Sannsynlighesregning

1. Sannsynlighesregning Petter Mostad 2005.09.14

2. Repetisjon • Utfallsrom, sannsynlighet, sannsynlighetsmodell • Begivenheter • Mulige/gunstige metoden • Betinget sannsynlighet • Uavhengige begivenheter

3. Eksempler fra genetikk • Alle personer har to alleler per locus • Nedarving av allel fra far er uavhengig av nedarving av allel fra mor • Recessive og dominante gener: • Genet for blå øyne er recessivt • Genet for Huntingtons sykdom er dominant • Mange gener er verken dominante eller recessive

4. Genetikk og sannsynligheter • Hvis mor er AB og far er BC, hva blir utfallsrommet for barnet? Hva blir sannsynlighetene? • Hvis mor og far både har Huntingtons sykdom, hva er sannsynligheten for at barna også får sykdommen? • Hvis mor og far har brune øyne, og storesøster har blå øyne, hva er sannsynligheten for at lillesøster også har blå øyne?

5. Eksempler • Anta 10% av en befolkning er bærere av sigdcelle-anemi. Anta to (friske) personer fra denne befolkningen får barn sammen. Hva er sannsynligheten for at de får et barn med sigdcelle-anemi? (Sykdommen er monogen og recessiv)

6. Flere eksempler • Anta 10% av en leges pasienter kommer dit på grunn av ryggproblemer. Hva er sannsynligheten for at de tre første pasientene en morgen kommer på grunn av ryggproblemer? • Hva er sannsynligheten for at minst en av de tre første kommer på grunn av ryggproblemer?

7. Flere eksempler • Anta 5% av pasientene ved et akuttmottak kommer p.g.a. matforgiftning. Hva kan du si om sannsynligheten for at de tre første pasientene en morgen kommer p.g.a. matforgiftning?

8. Total sannsynlighet • Anta 10% av alle gutter og 5% av alle jenter som blir født har for lav fødselsvekt. Hva er sannsynligheten for at det neste barnet som blir født har for lav fødselsvekt? • Løsning: 0.5 * 0.1 + 0.5 * 0.05 = 0.075

9. Total sannsynlighet • Med symboler: Om A og B er begivenheter, så har vi • Dermed, for eksempel om A1, A2 og A3 er disjunkte begivenheter slik at er hele utfallsrommet, så får vi

10. Eksempler • Om du kaster to terninger, hva er sannsynligheten for at de viser forskjellig resultat, men en viser 5 eller 6?

11. Bayes lov • Anta: 1.2% av befolkningen har diabetes type 2, og at 10% av befolkningen er overvektig. Anta at blant overvektige er andelen av diabetes 3%. Hva er andelen av overvektige blant de med diabetes?

12. Bayes lov • Løsning: • Andelen i befolkningen som både er overvektig og har diabetes blir 0.1*0.03 = 0.003 • Andelen disse utgør blant de som har diabetes blir 0.003 / 0.012 = 0.25 = 25%

13. Bayes lov • Regningen i forrige eksempel med symboler: • Merk at dette kan utledes enkelt: • Sammen med regelen om total sannsynlighet:

14. Eksempel • Sykdommen X finnes hos 1% av befolkningen. En test for X finnes, og • Hvis du er syk er testen positiv i 90% av tilfellene • Hvis du er frisk er testen positiv i 10% av tilfellene. • Du har fått en positiv test: Hvor sannsynlig er det at du er syk?

15. Kombinatorikk • Enklest: Læren om hvordan man teller ting. • Brukes oftest om telling i situasjoner som kan sammenliknes med å trekke fargede baller fra en urne: • Hvor mange baller (av hver farge) finnes? • Tilbakelegging eller ikke? • Telles ordnede eller uordnede utvalg? • Når stopper man å trekke baller? Spørsmal: Hvor mange ulike resultater finnes? • Kan så kombineres med gunstige/mulige metoden for å beregne sannsynligheter

16. Eksempel • Anta vi har n kuler, alle ulike farger (eller tall), og vi trekker s kuler med tilbakelegging. Hvor mange ulike ordnede resultater? • Svar: ns • Eksempel: Hvis en datamaskin genererer telefonnummer tilfeldig, ved å velge 8 siffer helt tilfeldig, hva er sjangsen for at den velger ditt telefonnummer?

17. Eksempel • Anta vi har n kuler, alle ulike farger (eller tall), og vi trekker s kuler uten tilbakelegging. Hvor mange ulike ordnede resultater? • Svar: n*(n-1)*(n-2)*…*(n-s+1) • Eksempel: En organisasjon med 10 medlemmer skal velge formann, sekretær og kasserer (forskjellige personer). Hvor mange mulige styrer kan velges?

18. Eksempel • Anta vi har n ulike kuler, og trekker alle n, uten tilbakelegging. Hvor mange ulike ordnede resultater? • Svar: n*(n-1)*…2*1 = n! • Eksempel: Hvor mange ulike rekkefølger kan man plassere alle i denne klassen i?

19. Eksempel • Anta vi har n ulike kuler, og trekker s kuler uten tilbakelegging. Hvor mange uordnede resultater? • Svar: Antall ordnede resultater delt på antall ordninger av hvert resultat, altså • Eksempel: En organisasjon med 10 medlemmer skal velge et styre med 3 personer; hvor mange mulige styrer?

20. Eksempel • Anta vi har n baller, r svarte og resten hvite. Anta vi trekker s kuler uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for å få akkurat k svarte baller? • Svar: Vi teller antallet utvalg der akkurat k er svarte, og deler på det totale antallet utvalg: Kalles hypergeometrisk fordeling

21. Eksempel • Anta du spiller lotto gjennom å velge 7 tall mellom 1 og 34 helt tilfeldig. Hvor stor er sannsynligheten for å få akkurat 3 rette?

22. Flush-eksempel • Hva er sannsynligheten for å få utdelt 5 kort med samme farge? • Løsning 1: Se på sannsynligheten for å få utdelt hvert av de 5 kortene. • Løsning 2: Anvend den hypergeometriske fordelingen med 13 svarte og 38 røde baller, og trekk 5 baller fra dette.