Métodos Computacionais II

1. Métodos Computacionais II Introdução a Métodos Computacionais Antonio Mendes da Silva Filho 2007.2

2. Natureza e Objetivos da Matemática Numérica • Máquinas de contagem da IBM no início do Século XX • Advento das máquinas computacionais nos anos 40 • Aplicações em cálculos balísticos • Logística de transporte • Importância dos métodos computacionais • Propriedades da matemática real são perdidas em máquinas computacionais • Representação aproximada de números  perda de precisão • Erros, propagação e amplificação de erros

3. Matemática Computacional • Estudo da matemática do ponto de vista computacional

4. Divisões da Matemática Computacional • A matemática computacional é a área da matemática que se preocupa com o desenvolvimento, emprego e estudo de métodos numéricos, podendo ser subdivida em: 1. Matemática Numérica 2. Matemática Simbólica 3. Matemática Gráfica 4. Matemática Intervalar * maior ênfase prática

5. Matemática Numérica • Parte da matemática computacional que se preocupa com o desenvolvimento de algoritmos para resolução aproximada de problemas representada por um modelo matemático. • Utiliza como sistema de operações o conjunto {+,., /, .} de operadores matemáticos

6. Matemática Simbólica • Busca a solução analítica de problemas matemáticos • Por exemplo, a solução analítica da integral:

7. Matemática Gráfica • Trabalha com de forma gráfica (i.e. modelos gráficos) buscando representar a solução dos problemas também na forma gráfica.

8. Matemática Intervalar • Trata dados na forma de intervalos numéricos, buscando controlar os limites de erro dos processos da matemática numérica.

9. Foco de Atuação • Nosso foco recai sobre a matemática numérica • Estudamos processos numéricos para a resolução de problemas (algoritmos) visando a máxima economia e confiabilidade em termos de fatores envolvidos, tais como: 1. tempo de execução 2. memória utilizada 3. erros de arredondamento

10. O que é Problema Computacional • Consiste em computar o valor de uma função para uma entrada que satisfaça as especificações. • Ou seja, dada uma função f : A → B e uma entrada x que pertence a A, computar y = f (x). • Definir um problema computacional é especificar a relação entre entrada e saída. • Exemplo: x codifica um grafo direcionado G = (V , E), uma função w : E → R com os pesos dos arcos, e dois vértices s e t. f (x) é o caminho mais curto de s a t.  Necessidade de algoritmo para resolvê-lo

11. O que é um Algoritmo ? • Informalmente, um algoritmo é um procedimento computacional bem-definido que toma como entrada um valor (ou conjunto de valores) e produz como saída um valor (ou conjunto de valores) com a solução de um problema computacional. • Um algoritmo é uma seqüência de passos computacionais que transforma entrada em saída. • Podemos ver um algoritmo como uma ferramenta para resolver um problema computacional bem definido.

12. O que é um Algoritmo ?

13. Problema de Ordenação • Entrada • Uma seqüência (a1, a2, . . . , an) de n números. • Saída • Uma permutação (a1’, a2’, ..., an’) da seqüência de entrada tal que a1’ ≤ a2’ ≤ ... ≤ an’ • Dada uma seqüência de entrada (31, 41, 59, 26, 41, 58), um algoritmo de ordenação produz a saída (26, 31, 41, 41, 58, 59). • A entrada (31, 41, 59, 26, 41, 58) é dita instância do problema. • Em geral, uma instância consiste de todas as entradas satisfazendo quaisquer restrições impostas na especificação do problema, necessárias para computar a saída.

14. Problema de Ordenação (cont.) • Aplicações do problema de ordenação • Operação de ordenação é fundamental em ciência da computação. • O melhor algoritmo para uma certa aplicação depende: • tamanho da entrada • grau de ordenação da entrada • Corretude • Um algoritmo é dito correto se, para toda a instância, o algoritmo termina com a saída correta. • Neste caso, dizemos que o algoritmo resolve o problema.

15. Algoritmos Numéricos • Algoritmo numéricos são fundamentais ao processamento numérico • Algoritmos numéricos são tão importantes ao processamento numérico, quanto a solução numérica de sistemas de equações lineares a não-lineares. • A seguir, características desejadas de algoritmos numéricos são apresentadas

16. Características Desejáveis dos Algoritmos Numéricos • Inexistência de erro lógico • Inexistência de erro operacional • Quantidade finita de cálculos • Existência de um critério de exatidão • Independência de máquina • Precisão infinita • Eficiência

17. Inexistência de Erro Lógico • Um algoritmo não apresenta erro lógico se este sempre produz o resultado correto. Considere o exemplo abaixo. • Problema: procura-se a solução x* de ax = b • Algoritmo ingênuo: x* = b/a • Algoritmo correto: Se a = 0, então se b = 0 imprima “identidade” Senão imprima “contradição” Caso contrário x* = b/a

18. Inexistência de Erro Operacional • O algoritmo pode falhar por violar restrições físicas da máquina. • Seja T o conjunto de números possíveis de serem representados por uma máquina onde: a) x  T, - x  T b) t1 = inf{x : x  T  x > 0} c) t2 = sup{x : x  T  x > 0} • Se temos valores y tais que |y| < t1 dizemos que ocorreu “underflow”. • Se |y| > t2 dizemos que ocorreu “overflow”.

19. Quantidade Finita de Cálculos • Em algoritmos iterativos, é necessário que se estabeleça um critério de parada e se prove convergência. • Um algoritmo não pode executar indefinidamente e quando ele pára se espera que este tenha produzido o resultado esperado.

20. Existência de um Critério de Exatidão • É fundamental que o algoritmo possua um critério de exatidão em função das limitações de precisão das máquinas. • Deseja-se que o algoritmo forneça um resultado aceitável da forma: Resultado = Valor Aproximado + Erro

21. Independência de Máquina • É desejável que o algoritmo produza o mesmo resultado quando executado em diferentes máquinas. • A constante de Euler e = 2.718281828 . . ., por exemplo, terá representação distinta em diferentes máquinas. • Assim, não se deve utilizar o valor, mas sim a representação e = exp(1) que corresponde ao valor adotado pelo compilador.

22. Precisão Infinita • Com precisão infinita, os limites de erro devem convergir para zero. • Esta exigência estabelece a dependência entre a solução ideal em R e a solução de máquina. • Considere o problema de determinar sen(a) = x , dado a R.

23. Precisão Infinita • Algoritmo: calcula sen(a) = x Entrada {a} x = 0 ± 1 Saída {a, x} • Este algoritmo satisfaz as exigências: • Não ter erro lógico • Não tem erro operacional • O algoritmo é finito • Os dados não dependem da máquina • Temos o resultado dentro dos limites de erro • MAS, para satisfazer o critério de precisão infinita, deve haver condição adequada de truncamento. Se satisfeita, haverá convergência numérica.

24. Eficiência • Quando se deseja encontrar a solução para um problema, sempre visamos obter economia de rescursos envolvidos. • Um conjunto de fatores relevantes compreende: 1. tempo de execução 2. exatidão; 3. volume de dados 4. dificuldade de representação 5. eficácia. • Fazer contas com os dedos da mão, por exemplo, é eficaz mas não é eficiente para cálculos aritméticos não triviais.

25. Eficiência • Um exemplo compreende o algoritmo de Cramer para a solução de sistemas de equações lineares: Ax = b, com A Rn×n. • Passos do algoritmo 1) calcule o determinante Δda matriz dos coeficientes; 2) calcule os n determinantes Δxj resultantes da substituição da coluna j da matriz dos coeficientes pelo vetor b; e 3) a solução x = (x1, x2, . . . , xn) é dada por Δxj = Δxj/Δ, j = 1, . . . , n. • O algoritmo de Cramer acima executará (n + 1)!(n + 1) operações aritméticas • Já o algoritmo de Gauss termina após n3 operações.

26. Passos para Resolução de um Problema • Criação do modelo matemático do problema • Necessidade de simplificação • Uso de valores já conhecidos • Parâmetros de equações similares • Escolha ou desenvolvimento do algoritmo • Definição de parâmetros do algoritmo • Como a maioria dos problemas não tem solução direta e precisa, é comum fazer uso de métodos iterativos.

27. Influência da Computação Numérica Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot) Limitação na representação numérica (24 bits) Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

28. Influência da Computação Numérica Exemplo 2: Explosão de foguetes (04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5) Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits) Erro de trajetória 36,7 s após o lançamento Prejuízo: U$ 7,5 bilhões

29. Links Desastres Causados por Erros de Computação Numérica http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/ Coletânea de Bugs de Software http://wwwzenger.informatik.tu-muenchen.de/persons/huckle/bugse.html

30. Referências Ruggiero, M. A. G., Lopes, V. L. R., Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, Markron Books. Cláudio, D. M. e Martins, J. M., Cálculo Numérico Computacional, Ed. Atlas, 1987. Barroso, L, Barroso, M.M.A., Campos Filho, F. F., Cálculo Numérico com Aplicações, Ed. Harbra, 1987.