VECTORES EN EL PLANO

VECTORES EN EL PLANO IES LOS PEDROCHES (Pozoblanco – Córdoba) Curso 2003-04

El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q P Q

S P Q R Vectores de la misma magnitud La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por R S

Q S S Q R R P P S R La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido Vectores de la misma dirección Vectores en direcciones distintas

Tienen la misma magnitud y dirección Q S P R Vectores Equivalentes Definición Geométrica Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes

Eje y O Eje x Representante del vectorpor el origen de coordenadas

Eje Y u O Eje X A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así: P(a,b) b a (a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P

Eje Y u O Eje X Dado (a,b)2se le asocia el vector u así: P(a,b) b u=(a,b) a Definición algebraica Un vector es un par ordenado de números reales

Punto P en el plano Vector u=OP desde el origen hasta P (a,b)2 Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas rectangulares

Eje Y u (a,b) O b Eje X  a Dirección  de u Angulo positivo que forma con el eje X Magnitud o módulo de un vector u Un vector de módulo uno se llama unitario El vector nulo (0,0) no tiene dirección

Operaciones con vectores • Seanu=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y  un número real. Se define el vector: • suma u+v como • u+v= (x+a, y+b) • producto por un escalar u como •  u=(x, y).

Eje Y u+ v u O Eje X v Operaciones con vectores Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe gráficamente que u+v=(x+a,y+b)

Eje Y b b u+ v u y v x Eje X O a x Operaciones con vectores y b x a u+v=(x+a,y+b)

Eje Y u u Eje X O u Operaciones con vectores >0 <0 Si u=(x,y),  pruebe gráficamente que u=(x, y)

Eje Y ? u Triángulos semejantes u y ¿ Eje X O x Operaciones con vectores y x u=(x, y)

Eje Y y u yj xi j O x i Eje X Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los vectores i,j

Productoescalar Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1 i.j=j.i=0

 Productoescalar Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como: u.v=ax+by Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo  no negativo mas pequeño entre u y v.

Eje Y Eje X  /2 Productoescalar Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o . Dos vectores son ortogonalessi forman un ángulo de /2

Teorema:Sean u,v vectores en 2 y  un número real, entonces: • u.0 = 0 • u.v = v.u (propiedad conmutativa) • (u).v = (u.v) = u.( v) • u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva) Propiedades del productoescalar

Sean u y v vectores no nulos y  el ángulo entre ellos, entonces u  v ucos w= Teorema: Interpretación geométrica:

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