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3.1 不定积分的定义及直接积分法

单元三 积分及其应用. 项目 7 不定积分. 任务 7-1 ：不定积分的概念. 3.1 不定积分的定义及直接积分法. 3.1.1 原函数的概念. 定义 3.1 设函数 f ( x ) 是定义在区间 I 上的函数，若存在函数 F ( x ), 使得对任意 x ∈I, 均有. 则称函数 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 上的一个原函数. 原函数的两点说明. 如果函数 f(x) 在区间 I 内连续，则 f(x) 在区间 I 内 存在原函数. (2) 如果函数 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间 I 内的一个原函数，即.

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3.1 不定积分的定义及直接积分法

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  1. 单元三 积分及其应用 项目7 不定积分 任务7-1：不定积分的概念 3.1 不定积分的定义及直接积分法

  2. 3.1.1 原函数的概念 定义3.1 设函数f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x),使得对任意x∈I,均有 则称函数F(x) 为f(x) 在区间I上的一个原函数.

  3. 原函数的两点说明 • 如果函数f(x)在区间I内连续，则f(x)在区间I内 • 存在原函数. (2) 如果函数F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数，即 ，则f(x)的所有原函数可表示为 F(x)+C(其中C为任意常数）

  4. 被积函数 积分号 3.1.2 不定积分的概念 定义3.2 函数f(x)的全体原函数F(x) + C称为f (x)的 被积表达式 积分变量 任意常数

  5. 所以 是 的一个原函数， 所以 是 的一个原函数， 案例3.1求 解 因为 因此 案例3.2求 解 因为 因此

  6. 解 当x>0时,由于 所以 是 在 内的一个原函数.因此，在 内， 当 x<0 时，由于 是 在 内的一个原函数.因此 在 内， 案例3.3 求 所以

  7. 把在 x>0 及 x<0 内的结果合起来，可写作

  8. 3.1.3 不定积分的性质 性质1 性质2 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

  9. 性质3 （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 性质4

  10. 案例3.4 求 解

  11. 3.1.4 基本积分公式 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 例如 类似地可以得到其他积分公式.下面我们把 一些基本的积分公式列成一个表，这个表通 常叫做基本积分表

  12. 是常数);

  13. 任务7-2：直接积分法

  14. 直接积分法——直接应用公式、性质或经过简单的代数、三角恒等变形后积分直接积分法——直接应用公式、性质或经过简单的代数、三角恒等变形后积分 案例3.5 求 解 根据积分公式（2）

  15. 案例3.6 求 解

  16. 案例3.7 求 解

  17. 案例3.8 求 解 因为 所以可把3e看作a，并利用积分公式 ，便得

  18. 案例3.9 求 解

  19. 案例3.10 求 解 （2）三角恒等式变形

  20. 案例3.11 求 加项减项 解

  21. 案例3.12 求 加项减项 解

  22. (0,3)且曲线上任一点(x,y) 案例3.13设曲线经过点 处的切线斜率为 ，试求曲线方程. 即f(x)是 的一个原函数 解 设曲线方程为y=f(x), 由题意知 故 再将x=0,y=3代入 得C=2 于是所求的曲线方程是：

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