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有限要素法の概要

有限要素法の概要. 2013 年 9 月 9 日 後　保範. 差分法 の概念. 長方形領域の 偏 微分 方程式. 縦横格子で節点の解を計算. 全体を直接解くのは難しい. 有限要素法の概念. 任意領域. 小領域（要素）に 分けて 節点の解 を計算する. 全体を直接解 くのは難しい. 差分法と有限要素法. 差分法 (FDM: Finite Difference Method) 偏微分方程式を直接的に離散化 有限要素法 (FEM, Element Method) 要素に分け、重み関数を掛けて要素内で積分を行う. 差分法と有限要素法. 有限要素法.

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Presentation Transcript

  1. 有限要素法の概要 2013年9月9日 後　保範

  2. 差分法の概念 長方形領域の 偏微分方程式 縦横格子で節点の解を計算 全体を直接解くのは難しい

  3. 有限要素法の概念 任意領域 小領域（要素）に 分けて節点の解 を計算する 全体を直接解 くのは難しい

  4. 差分法と有限要素法 • 差分法(FDM: Finite Difference Method) 偏微分方程式を直接的に離散化 • 有限要素法(FEM, Element Method) 要素に分け、重み関数を掛けて要素内で積分を行う

  5. 差分法と有限要素法 有限要素法 差分法 隣り合う格子点 の物理量の収支を計算する 要素内の全ての点における物理用の分布を計算する

  6. 有限要素法の基本 • 要素内部の物理量を節点の値で近似 • 要素内では1節点で値が1を持ち、他の節点では値が0となる形状関数を利用 • 領域の物理量は、節点の値と形状関数の乗算結果を集めて表す 0 形状 関数 三角形 要素 1 0

  7. 有限要素法のメリットとデメリット

  8. 数値計算の手順 差分法(FDM) 有限要素法(FEM) 式を直接 要素内積分 離散化 行列 スカイライン 帯行列 反復計算 解法 直接計算

  9. 離散化でえられる行列の形 0 0 0 0 0 0 差分法(FDM) 　帯行列 有限要素法(FEM) スカイライン行列

  10. 1次元有限要素法 10

  11. 有限要素計算の原理 • 重み関数を掛けてポアソン方程式を積分 • 2階微分の項を部分積分 • 境界でu=0を代入 11

  12. 有限要素における１次要素 形状関数 　 解uを節点での値ujと形状関数で近似する 1 12

  13. １次要素による離散化 13

  14. 形状関数（φ） 1 1 xi h xj 14

  15. 積分に使用する形状関数 1 1 1 h h 15

  16. 要素積分計算(aij) • aijはj=i-1,i,i+1だけ値を持つ、それ以外はゼロ 16

  17. 要素積分計算(bi) 17

  18. 離散化で得られる式 差分法による離散化と同じ 18

  19. 行列表示 19

  20. より一般的なケース 20

  21. より一般的なケースの計算 21

  22. 0 h u0 u1 22

  23. 行列表示(より一般化,k=1) 23

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