第 6 时　几何动态问题的解法

中考数学专题复习 第6时　几何动态问题的解法一棵草的春天 yyk0328@qq.com

第6课时　几何动态问题的解法 能力训练知识归纳考点例析基础训练

点动、线动、图形动构成的问题称为几何动态问题．这类问题的特征是以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点、多种解题思想于一题，它综合性强，能力要求高．它的特点是：问题背景是特殊图形(或函数图象)，把握好一般与特殊的关系；在分析过程中，要特别关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置)．近几年来动点问题一直是中考的热点，主要考查探究运动中一些特殊图形(等腰三角形、直角三角形、平行四边形、梯形)的性质或面积的最大值．解题策略是：把握运动规律，寻找运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索“动”的一般规律.点动、线动、图形动构成的问题称为几何动态问题．这类问题的特征是以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点、多种解题思想于一题，它综合性强，能力要求高．它的特点是：问题背景是特殊图形(或函数图象)，把握好一般与特殊的关系；在分析过程中，要特别关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置)．近几年来动点问题一直是中考的热点，主要考查探究运动中一些特殊图形(等腰三角形、直角三角形、平行四边形、梯形)的性质或面积的最大值．解题策略是：把握运动规律，寻找运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索“动”的一般规律.

考查点运动的问题 (2011广东)如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B.过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3,0)． (1)求直线AB的函数关系式； (2)动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O、点C的重合的情况)，连接CM、BN.当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否为菱形？请说明理由．(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O、点C的重合的情况)，连接CM、BN.当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否为菱形？请说明理由．分析：(1)先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法求出直线AB的函数关系式；(2)由于点M、N的横坐标为已知t，利用函数关系式可求出它们的纵坐标，利用数形结合思想可知点M、N到x轴的距离．从而建立函数关系；(3)因为MN∥BC，所以要使四边形BCMN为平行四边形，就必须满足MN＝BC，利用等量关系建立方程，从而解决问题．

点评：动点问题往往会把匀速运动相联系，本题是以抛物线为背景，把点的纵坐标(或横坐标)与点到x轴(或y轴)的距离联系起来．注意数形结合．点评：动点问题往往会把匀速运动相联系，本题是以抛物线为背景，把点的纵坐标(或横坐标)与点到x轴(或y轴)的距离联系起来．注意数形结合．

如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，则经过________秒时，PQ有最小值，并且这个最小值为________．

考查图形运动的问题 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4 ，另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点． (1)求等腰梯形DEFG的面积． (2)固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′(如图2)．在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．

分析：(1)作AM⊥BC于M，交GF于N.易求出等腰梯形的面积为6；(2)由于在运动过程中，四边形BDG′G都为平行四边形，只要满足BD＝BG＝ AB＝2时，它就是菱形；(3)在运动过程中，重叠部分的图形有两种形状．先是等腰梯形．后是等腰直角三角形．因此要进行分类． (3)设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

点评：图形运动往往把两图形在运动过程重叠部分的面积相结合，此时要观察重叠部分图形的形状是否会发生改变，若会发生改变．找出运动的位置．再进行分类解决．点评：图形运动往往把两图形在运动过程重叠部分的面积相结合，此时要观察重叠部分图形的形状是否会发生改变，若会发生改变．找出运动的位置．再进行分类解决．

一、选择题 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4 ，点E是折线段A－D－C上的一动点(点E与A不重合)，点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有() A．2个 B．3个　　 C．4个　　 D．5个 C

2．如图，在钝角△ABC中， AB＝6 cm，AC＝12 cm动点D从点A出发到点B止，动点E从点C 出发到点A止．点D运动的速度为 1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s. 如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是() A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 A

3．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q.BP＝x，CQ＝y，那么y与x之间的函数图象大致是()3．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q.BP＝x，CQ＝y，那么y与x之间的函数图象大致是() D

二、填空题 4．如图1，⊙O半径为5，弦AB长为8，点P为弦AB上一动点，连接OP，则线段OP的最小长度是______． 5．如图2，∠ACB＝60°，半径为1 cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是____cm. 3

6．如图a，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一个动点，则DN＋MN的最小值是________．6．如图a，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一个动点，则DN＋MN的最小值是________． 7．如图b，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A(10,0)，C(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_________________． 10 (2,4)或(3,4)或(8,4)

8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点P、Q分别是AB，AC上的一动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点．8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点P、Q分别是AB，AC上的一动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点． (1)求证△PDQ是等腰直角三角形； (2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．

解析：(1)证明：连接AD. ∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC， ∠DAQ＝∠B. ∵BP＝AQ， ∴△BPD≌△AQD(SAS)． ∴PD＝QD，∠BDP＝∠ADQ. ∵∠BDP＋∠ADP＝90°， ∴∠ADQ＋∠ADP＝∠PDQ＝90°. ∴△PDQ为等腰直角三角形．

9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.半径为1的圆的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为t(单位：s)．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.半径为1的圆的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为t(单位：s)． (S1)当t为何值时，⊙P与AB相切； (2)作PD⊥AC交AB于点D，如果⊙P和线段BC交于点E，证明当t＝ s时，四边形PDBE为平行四边形．

10.如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°.从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规定：点和线段是面积为0的三角形)，解答下列问题：10.如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°.从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规定：点和线段是面积为0的三角形)，解答下列问题： (1)点P、Q从出发到相遇所用时间是____秒； (2)点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是____秒； (3)求y与x之间的函数关系式．

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