Vorlesung 25:

1. Vorlesung 25: Roter Faden: Heute: Relativistische Dynamik Versuche: Messung der Lichtgeschwindigkeit, Film

2. Zum Mitnehmen Ein ruhender Beobachter sieht in einem bewegten Bezugssystem, dass Längen um einen Faktor kürzer erscheinen (Längenkontraktion oder „bewegte Stäbe sind kürzer“) Zeitmessungen um einen Faktor  gedehnt werden (Zeitdilatation oder “bewegte Uhren gehen langsamer“)  = 1/(1-2) wird gleich 1, wenn  = v/c gleich 0 wird, d.h. relativistische Effekte werden wichtig für   1 Dann geht  .

3. Lorentzinvariante Größen Bisher ändert sich alles in bewegten Systemen: L‘ = L/ t’ = t m’ = m. Gibt es Lorentzinvariante Größen, d.h. Größen die in jedem Inertialsystem gleich sind? Antwort: ja, Abstand die Licht ablegt und Ruhemasse. Dies kann man im 4-dimensionalen Orts-Zeit Raum als Lorentzinvariante Längen der Vierervektoren X=(x,y,z,ict) und P=(px,py,pz,imc2) definieren. Länge von X: -L2=X.X=x2+y2+z2-c2t2 Lorentzinvariant, weil c und damit x=ct in jedem Inertialsystem gleich ist (x2-ct2=x’2-ct’2 wie man leicht aus Lorentzgleichungen sieht) P=cmdX/dt und hat Länge –c4m02=P.P=c2(px2+py2+pz2-m2c2). Ruhemasse ist Lorentzinvariant und es gilt: E2=m2c4=p2c2+m02c4 oder kurz (c=1) E2=p2+m2 E pc (Herleitung nachher) m0c2

4. ict’ ict ict x’ Zukunft x anderswo x O Vergangenheit Minkowski Raum-Zeit Diagramme Bewegungen im Mink. Raum heissen Weltlinien. Weltlinie von O, d.h. x=0, entspricht ict Achse. Weltlinie von O’, d.h. x’=0, entspricht ict’ Achse. Steigung ct/x=c/v=1/ x’ Achse entspricht t’=(t-vx/c2)=0. Steigung ct/x=v/c= . y’ y v O O’ x Minkowski Raum-Zeit Diagramm Euklidischer Raum unabh. von Zeit

5. ict ict‘ x2-c2t2=1 x’ A’ B O A x Längenkontraktion im Minkowski Raum

6. ict ict‘ B’ t’2 t2 B t1 A=A’ t’1 x’ x0 x Zeitdilatation im Minkowski Raum

7. Addition von Geschwindigkeiten

8. Zwillings-Paradoxon E P Abstand Erde-Planet: 8 Lichtjahre. A bleibt auf der Erde, B reist mit Geschwindigkeit v0=0,8c zum Planeten und zurück Sie schicken sich jeden Geburtstag einen Laserpuls. Wie alt sind die Zwillingsbrüder bei der Rückkehr von B? Man muss die relativistische Dopplerverschiebung berücksichtigen: f’=f0√(1-v/c)/(1+v/c)=1/3f0 auf der Hinreise und 3f0 auf der Rückreise. Denn der Laserpuls muss den Abstand ’=cT’+vT’ ablegen um B zu erreichen, wobei T’=T die dilatierte Zeit eines Jahres ist. Daher f’ = c/’ = c/[(c+v) T] = f0 √(1-v/c)/(1+v/c)

9. Zwillings-Paradoxon Aus der Sicht von B: L‘=L/=8/(5/3) und t‘=L‘/v=6 J hin und 6 J zurück. Er empfängt auf der Hinreise 1/3 Signale pro J, d.h. 2 Signale und 3 Signale/J auf der Rückreise, d.h. 18 Signale. Der Bruder ist also bei der Rückkehr 20 Jahre älter, er nur 6 J. Aus der Sicht von A: B reist t= L/v = 8/0,8= 10 Jahre hin und 10 Jahre zurück. A kann nur wissen, dass B umgekehrt ist, wenn er die erhöhte Frequenz beobachtet. Das dauert bei L=8Lj 8 Jahre, d.h. A beobachtet 18 J die 1/3 Signale pro Jahr, insgesamt 6 Signale. Dann noch 2 Jahre 3 Signale pro Jahr bis B zurück ist, also 6 Signale. A hat beim Rückkehr also 6+6=12 Geburtstage Für B gezählt, weil er selbst 20 Jahre älter geworden ist. Beide sind sich also einig, dass Reisen jung hält! Das unterschiedliche Alter kommt durch die endliche Lichtgewschwindigkeit zu stande, die die Zählung der Geburtstage “verfälscht”.

10. Zwillings-Paradoxon

11. Zwillings-Paradoxon

12. Masse in bewegten Systemen

13. Relativistische Impuls und Energie Auswendig kennen: E=mc2=m0c2=Ek+m0c2 p=mv =v/c=p/E =E/m0c2

14. Energie kann in Materie umgewandelt werden oder E=mc2 Otto Hahn 1939: Bei Uranspaltung verschwindet Masse und wird Energie freigesetzt Es gilt: E=mc2 wie von Einstein vorhergesagt.

15. Bestimmungen der Lichtgeschwindigkeit

16. Versuch: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit

17. Anwendung Vierervektoren

18. Zum Mitnehmen Auswendig kennen: E=mc2=m0c2=Ek+m0c2 p=mv =v/c=p/E =E/m0c2