§2 ． 6 函数的微分

1. §2．6 函数的微分 一、微分的定义 微分的定义 可微与可导的关系 二、微分的几何意义 三、微分公式与微分运算法则 基本初等函数的微分公式 函数和差积商的微分法则 复合函数的微分法则 首页 上页 返回 下页 结束 

2. x0 (x)2 x x x0x x0 x0x A=x02 一、微分的定义 引例： 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长x由x0变到x0Dx，问此薄片的面积A改变了多少？ 因为 Ax2，所以金属薄片的面积改变量为 DA(x0Dx)2(x0)2 2x0Dx(Dx)2。 当Dx0时，(Dx)2o(Dx )； 2x0Dx是Dx的线性函数，是DA的主要部分，可以近似地代替DA。 下页

3. 微分的定义： 设函数yf(x)在某区间内有定义，x0及x0Dx在这区间内，如果函数的增量 Dyf(x0Dx)f(x0) 可表示为 DyADxo(Dx)， 其中A是不依赖于Dx的常数，而o(Dx)是比Dx高阶的无穷小，那么称函数yf(x)在点x0是可微的，而ADx叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分，记作dy，即 dyADx。 下页

4. yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)。dy=ADx。 可微与可导的关系： 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导，且当函数f(x)在点x0可微时，其微分一定是 dyf(x0)Dx。 这是因为，一方面 另一方面 其中a0(当Dx0)，且A=f(x0)是常数，aDxo(Dx)。 下页

5. yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)。dy=ADx。 可微与可导的关系： 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导，且当函数f(x)在点x0可微时，其微分一定是 dyf(x0)Dx。 函数yf(x)在任意点 x 的微分，称为函数的微分，记作dy或 df(x)，即 dyf(x)Dx。 例如， dcos x(cos x)Dxsin xDx； dex(ex)DxexDx。 下页

6. yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)。 dyf(x0)Dx。 例1．求函数yx2在x1和x3处的微分。 解：函数yx2在x1处的微分为 dy(x2)|x1Dx2Dx； 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3Dx6Dx。 例2．求函数 yx3当x2，Dx0. 02时的微分。 解：先求函数在任意点x的微分， dy(x3)Dx3x2Dx。 再求函数当x2，Dx0. 02时的微分， =3220.02=0.24。 下页

7. 自变量的微分： 因为当y=x时， dy=dx=(x)Dx=Dx， 所以通常把自变量 x 的增量Dx称为自变量的微分，记作dx，即 dxDx。 因此，函数yf(x)的微分又可记作 dyf(x)dx。 下页

8. 增量与微分的关系： 当f(x0)0时，有 根据等价无穷小的性质，Dydyo(dy)， 结论： 在 f(x0)0 的条件下，以微分dyf(x0)Dx 近似代替增量Dyf(x0Dx)f(x0) 时，相对误差当Dx0时趋于零。因此，在|Dx|很小时，有精确度较好的近似等式Dy dy。 首页

9. y yf(x) T N Dy Dy dy dy M Dx  x0 x0 +Dx x O 二、微分的几何意义 当Dy是曲线yf(x)上的点M处纵坐标的改变量时， dy就是曲线在M点的切线上点M处纵坐标的相应改变量。 当|Dx|很小时，|Dydy|比|Dx|小得多。因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。 首页

10. 三、微分公式与微分运算法则 1．基本初等函数的微分公式 (xm)m xm1 d(xm)mxm1dx (sin x)cos x d(sin x)cos xdx (cos x)sin x d(cos x)sin xdx (tan x)sec 2x d(tan x)sec 2xdx (cot x)csc 2x d(cot x)csc 2xdx (sec x)sec x tan x d(sec x)sec x tan xdx (csc x)csc x cot x d(csc x)csc x cot xdx (ax )axln a d(ax)axln adx (ex)ex d(ex)exdx 下页

11. 下页

12. 2．函数和、差、积、商的微分法则 求导法则： 微分法则： (uv)uv d(uv)dudv (Cu)Cud(Cu)Cdu (uv)uvuvd(uv)vduudv 关于d(uv)vduudv的证明： 因为 d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx。 而 udxdu，vdxdv， 所以 d(uv)vduudv。 下页

13. 2．函数和、差、积、商的微分法则 求导法则： 微分法则： (uv)uv d(uv)dudv (Cu)Cud(Cu)Cdu (uv)uvuvd(uv)vduudv 下页

14. 3．复合函数的微分法则 设yf(u)及uj(x)都可导，则复合函数yf[j(x)]的微分为 dyyxdxf(u)j(x)dx。 于由j(x)dxdu，所以，复合函数yf[j(x)]的微分公式也可以写成 dyf(u)du或 dyyudu。 由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式dyf(u)du保持不变。这一性质称为微分形式不变性。 下页

15. 若yf(u)，uj(x)，则dyf(u)du。 例3．ysin(2x1)，求dy。 解：把2x1看成中间变量u，则 dyd(sin u) cos udu cos(2x1)d(2x1) cos(2x1)2dx 2cos(2x1)dx。 在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量。 下页

16. 若yf(u)，uj(x)，则dyf(u)du。 下页

17. 例5．ye13xcos x，求dy。 解：应用积的微分法则，得 dyd(e13xcos x) cos xd(e13x)e13xd(cos x) (cos x)e13x(3dx)e13x(sin xdx) e13x(3cos xsin x)dx。 下页

18. 例6．在括号中填入适当的函数，使等式成立。例6．在括号中填入适当的函数，使等式成立。 (1) d( )xdx； (2) d( )cos wtdt。 解：(1)因为d(x2)2xdx，所以 (2)因为d(sin wt)w cos w tdt，所以 结束