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7.3 一般性线性方程组求解

7.3 一般性线性方程组求解. 本次课的教学要求. 1 、 掌握一般 线性方程组 及其 通解 的基本概念. 2 、 理解 矩阵的初等变换 在解线性方程组的作用. 3 、 掌握 用初等行变换求 线性方程组通解 的方法. 在第 6 章的 6.2 节，我们学习过用 Gramer’ 法则解形如. 的线性方程组，也讨论过齐次线性方程组. 的解的问题. 为 n 阶系数矩阵 ,. 为未知数矩阵 ,. 为常数矩阵. 事实上 , 方程组. 与之对应的齐次线性方程组. 都可以用矩阵形式表示为 :. 非齐次线性方程组. 时，方程组（ 1 ）有唯一解；. 当. 当.

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7.3 一般性线性方程组求解

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  1. 7.3 一般性线性方程组求解 本次课的教学要求 1、掌握一般线性方程组及其通解的基本概念. 2、理解矩阵的初等变换在解线性方程组的作用. 3、掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法..

  2. 在第6章的6.2节，我们学习过用Gramer’法则解形如在第6章的6.2节，我们学习过用Gramer’法则解形如 的线性方程组，也讨论过齐次线性方程组 的解的问题.

  3. 为n阶系数矩阵, 为未知数矩阵, 为常数矩阵 事实上,方程组 与之对应的齐次线性方程组 都可以用矩阵形式表示为:

  4. 非齐次线性方程组 时，方程组（1）有唯一解； 当 当 而对应的替代行列式不全为0时， 方程组（1）无解； 当 而对应的替代行列式全为0时， 方程组（1）有无穷多个解； 对于齐次线性方程组 当 时，方程组（2）有唯一零解； 当 时，方程组（2）有非零解； 以上结论都是相对于n阶线性方程组来说的，而对于未知数 个数与方程个数不同的线性方程组，我们有下列的讨论

  5. 7.3 一般线性方程组及其解法 1、线性方程组的一般形式： 矩阵表示： 其中 请注意它们的行数、列数

  6. 对应的齐次线性方程组： 矩阵表示形式： 其中 下面通过例题，来学习一般线性方程组的解法，这种方 法，常称为高斯消元法.实际就是用矩阵的初等变换法 解线性方程组.

  7. 高斯(Garl Friederich Gauss，1777—1855) 高斯生于德国的布伦兹维克，他是近代数学伟大的 奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、 牛顿、欧拉并列. 高斯很小就显示出了他的数学才能,小时候,其父并 不想让他上学,由于看父亲算账,指出错误之处,才被其父 送入小学读书,当时是班里最小的学生.但成绩很出色. 1796年高斯发现正十七边形的尺规作图法，这是从欧几 里得以来悬而未决的问题，那时他才19岁 19世纪初，当时许多著名的天文学家都在着手解决怎样 根据极有限的观察数据来确定新行星轨道，但都失败了。 24岁的高斯用了几个星期的时间，创立了行星椭圆轨道法， 成功地解决了这个问题。 用初等变换解线性方程组是高斯的又一大成果,也即 消元法，直到现在仍被人们广泛应用,称高斯消元法

  8. 例1 用消元法解线性方程组 解 将系数矩阵与常数列矩阵排在一起 称为线性方程组的增广矩阵 记为: 高斯消元法解线性方程组,实际就是对增广矩阵作 行初等变换.下面我们来一步步解这个方程组

  9. 这样做，是为了避开 分数的加、减法 解:

  10. 再把得到的最后的矩阵写成方程组形式, 得 这时,未知数 是可以任意取值的,称为自由未知数 为线性方程组的一般解 称 在求出方程组的一般解后,要注明自由未知数. 自由未 知数的取法是不一唯的,但一个线性方程组的一般解所含的 自由未知数的个数是唯一的

  11. ( 为任意常 数) 如果, 取 为任意常 数) 就能得到 的一组确定的值 的任意性 这是原方程组的一个解,由于 可知方程组有无穷多个解. 我们把这个含有任意常数的解称为方程组的通解. 故 原方程组的通解为:

  12. ( 为任意常 数) 由于,我们将方程组写成了矩阵形式 同样,我们也可以将方程组的解写成矩阵表示形式:

  13. 一般解： - n r 定义 方程组的含有 个自由未知数的解称为 方程组的一般解． 通解：方程组的含有任意常数字母的解称为方程组的通解 n r 通解中，任意常数字母的个数也是 － 个 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解. 非齐次线性方程组：增广矩阵化成最简阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成最简形阶梯矩阵，便可写出其通解.

  14. 上面解题中，最简形阶梯矩阵 阶梯 单位阵 下面给出一个更为形象的最简形阶梯矩阵 单位阵

  15. 2、线性方程组的解法举例 补例求解齐次线性方程组，求出通解 解

  16. 由最简形矩阵 写出方程组的一般解 其中 是自由未知数

  17. 补例求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵进行初等行变换： （从第三行发现到一个问题） 此时，可以得到方程组无解的结论．

  18. 补例求非齐次方程组的通解 解对增广矩阵进行初等行变换：

  19. 得方程组的通解：

  20. *补例设有线性方程组 解

  21. 其通解为

  22. 这时又分两种情形：

  23. 3、小结 通过上面四个例题，可归纳出解线性方程组 高斯消元法的一般步骤： (1)将线性方程组的增广矩阵，通过初等行变换 化为行最简阶梯矩阵； （2）将最简阶梯矩阵还原成线性方程组，求出方 程组的一般解，标出自由未知数； （3）取自由未知数为任意常数字母，写出方程组 的通解，指出常数字母的任意性.

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