : ’nin ve ’nin birarada taşınması gerekliliği • : ’nin ve ’nin birarada taşınması uyumluluğu • : ’nin ’de taşınması gerekliliği • : ’nin ’de taşınması uyumluluğu

14. BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ Kutu Paketleme problemi • Bu notasyona bağlı olarak; • Kalite derecesi;

15. BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ Kutu Paketleme problemi • Kısıtlar • fonksiyonu, koşulunu sağlayan herhangi bir doğrusal fonksiyon olsun. konveks bulanık küme olsun. • Kısıtlar toplamsal da olabilir.

16. BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ Kutu Paketleme problemi (1.1) (1.2) (1.3)

17. BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ Kutu Paketleme problemi • (1.1)-(1.3) problemini çözebilmek için problem şu şekle dönüştürülür; (1.4) (1.5) (1.6) (1.7)

18. BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ Kutu Paketleme problemi • Lemma 1: Eğer belirli bir için sağlanıyorsa verilen “g” değeri için (1.4)-(1.7) probleminin çözümü yoktur. • Teorem 1: durumunda (1.4)-(1.7) probleminin çözümü yoktur. • Teorem 2: , bağlantı matrisinin transitif kapanması olsun. durumunda (1.4)-(1.7) probleminin çözümü yoktur.

19. BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ • n sayıda iş , m sayıda işçi olsun. • Kiralık işçi grubu ile gösterilsin. • Bulanık yetenekler matrisi olsun. • İşçilerin işlere atanması • Her bir esas işçinin toplam iş yüklemesi işçinin kapasitesini aşmamalıdır. • Her bir iş, sadece bir işçiye atanabilir.

20. OPTİMİZASYON KRİTERLERİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ

21. BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ • Örnekteki amaç fonksiyonunda, minimum kaliteyle iş yapan işçinin atamasının maksimum yapılması hedeflenmiştir. Ancak bu fonksiyondaki min operatörü yerine herhangi bir birleştirme operatörü kullanılabilir.

22. Siraliağirlikli ortalama birleştirme operatörü (owa) • n boyutlu OWA birleştirme fonksiyonu ağırlık vektörüyle aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır. • Sınırlı: • Monoton: Eğer ise • Simetrik: • Idempotent: Eğer ise, .

23. ÇÖZÜM ŞEMASİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ • I. Aşama • II. Aşama

24. ÇÖZÜM ALGORİTMASİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ I. Aşama • Adım 0. Başlangıç değerler; 24

25. ÇÖZÜM ALGORİTMASİ KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ • Adım 1. İşler, iş miktarlarının büyüklüğüne göre azalan sırada sıralanır. • Adım 2. Her bir iş sırayla ele alınır. • Adım 3. İşçiler j. işi yapabilme yeteneklerine göre, azalan sırada sıralanırlar. • Adım 4. Her bir i. işçi için Adım 5 tekrarlanır. • Adım 5. Eğer Sonuç: ve DegMin

26. II. Aşama 26

27. II. Aşama Çözüm Algoritmasi

28. 28

29. KAYNAKLAR • NASİBOV E.N.,(1998),“On The Bin Packing Problem with Fuzzy Information”,Izv. Akad. Nauk Azerbaidzhana. Ser. Fiz.-Tekh. İ Matem.Nauk, No 6, 23-27. • NASİBOV E.N.,(2002),“Certain integral Characteristics of Fuzzy Numbers and visual Interactive Method of Choosing The Strategy of Their Calculation”, J. Comp. And System Sci. Int., 41(4), 584-590. • NASİBOV E.N., NASIBOVA R.A., (2003), “OWA and MIN Aggregation methods in fuzzy bin-packing problem”, Transac.of the National Academy of Sciences of Azerbaijan, phus.-tech. and math. series, No. 2, pp.45-50. • NASİBOV E.N., (2003), “Aggregation of Fuzzy Values in Linear Programming Problems”, Automatic Control and Computer Sciences 37(2), 1-11. • NASİBOV E.N., (2004), “An Algorithm for Constructing an Admissible Solution to the Bin Packing Problem with Fuzzy Constraints”, Journ. of Comp. and Syst. Sci. Int., 43, No.2, 205-212. • NASİBOV E.N., SENOL S., NASIBOVA R.A., (2004), “An Optimal Task-Assignment Problem with a Fuzzy Competence Matrix”, Automatic Control and Computer Science, Volume 37, No.6, 28-40. • NASİBOV, E.N., & KINAY, A.Ö.,(2006), “Kaliteli İş Paylaşımı Problemi için Bulanık Mantık Yaklaşımı”, İstanbul Ticaret Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi, 5(10), 13-22. 29