וקטור קואורדינטות

Presentation Transcript

החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית

ווקטור קואורדינטות - הגדרה

יהי מ"ו מעל שדה ויהי בסיס של

אזי כל ניתן להצגה יחידה כצ"ל של אברי

כלומר קיימים סקלרים כך ש-

ווקטור המקדמים בצ"ל הנ"ל , דהיינו הווקטור

נקראוקטור הקואורדינטות של הווקטור בבסיס , ומסומן

ווקטור קואורדינטות - דוגמאות

דוגמא 1:

יהי וקטור במ"ו ונמצא את ביחס לבסיס

הסטנדרטי במ"ו זה:

מתקיים

ולכן

ווקטור קואורדינטות , המשך דוגמאות

דוגמא 2:

נתון בסיס למ"ו

ונתון הווקטור

מהו עבור הבסיס הסטנדרטי של ?
חשבו עבור הבסיס הנתון ל- .

ווקטור קואורדינטות - תכונות

משפט:

יהי מ"ו מעל שדה ויהי בסיס של

אזי לכל ו- מתקיים:

.
.

הוכחה: בתרגול.

ווקטור קואורדינטות - הערה

מושג זה של ווקטור קואורדינטות ותכונותיו, מאפשר לחקור ביתר קלות

מרחבים ווקטוריים.

נסביר ע"י דוגמא:

קיימת התאמה טבעית בין הפולינום ( שהוא

ווקטור במ"ו ) לבין ווקטור הקואורדינטות שלו ביחס לבסיס

הסטנדרטי ( שהוא ווקטור במרחב )

ישנו קשר של דמיון בין המ"ו ו- . קשר זה נקרא איזומורפיזם.

איזומורפיזם

איזומורפיזם - הגדרה

יהיו ו- מ"ו מעל שדה .

העתקה נקראת איזומורפיזם אם מתקיים:

העתקה ח.ח.ע.
העתקה על.
לכל ולכל מתקיים

א)

ב)

איזומורפיזם – המשך הגדרה

יהיו ו- מ"ו מעל שדה .

אם יש איזומורפיזם בין ו- אומרים שהם

מרחבים איזומורפיים ומסמנים

איזומורפיזם - דוגמאות

דוגמא 1: המרחבים ו- איזומורפיים

הוכחה:

נגדיר העתקה באופן הבא:

נוכיח כי איזומורפיזם.

איזומורפיזם – המשך דוגמאות

דוגמא 2: המרחבים ו- איזומורפיים

הוכחה:

נוכיח כי איזומורפיזם.

איזומורפיזם - הכללת הדוגמאות

משפט:

יהי מרחב ווקטורי מעל ממימד

כאשר בסיס כלשהו ל- , בפרט הבסיס הסטנדרטי

אזי איזומורפיזם ולכן

איזומורפיזם – תכונות

משפט: אם איזומורפיזם בין מ"ו אזי

(איזומורפיזם משמר את תכונת הנייטרליות של איבר האפס )

משפט: אם איזומורפיזם בין מ"ו אזי:

קבוצת הוקטורים ת"ל ב- אםם

קבוצת התמונות ת"ל ב- .

( איזומורפיזם משמר את תכונת התלות / אי תלות לינארית )

איזומורפיזם – המשך תכונות

מסקנה ממשפט קודם:

אם המרחבים ו- איזומורפיים אזי:

קבוצת ווקטורים בת"ל ב- עוברת לקבוצת וקטורים בת"ל ב-

ובפרט, בסיס במ"ו עובר לבסיס במ"ו ובהכרח מתקיים:

כלומר כל שני מרחבים איזומורפיים הם בהכרח מאותו מימד.

האם ההיפך נכון?

כלומר האם כל שני מרחבים מאותו מימד הם בהכרח איזומורפיים?

משפט:

יהי מרחב ווקטורי מימדי מעל

( כאשר בסיס כלשהו ל- )

אזי איזומורפיזם ולכן

מסקנה:

כל שני מרחבים ווקטוריים מימדים מעל שדה הממשיים

הם איזומורפיים ל- ולכן איזומורפיים זה לזה.

דוגמאות לשימוש בתכונות האיזומורפיזם

דוגמא 1:

בדקו תלות/ אי תלות לינארית של המטריצות

דוגמאות לשימוש בתכונות האיזומורפיזם , המשך

דוגמא 2:

הראו כי קבוצת הפולינומים

מהווה בסיס למ"ו .