第二章 解析函数

1. 第二章 解析函数 --------复变函数研究的主要内容 §2.1 函数解析性的概念及其判定 §2.2 复变初等函数

2. 1．导数定义： 2．可导与连续的关系： 可导 连续

3. 3．微分定义： 若 则称 在 点可微， 称为 在 点的微分. 记为 4．导数与微分的关系： 可导 可微

4. 5．二元函数微分的定义： 设 在 内有定义，且 若 则称 在 处可微.

5. 存在，则称 在 点可导, 并把这个极 限值称为 在 点的导数，记做 若 在区域 D内每一点都可导, 则称 第一节 函数解析性的概念及其判定 1.1 复变函数的导数与微分 定义2.1（复变函数的导数） 设函数w=f(z)定义于区域 点 若极限 在区域 D内 可导. 注意：趋近方式的任意性

6. 复变函数的微分 设函数w=f(z)在 可导，令 令 则 其中， 此时，把 的线性部分 称为函数w=f(z)在 处的微分，记作 若函数w=f(z)在z0的微分存在，则称函数在z0可微. 可微与连续的关系 连续是可导(可微)的必要而非充分条件. 可微与可导的关系 函数在一点可微与在一点可导是等价的. 若函数f(z)在区域D内处处可微，则称函数在D内可微.

7. 处处可导，且 在复面内处处 在复平面内 例1　设 则 例2　证明 连续，但处处不可微. 结论： 对于一个复变函数，即使实部和虚部都可微，但也可能 处处不可微。

8. 是两个互为反函数的单值函数, 且 与 其中 (2) 其中n为正整数. (1) 其中c为复常数. 其中 求导公式与法则:

9. 定义2.2设 在区域D有定义. (1) 设 , 若存在 的一个邻域，使得 也称 是 的解析点. (2) 若 在区域D内每一点都解析，则称 在区域D内解析, 或者称 是区域D内的 在此邻域内处处可导, 则称 在 处解析. 1.2 解析函数的概念 解析函数. 若f(z)在 不解析，则称为f(z) 的奇点. 注意： 函数在一点解析与在一点可导不等价. 函数在区域内解析与在区域内可导等价. 解析要求高.

10. 设函数 在区域D内解析, 则 思考题： （1）有没有这样一个函数，只在一点解析，而在这点的 邻域内不解析？ （2）闭区域解析与闭区域可导是否等价？ （3）如果函数 f(z) 在曲线C上可导，是否在该曲线上解析？ 结论： （除去分母为0的点） 在区域D内解析。 特别地, （1）多项式P(z)在全平面内解析. （2）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析.

11. 例 1研究下列函数的解析性.

12. 定理2.1　复变函数 在点 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要 条件是二元函数 在 处都 1.3 判定函数解析的方法 可微，并且满足Cauchy-Riemann方程 推论2.1： 注意：定理2.1中满足C-R方程仅仅是函数在一点可导的必要条件， 还需要函数U和V在该点可微. 例 2 证明函数 在点z=0满足C-R方程，但在点 z=0 不可导.

13. 定理2.2复变函数 在区域D内解析的充分必要条件是 在区域 D 内可微, 且在D内满足C-R方程. 如果 u(x,y)和 v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数连续 (从而可微), 并且满足C-R方程, 则函数f (z)在区域D解析. 推论2.2： 说明： 在讨论函数 的极限与连续问题时， 等价于讨论两个二元实变函数的极限与连续问题，对U和V 但在讨论可导与解析性时，即使 之间的关系没有任何要求. U和V均可导，f(z)也未必可导当然更未必解析。需要考虑C-R.

14. 例4　证明函数 是复平面C上的解析函数，且 解析函数的判定方法: (1) 如果能够用定义、求导公式或求导法则验证复变函f (z)的导数在区域D内处处存在, 则可直接断定f (z) 在区域D内解析. (2) 验证U和V是否满足C-R方程，以及U和V是否可微. 例3 判断下列函数的可导性与解析性.

15. 例5 如果 在区域D内处处为零, 则f (z)在区域D内为常数. 定理：设f(z)= U(x,y)+iV(x,y)在D内解析，并满足下列条件之一， 则 f(z)在区域D内恒为常数. (1) f(z)在区域D内恒取实值； (2) 在D内解析； (3) 在D内是一个常数； (4)argf(z)在D内是一个常数； (5)au+bv=c,其中a，b与c为不全为0的实常数.

16. Ex1. 设 问 课堂练习 在何处可微? 是否解析? Ex3.设 其中 a, b, c, d是常数，问它们取何值时, 函数 f (z) 在复平面上解析.