Download
Skip this Video
1 / 18
וקטור קואורדינטות - PowerPoint PPT Presentation
- By herve
- Follow User
- 103 Views
- Uploaded on
וקטור קואורדינטות. ווקטור קואורדינטות - הגדרה. יהי מ"ו מעל שדה ויהי בסיס של אזי כל ניתן להצגה יחידה כצ"ל של אברי כלומר קיימים סקלרים כך ש- ווקטור המקדמים בצ"ל הנ"ל , דהיינו הווקטור
Download Presentation 
An Image/Link below is provided (as is) to download presentation
PowerPoint Slideshow about 'וקטור קואורדינטות' - herve
An Image/Link below is provided (as is) to download presentation
Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.
While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
וקטור קואורדינטות
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
ווקטור קואורדינטות - הגדרה
יהי מ"ו מעל שדה ויהי בסיס של
אזי כל ניתן להצגה יחידה כצ"ל של אברי
כלומר קיימים סקלרים כך ש-
ווקטור המקדמים בצ"ל הנ"ל , דהיינו הווקטור
נקראוקטור הקואורדינטות של הווקטור בבסיס , ומסומן
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
ווקטור קואורדינטות - דוגמאות
דוגמא 1:
יהי וקטור במ"ו ונמצא את ביחס לבסיס
הסטנדרטי במ"ו זה:
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
ולכן
ווקטור קואורדינטות , המשך דוגמאותדוגמא 2:
נתון בסיס למ"ו
ונתון הווקטור
- מהו עבור הבסיס הסטנדרטי של ?
- חשבו עבור הבסיס הנתון ל- .
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
ווקטור קואורדינטות - תכונות
משפט:
יהי מ"ו מעל שדה ויהי בסיס של
אזי לכל ו- מתקיים:
- .
- .
הוכחה: בתרגול.
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
ווקטור קואורדינטות - הערה
מושג זה של ווקטור קואורדינטות ותכונותיו, מאפשר לחקור ביתר קלות
מרחבים ווקטוריים.
נסביר ע"י דוגמא:
קיימת התאמה טבעית בין הפולינום ( שהוא
ווקטור במ"ו ) לבין ווקטור הקואורדינטות שלו ביחס לבסיס
הסטנדרטי ( שהוא ווקטור במרחב )
ישנו קשר של דמיון בין המ"ו ו- . קשר זה נקרא איזומורפיזם.
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
איזומורפיזם
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
איזומורפיזם - הגדרה
יהיו ו- מ"ו מעל שדה .
העתקה נקראת איזומורפיזם אם מתקיים:
- העתקה ח.ח.ע.
- העתקה על.
- לכל ולכל מתקיים
א)
ב)
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
איזומורפיזם – המשך הגדרה
יהיו ו- מ"ו מעל שדה .
אם יש איזומורפיזם בין ו- אומרים שהם
מרחבים איזומורפיים ומסמנים
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
איזומורפיזם - דוגמאות
דוגמא 1: המרחבים ו- איזומורפיים
הוכחה:
נגדיר העתקה באופן הבא:
נוכיח כי איזומורפיזם.
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
איזומורפיזם – המשך דוגמאות
דוגמא 2: המרחבים ו- איזומורפיים
הוכחה:
נגדיר העתקה באופן הבא:
נוכיח כי איזומורפיזם.
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
איזומורפיזם - הכללת הדוגמאות
משפט:
יהי מרחב ווקטורי מעל ממימד
נגדיר העתקה באופן הבא:
כאשר בסיס כלשהו ל- , בפרט הבסיס הסטנדרטי
אזי איזומורפיזם ולכן
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
איזומורפיזם – תכונות
משפט: אם איזומורפיזם בין מ"ו אזי
(איזומורפיזם משמר את תכונת הנייטרליות של איבר האפס )
משפט: אם איזומורפיזם בין מ"ו אזי:
קבוצת הוקטורים ת"ל ב- אםם
קבוצת התמונות ת"ל ב- .
( איזומורפיזם משמר את תכונת התלות / אי תלות לינארית )
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
איזומורפיזם – המשך תכונות
מסקנה ממשפט קודם:
אם המרחבים ו- איזומורפיים אזי:
קבוצת ווקטורים בת"ל ב- עוברת לקבוצת וקטורים בת"ל ב-
ובפרט, בסיס במ"ו עובר לבסיס במ"ו ובהכרח מתקיים:
כלומר כל שני מרחבים איזומורפיים הם בהכרח מאותו מימד.
האם ההיפך נכון?
כלומר האם כל שני מרחבים מאותו מימד הם בהכרח איזומורפיים?
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
איזומורפיזם – המשך תכונות
משפט:
יהי מרחב ווקטורי מימדי מעל
נגדיר העתקה באופן הבא:
( כאשר בסיס כלשהו ל- )
אזי איזומורפיזם ולכן
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
איזומורפיזם – המשך תכונות
מסקנה:
כל שני מרחבים ווקטוריים מימדים מעל שדה הממשיים
הם איזומורפיים ל- ולכן איזומורפיים זה לזה.
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
דוגמאות לשימוש בתכונות האיזומורפיזם
דוגמא 1:
בדקו תלות/ אי תלות לינארית של המטריצות
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
דוגמאות לשימוש בתכונות האיזומורפיזם , המשך
דוגמא 2:
הראו כי קבוצת הפולינומים
מהווה בסיס למ"ו .
החוג למדעי המחשב -אלגברה לינארית
