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集中講義（九州大学数理学研究院） バイオ構造データに対する数理モデルと アルゴリズム（３） ＋　数理談話会 木構造および画像データの文法圧縮

集中講義（九州大学数理学研究院） バイオ構造データに対する数理モデルと アルゴリズム（３） ＋　数理談話会 木構造および画像データの文法圧縮. 阿久津　達也 京都大学　化学研究所 バイオインフォマティクスセンター. 内容. 背景 文法圧縮 EOTG (Elementary Ordered Tree Grammar) 圧縮アルゴリズム TREE-BISECTION アルゴリズムの解析 画像データの文法圧縮 結論と課題. [Akutsu, Tech. Rep., SIGFPAI, 2010] [Hayashida et al., AST 2010]. 背景.

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集中講義（九州大学数理学研究院） バイオ構造データに対する数理モデルと アルゴリズム（３） ＋　数理談話会 木構造および画像データの文法圧縮

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  1. 集中講義（九州大学数理学研究院）バイオ構造データに対する数理モデルとアルゴリズム（３）＋　数理談話会木構造および画像データの文法圧縮集中講義（九州大学数理学研究院）バイオ構造データに対する数理モデルとアルゴリズム（３）＋　数理談話会木構造および画像データの文法圧縮 阿久津　達也 京都大学　化学研究所 バイオインフォマティクスセンター

  2. 内容 • 背景 • 文法圧縮 • EOTG (Elementary Ordered Tree Grammar) • 圧縮アルゴリズム TREE-BISECTION • アルゴリズムの解析 • 画像データの文法圧縮 • 結論と課題 [Akutsu, Tech. Rep., SIGFPAI, 2010] [Hayashida et al., AST 2010]

  3. 背景

  4. 研究の目的 • 人間の設計図 • ３２億文字　⇒ CD-ROM 1枚 • 意外に少ない • パソコンゲームより少ないかも • 細胞は60兆個もある • ここに全てが書かれているはず • 臓器、脳、顔の作り方、知能、本能 • でも、どう書かれているか、ほとんどわかっていない • 人間の設計図がCD-ROM 1枚 • データ圧縮の数理的原理があるはず！

  5. 文法圧縮

  6. 文法圧縮 • 与えられた文字列を一意に生成する最小の文脈自由文法を計算（もしくは近似） • 例abcabcabcabc 　⇒ S→ AAA→ BBB→abc • 様々な近似アルゴリズム　　　　　　　　（下限：定数近似困難） • BISECTIONO((n/log n)0.5)近似 [Lehman & Shelat 02] • LZ78O((n/log n)2/3)近似[Lehman & Shelat 02] • SEQUITUR型O((n/log n)3/4)近似 [Lehman & Shelat 02] • GREEDY型O((n/log n)2/3)近似 [Lehman & Shelat 02] • ほぼ最適O(log n)近似 [Charikar et al. 02] [Rytter 02][Sakamoto et al. 09]

  7. 文法圧縮 • 文法のサイズ：規則の右側に現れる文字数の和 • abcabcabcabc • サイズ=12 S→ abcabcabcabc • サイズ=8 S→ AAA→ abcabc • サイズ=7 （最小） S→ AAA→ BBB→abc

  8. 文法圧縮の木構造への拡張 • 困難性の証明[Yamgata et al. 03][Maneth & Bussato 04] • ヒューリスティックなアルゴリズム • Variable Replacement Grammar [Yamagata et al. 03] • Tree Transducer [Maneth & Bussato 04] • TCGA algorithm [Murakami et al. 08] • 近似率導出の困難性 • 木文法の定義に依存：　簡単すぎても難しすぎても不可 • 本研究 • EOTG(Elementary Ordered Tree Grammar) の提案 • CFG を縦横両方に拡張 • BISECTION型の O(n5/6)近似アルゴリズム • 順序木、無順序木の両方に対応可能

  9. EOTGElementary Ordered Tree Grammar

  10. EOTG： Elementary Ordered Tree Grammar • 特徴：枝にラベル、枝を木構造に書き換える • タグ付き木 • １個の葉にのみタグ（印）：　枝の両端　⇔　根とタグ • タグつき葉は、後で他の木の根と融合 • 生成規則：タグなし枝→タグなし木　タグあり枝→タグあり木 タグなし枝 タグあり枝

  11. EOTG： 例１ 文法 導出過程 文法 導出過程

  12. EOTG： 例２ 文法 導出過程

  13. オイラー文字列 • 木を深さ優先探索 • 探索した順に頂点のラベルを並べる • ただし、戻る時のラベルは の様に区別する 命題：　T1 と T2が同型 iff es(T1)=es(T2) ただし、根のラベルは無視

  14. SEOTG： Simple Elementary Ordered Tree Grammar （S）EOTGの規則はオイラー文字列で表現可 タグ ⇔ x: xは部分木に置換される

  15. EOTG, SEOTGの性質 文法のサイズ：　右辺に現れる木の枝数の合計 補題：　サイズ mのEOTGは、サイズ 3m以下の SEOTGに変換可能 定理：　与えられた木がEOTGから生成可能かどうか 　　　　　は多項式時間で判定可能 圧縮においては、１個の木のみを生成する文法のみを対象　　←　与えられた木を圧縮したい

  16. 圧縮アルゴリズム：TREE-BISECTION

  17. BISECTION[Lehman & Schelat 2002] • 文字列を2iとなる場所で再帰的に分割 • 分割の度に生成規則を追加 • 同じ文字列が出てきたら同じラベルを割り当てる

  18. mk補題 • サイズ mの文法により生成される文字列中の長さ kの部分列で異なるものは高々 mk個 略証：各非終端記号により始めてカバーされる長さ kの部分列の個数は高々 k個。全部で高々 m個の規則があるので補題が成立。 灰色の配列で Sにより始めてカバーされるのは k個。 それ以外は T1か T2 によりカバーされる。

  19. BISECTIONの解析 • 簡単のため、もとの文字列の長さを n=2hと仮定（h=log n） • 文法のサイズ＝２×（異なる文字列の個数） • 再帰の深さが h/2 になるまでに生成される文字列の個数 • 最小の文法のサイズを m*とする • 深さ h/2以上で生成される文字列の長さは、1, 2, 4, …, k/2 なので、mk補題より異なる文字列の個数は • よって、実行中に生成される異なる文字例の個数は

  20. TREE-BISECTION(1) • 木を再帰的に分割 • 同型な部分木が出てきたら同じラベルを割り当てる • Tが枝 Aのみの場合 • A→aという規則を追加して終了　（aは枝 Aのラベル） • Tがタグなし木の場合 • Tを T1, T2に分割。ただし、|T1|≦(1/2)|T|+1、かつ、 T1 はタグつき • T2を T3, T4に分割。ただし、|T3|, |T4|≦(3/4)|T|+1 • Tがタグつき木の場合 • Tを T1, T2に分割。ただし、|T1|≦(1/2)|T|+1、かつ、 T1 はタグつき • T2を T3, T4に分割。T3, T4のいずれかのみがタグつき木 • T3がタグつき木なら、 |T3|≦(1/2)|T|+1　 （逆も同様） (|T4|は制約されないが、タグなし木なので次ステップで必ず小さくなる） 多項式時間で動作するのは、ほぼ明らか

  21. TREE-BISECTION (2) 枝１本のみ タグなし木 タグあり木

  22. アルゴリズムの解析

  23. mk-補題（１） 補題：　木 Tがサイズ mの EOTG により生成されたとすると、 es(T)に現れる長さ kの文字列のうち、異なるものは 2mk個以下。 mk-補題 [Lehman & Schelat 02] 文字列 sがサイズ mの CFG により生成されたとすると、 sに現れる長さ kの文字列のうち、異なるものは mk個以下。 証明：　サイズ mのEOTG は、サイズ 2mの CFG に変換可能 • 例： オイラー文字列を用いて順序木に拡張

  24. mk-補題（２） 命題：m*を最小EOTGのサイズとすると、アルゴリズム中で現れる サイズ kの木の種類は高々 証明：　サイズ kの木 ⇒ 長さ 2k-2の文字列。ただし、途中にタグが入る場合は、長さ k1と 長さ (2k-2)-k1の文字列の組み合わせ。

  25. その他の補題 証明：　TREE-BISECTION は もとの木を edge disjoint な木 に分解 補題：　大きさ nの木を生成するEOTGのサイズは 補題：　TREE-BISECTION の再帰の深さは 補題：　TREE-BISECTION の 同じ深さの再帰レベルに現れる 木の枝の数の合計は n-1以下

  26. 定理： TREE-BISECTION の近似率は O(n5/6) • 同じ再帰レベルに現れるサイズnα +1以上の木の個数は(n-1)／nα < n1-α　以下 • アルゴリズム中に現れるサイズnα +1以上の木の個数は　O(n1-α log n) • サイズ nα以下の木の種類は • よって、アルゴリズム中に現れる異なる木の種類は • α=1/6, m* が O(n1/6) とおいて

  27. （次数制約つき）無順序木への拡張 • TREE-BISECTIONの変更点 • T2を、r(T2) とwj の子孫からなる部分木（j=1,…,h）に分解 • 順序木の同型性判定を無順序木の同型性判定に置き換え ⇒ 入力木は子の順序に関係なく、一意に分解される • EOTGの変更点 • 子の順序を無視 e.g., (IIIA)=(IIIB) ⇒ O(n5/6)近似

  28. 画像データの文法圧縮

  29. 画像データに対する文法圧縮 • 対象とする文法 • ４分割型 • 下図のような、より複雑な文法にも拡張可 • アルゴリズム： QUADSECTION • BISECTIONの拡張

  30. 近似率の解析 • 補題：サイズ gの文法により生成される文字列中のサイズ k×hの部分画像で異なるものは高々 2ngk個　　（n はもとの画像の最大辺。k≧h） • 定理 • QUADSECTION • 　の近似率は O(n4/3) • d次元の場合は • 　　 　　　　　　　 近似

  31. 結論と課題

  32. 結論 • CFGを順序木に拡張した EOTG を提案 • 与えれた木を生成するEOTG計算アルゴリズム TREE-BISECTION を提案 • O(n5/6)近似であることを証明 • 無順序木への拡張 • 画像圧縮アルゴリズムQUADSECTIONを提案 今後の課題 • TREE-BISECTION の改良 • 無順序木の場合の次数制約の解除 • 文字列に対する他の近似技法の木への応用 • 木以外のグラフ構造に対する（近似率の保証 • 　　つき）文法圧縮アルゴリズムの開発 • 神経系や循環器系ネットワークの圧縮

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