第四章向量代数、平面与直线 ( 第 19 次课 )

第四章向量代数、平面与直线(第19次课)

第一节向量及其线性运算 定义：既有大小又有方向的量称为向量。向量一般A为起点B为终点的向量为的大小称为的长度(length)或模(magnitude)，记作。通常用黑体的希腊字母 α，β，γ表示向量。解析几何中所讨论的向量只考虑大小与方向，它的起点或终点位置可以变动，因此向量可以平行移动。这种位置不固定的向量称为自由向量。

3 向量的相等、反向量（负向量）、零向量、单位向量。定义：从一点O作向量，再由点A作向量，称向量是向量与之和记作这称为向量加法的三角形法则。再以OA和OB为边定义：从一点O作向量和，作平行四边形OACB，称向量是向量α与β之和记作这称为向量加法的平行四边形法则。

第一节向量及其线性运算 4 加法的性质: 交换律，结合律，零向量，负向量定义：减法减法可以看成是加法的逆运算。定义：实数k和向量α的乘积是一个向量，记作kα，它的模是。它的方向规定为：当k>0时，kα与α同向；当k<0时，kα与α反向；当k=0或α=0时，kα=0。

第一节向量及其线性运算 5 向量加法与数量乘法的性质(线性空间) • 交换律： • 结合律：

第一节向量及其线性运算 6 定义：如果向量组用同一起点的线段表示后，它们在一条直线上，则称这个向量组是共线的。如果向量组用同一起点的线段表示后，它们在一个平面上，则称这个向量组是共面的。两个向量α与β共线，记为α//β。定理：两个向量α和β共线的充分必要条件是存在不全为零的实数k1和k2，使得k1α+k2β=0。定理：三个向量α, β和γ共面的充分必要条件是存在不全为零的实数k1, k2和k3，使得k1α+k2β+ k3γ=0。

第一节向量及其线性运算 7 推论：如果向量α和β共线，且向量，那么存在惟一的实数m，使β=mα。推论：如果向量α、β和γ共面，且向量α和β不共线，那么存在惟一的实数组m1和m2，使γ= m1α+ m2β。例题1：三角形一边上的中线等于另两边和的一半。例题2：若M是三角形ABC的重心，AD是BC边上的中线，证明AM=2/3AD。

第19次课作业 P121-122: 1, 2(1)(3)(5),3

第四章 向量代数、平面与直线 ( 第 19 次课 )