Функциональное программирование

1. Функциональное программирование Факультет инноваций и высоких технологий Московский физико-технический институт

2. Лекция 23 Доказательство свойств программ

3. Доказательство программ • Полуформальное доказательство • По индукции • Для n=1: ||fact n||= ||if 1=1 then 1 else 1*fact(0)|| = 1 = n! • Для n>1: ||fact n||= ||if n=1 then 1 else n*fact(n-1)|| = ||n*fact(n-1)|| = n*||fact(n-1)|| = n*(n-1)!=n! • Формальное доказательство • || letrec fact = fun x -> if x=1 then 1 else x*fact(x-1) || = n.n! let rec fact n = if n = 1 then 1 else n*fact(n-1) Индуктивное предположение

4. Формальное доказательство • Семантика fact: • f0= • fn=x.if x=1 then 1 else x*fn-1(x-1) • fact = ifi • Доказательство: • fn(x) = x!, xn; f(x) = , x>n • fact(n)= (ifi)(n)= i(fi(n))=i=0..n(fi(n))=fn(n)=n!

5. Еще пример • Покажем app x (app y z) = app (app x y) z • Индукция по длине x • x=[]: • app [] (app y z) = app y z • app (app [] y) z = app y z • Для x = h::t • app (h::t) (app y z) = h::app t (app y z) = h::(app(t y) z) • app (app h::t y) z = app(h::app t y) z =h::(app(t y) z) let rec app a b = match a with [] -> b | h::t -> h::(app t b);;

6. Более сложный пример • Докажем, что rev(rev l) = l let rec rev = function [] -> [] | h::t -> app (rev t) [h];; • Лемма 1: app l [] = l • l = [] app [] [] = [] • l = h::t • app h::t [] = h::(app t []) = h::t = l

7. Продолжение • Лемма 2: rev(app a b) = app (rev b) (rev a) • a=[] • rev(app [] b) = rev b • app (rev b) (rev []) = app (rev b) [] = rev b • a=h::t • rev(app h::t b)=rev(h::(app t b))=app(rev (app t b))[h]= app(app (rev b)(rev t))[h]=app(rev b)(app (rev t)[h])= app(rev b)(rev h::t)=app(rev b)(rev a)

8. Продолжение • rev(rev l) = l • l=[]: rev(rev []) = rev [] = [] • l=h::t • rev(rev h::t) = rev(app (rev t) [h]) = • app(rev [h])(rev (rev t)) = app (rev h::[]) t = • app(app (rev []) [h]) t = app (app [] [h]) t = • app [h] t = app h::[] t = h::app([] t) = h::t = l

9. Почему в ФП просто доказывать свойства программ? • Отсутствие побочных эффектов в функциях • Денотат функций – математическая функция

10. Пределы верификации • Ограниченность верификации показывается теоремой Гёделя о неполноте: • Любая формальная система, содержащая формальную арифметику, будет неполна, т.е. будут существовать истинные утверждения, невыводимые в этой теории • Применительно к верификации: • Проблема остановки • Проблема самоприменимости

11. Неразрешимость проблемы самоприменимости • ФП P применима к входным данным D, если выражение PD редуцируется к НФ за конечное число шагов • ФП P называется самоприменимой, если она применима к самой себе как входным данным • Задача: построить программу T : • TP  t, если Р – самоприменима • TP  f, если Р – не самоприменима

12. Доказательство • Построим функцию F = x.cond (T x) ((x.x x) (x.x x)) (t) • Тогда F применима к несамоприменимым функциям и наоборот • Пусть F – самоприменима, тогда FF должно не редуцироваться, что противоречит определению самоприменимости • Пусть F – не самоприменима, тогда FF – не редуцируется, что противоречит построению

13. Следствия • Невозможно решить проблему остановки: • По произвольной функции и входным данным определить, произойдет ли зацикливание или нет • Однако возможно решать проблему в некотором приближении: • Анализ типовых случаев зацикливания • Зацикливание за первые n шагов

14. Вопросы?