计算机数学基础（上） —— 离散数学教学

计算机数学基础（上）——离散数学教学 第一编数理逻辑第1章命题逻辑第2章谓词逻辑第二编集合论第3章集合及其运算第4章二元关系与函数第三编图论第5章图的基本概念第6章几种特殊图第四编代数系统第7章群第8章其它代数系统

第一章命题逻辑 • 命题与联结词 • 命题公式与赋值 • 范式 • 命题演算的推理理论 • 习题解答

第1章命题逻辑 1。1 命题与联结词一、命题：指具有真假意义的陈述句。其它自然语句都不是命题。如果命题是真命题，则它的真值为1 如果命题是假命题，则它的真值为0 例：（1）宁波是浙江省的一个大城市。（2）今天下雨吗？（3）请你过来！（1）是一个真命题，（2），（3）都不是命题

在数理逻辑中常用大写英文字母P 、 Q 、R 、 P1……表示命题，这些命题的符号称为命题标识符。例： P：秋季是种树的好季节。 Q： 1+2=4 这两个命题标识符 P 、 Q 都有一个确定的真值，故称为命题常项。如果一个命题标识符没有给出确定的命题。这时称它为命题变项。命题变项可以表示任何命题的标识符，它没有确定的真值，因此，命题变项不是命题。命题分为原子命题和复合命题。原子命题是不能最分的命题。复合命题是由联结词、标点符号和原子命题复合而成的。

二、联结词 联结命题的词称为联结词又称逻辑联结词。联结词可一个形式化的符号表示，常见的联结词有否定，合取，析取，蕴涵，等价，不可兼析取，其符号表示为﹁，∧，∨，→， 1、否定﹁的定义：若P为真，则否定P为假 2、合取∧的定义：P ∧Q为真当且仅当P、Q同时为真例： P：今天下雨 Q：今天括风 P ∧Q：今天下雨且括风例：将下列命题符号化（1）张华聪明又用功。（2）今天与明天天气晴朗。（3）张华和李忠是好朋友。（4）李明和李浩是兄弟。

解（1）令P：张华聪明，Q：张华用功。可符号化为P∧Q （2）令P ：今天天气晴朗，Q：明天天气晴朗。可符号化为P∧Q （3），（4）不是复合命题，其中“和”，“与”都不用联结词合取∧。它们都是简单命题，故可用一个命题标识符P，Q表示。 3、析取∨ P∨Q读作“P或Q”是复合命题， P∨Q为真当且仅当P和Q至少有一个为真。 4、蕴涵 → “P→Q”读作“如果P则Q”或“P蕴涵Q”。P 称为蕴涵的前件，Q称为蕴涵的后件。当且仅当P为真，Q为假时P→ Q为假。例： P：天气好 Q：我去中山广场 P →Q：如果天气好，我去中山广场，

5、等价 两个命题P 和Q等价是复合命题。P Q。读作“P等价Q”。 P Q为真当且仅当P和Q同时为真或同时为假。 6、不可兼析取 ▽ “P▽Q”读作“不可兼或Q”。 “P▽Q”为真当且仅当P和Q的真值不相同时为真。将以上六个联结词熟记是学好本章节的关键。某些联结词的公式可以另外联结词的公式代换，例如：（1）P Q=（P→Q）∧（Q→P）（2） P→Q=﹁P ∨ Q （3） P ▽ Q=﹁（P Q）可见，由六个联结词组成的命题公式，可由｛﹁，∨｝或｛﹁，∧｝来等值代换。｛﹁，∨ ， ∧ ｝称为全功能联结词。｛﹁，∨｝，｛﹁，∧｝称为最小全功能联结词。

第1章命题逻辑——命题公式与赋值 一、命题公式命题公式是由命题变项、联结词和括号按一定的规律组成的合式公式。命题公式是没有真假的只有在真值指派下才是命题。合式公式规定：（1）单个命题变项是一个合式公式（2）如果A是合式公式，则﹁A是合式公式（3）如果A，B 是合式公式，则A∧ B，A∨ B， A→ B， A B，A▽ B也是合式公式（4）当且仅当能够有限次地，应用（1）（2）（3）所得到的包含命题变元联结词和括号的符号串是合式公式。二、命题公式分类给定公式A，若A在各种赋值下取值均为真，称A为重言式。若A在各种赋值下取值均为假。则称A为永假式。若A不是永假式，则称A为可满足式。若既非永假式，又非永真式，则称为仅可满足式。

三、等值 给定两个命题公式A和B，若给出现在公式A和B的所有原子变项一组真值指派，公式A和B的真值相同，则称A和B是等值的。记作A﹦ B 。判断等值的方法有（1）真值表法（2）等值推演法例子：用真值表法讨论公式﹁（P∨Q）与﹁P∨﹁Q是否等值。从下面的真值表中可以看出这两公式是不等值的。四、赋值给命题公式中所有原子变项指定一个真值（0或1）称为对P的一个赋值或解释，又称真值指派。

第1章命题逻辑——命题范式 一,析取范式，合取范式仅由有限个命题变项或其否定构成的析取式称为简单析取式。仅由有限个命题变项或其否定构成的合取式称为简单合取式。仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。注意：﹁P∧ Q ∧R 既是合取范式，又是析取范式。计算范式的三步骤：（1）将公式中的联结词利用基本等值式化为﹁，∧，∨；（2）利用双重否定律，德摩根律，将否定联结词消去或移到各命题变项之前；（3）利用分配律，结合律，将公式化为析取范式或合取范式。例：（（P∨Q）→R）→P的析取范式和合取范式。（（P∨Q）→R）→P =﹁（﹁（P∨Q ） ∨R） ∨P

=（（P∨ Q）∧﹁ R）∨P=（P ∧﹁ R） ∨（Q ∧﹁ R） ∨P =P ∨（Q ∧﹁ R）（析取范式） =（P ∨ Q） ∧ （P ∨﹁ R）（合取范式）二、主析取范式（主合取范式） 1、极小项： n个命题变项，每个变项与它的否定不同时出现，但两者必须出现且仅出现一次，而且第I个命题变项或否定式出现在从左算起的第I 位上，这样的简单合取式称为极小项。若公式中只有两个原子变项，则有4个极小项，三个变项有 2 3个极小项。 2、极小项性质：（1）每个极小项当真值指派与编码相同时其真值为1，其它2 n –1种指派其真值为0 （2）任意两个不同的极小项合取式为永假式（3）全体极小项的析取式为永真式。 3、主析取范式对于含有n个变项的命题公式，如果说有一个仅由极小项的析取构成的等值式，则该等值式称为原命题公式的主析取范式。求主析取范式的方法：（1）真值表法（2）等值推演法定

求Ｇ＝（R→ （P∨ Q））∧ （P→（﹁Ｑ∧　Ｒ））主析取范式。用真值表法：使Ｇ真值为１的对应极小项有４项（﹁P ∧ ﹁Ｑ∧¬　Ｒ）,（﹁P ∧ Ｑ∧ ﹁Ｒ) （﹁P ∧ Ｑ∧Ｒ) ,（P ∧ ﹁Ｑ∧Ｒ) 所以（R→ （P∨ Q））∧ （P→（﹁Ｑ∧　Ｒ））=（﹁P ∧ ﹁Ｑ∧¬　Ｒ） ∨ （﹁P ∧ Ｑ∧ ﹁Ｒ) ∨（﹁P ∧ Ｑ∧Ｒ) ∨（P ∧ ﹁Ｑ∧Ｒ)为主析取范式或= , 主合取范式= （1，4，6，7 ）

第1章 命题逻辑——命题演算的推理理论定义（有效结论）：设A1，A2，A3，……，Am为命题公式，如果（A1∧A2 ∧ A3 ∧ … ∧ Am）→C 为重言式，则称C是前提集合{A1，A2，A3，……，Am}的有效结论或由{A1，A2，A3，……，Am}逻辑地推出 C。断判推理是否有效的方法就是判断重言蕴涵式的方法，一般有真值表法，等值演算法，主析取法，以及构造证明的直接证法和间接证法。

《计算机数学基础（上）》辅导(1) 命题逻辑《计算机数学基础》是中央广播电视大学开放本科教育计算工程类计算机科学与技术专业教学中重要的核心基础课程，它是学习专业理论中不可少的数学工具. 　　通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法以及计算机上常用数值分析的构造思想和计算方法. 同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力. 本课程有离散数学和数值分析两大部分. 其中离散数学部分包括数理逻辑、集合论、图论和代数系统. 这是一门理论性较强，应用性较广的课程. 因此，通过本课程的学习，使学生： 1. 掌握离散数学的基本概念和基本原理，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力； 2. 熟悉数值计算方法的基本原理和基本方法，掌握常见数值计算的方法.

2. 熟悉数值计算方法的基本原理和基本方法，掌握常见数值计算的方法. 按照教学大纲，本课程分二个学期开设，第一学期讲授离散数学部分；第二学期讲授数值分析部分. 我们逐次分章进行辅导，供学习参考. 一教学要求： 1.理解命题概念，会判断语句是否命题。 2.掌握六个联结词的真值表，掌握公式与真值表的关系与构造方法。 3.掌握命题的基本等值公式，并熟练掌握对合式公式进行等价变换的方法。 4.掌握用主析取范式判断两个公式是否等价的方法，以及命题逻辑的判定问题。 5.理解等价式蕴涵式与逻辑结论的概念。 6.掌握：命题逻辑的推理演算方法。二、实例例1.1判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值. (1) 中国是一个人口众多的国家；

(2) 存在最大的质数； • (3) 这座楼可真高啊！ • (4) 请你跟我走； • (5) 火星上也有人. • 解 (1) 是命题，真值为1. • (2) 是命题，真值为0. • (3), (4)不是命题. (3)不是陈述句,它们没有确定的真值. (4)的真值无法确定. • (5) 是命题. 真值是唯一的，迟早会被指出. • 例1.2将下列命题符号化： • 虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达火车站； • 张力是三好学生或优秀共青团员(3) 老李或小刁中有一个人去广州出差. • 解(1) 首先用字母表示原子(简单)命题. • P：交通堵塞，Q：老王准时到达火车站. • 因为本小题强调“交通堵塞”和“老王准时到达火车站”这两件事，因此该命题可以符号化为：PQ.

(2) 首先用字母表示原子(简单)命题. P：张力是三好学生； Q：张力是优秀共青团员. 此处的“或”是相容或，故该命题符号化为PQ. (3) 首先用字母表示原子(简单)命题. P：老李去上海出差； Q：小刁去上海出差. 要求只能一个人出差，因此此处的“或”是排斥或，该命题符号化为PQ，也可以表示成(PQ)(PQ) 例1.3判定公式PQ与PQ是否等值. 解列公式PQ与PQ的真值表. 如表1－1. 表1－1 公式PQ与PQ的真值表

由表可知，公式PQ与公式PQ是等值的. 由表的最后一列可知，PQPQ是重言式. 例1.4证明：P(QR)PQR. 证明 P（QR） P(QR) (等值蕴含式) P(QR) (等值蕴含式) （PQ）R (结合律) (PQ)R (摩根律) PQR (等值蕴含式) 所以，P（QR）(PQ)R

例中等值演算的每一步都用到了置换规则. 由等值演算的传递性，可知第一个公式P(QR)和最后一个公式PQ)R等值. 例1.5用等值演算法判定公式P(QR)PQR是永真式？永假式？解 P(QR)PQR (P(QR)PQR (P(QR)P(QR))PQR ((P(QR))(PQR))PQR ((P(QR))(PQR))PQR ((P(QR))(PQR))PQR (P(QR)) PQR)((PQR)PQR) (对的分配律) (PP)QR(QR)1 111 因此，P(QR)PQR是永真式.

例1.6求公式的主合取范式和主析取范式. 解先将公式化为合取范式.

所求主析取范式为主合取范式五个极大项所对应的三个极小项，即为所求主析取范式为主合取范式五个极大项所对应的三个极小项，即为或通过求析取范式求主析取范式.

例1.7试证明： 证明(1) SCP规则 (2) SPP (3) P (1),(2)析取三段论 (4) P(QR) P (5)QR (3),(4)假言推理 (6)QP (7)R (5),(6)假言推理

例1.8 填空题 1.设命题公式G＝P(QR)，则使G取真值为1的指派是，，. 答案：(1,0,0,),(1,0,1),(1,1,1) 2.已知命题公式为G＝(PQ)R,则命题公式G的析取范式是答案：PQR 例1.9 单项选择题 1. 设命题公式(P(QP))，记作G，则使G的真值指派为0的P，Q的取值是( ) (A) (0,0) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (1,1) 答案：(C) 2. 与命题公式P（QR）等值的公式是( ) (A) (PQ)R (B)(PQ)R (C) (PQ)R (D) P(QR) 答案：(B) 解答P（QR）P(QR)PQR(PQ)R(PQ)R 故应选择(B)

3.命题公式(PQ）P是( ) (A) 永真式 (B) 永假式 (C) 可满足式 (D) 合取范式答案：(A) 4. 设命题公式，则G与H的关系是( ) 答案：(D) 例1.10化简下式 (ABC)(ABC) 解(ABC)(ABC)

三、练习题 1. 判定下列语句是否为命题，若是命题，指出是简单命题或复合命题. (1) 是无理数； (2) 5能被2整除； (3) 现在开会吗？ (4) 2是素数当且仅当三角形有3条边； (5) 雪是黑的当且仅当太阳从东方升起. 2. 将第1题的命题符号化，并讨论其真值. 3. 设命题P,Q的真值为0，命题R,S的真值为1，求命题公式的真值. 4. 用多种方法判定命题公式的类型. 5. 用等值演算法证明等值式成立.

四、练习题答案 1. (1) , (2)是简单命题，(3) 不是命题，(4)，(5)是复合命题. 2. (1) P:是无理数,P是真命题. (2)P： 5能被2整除，P是假命题. (4)P：2是素数，Q：三角形有3条边，原命题符号化为PQ. (5) P：雪是黑，Q：太阳从东方升起，原命题符号化为PQ，这是假命题. 3. 真值为0. 4. 重言式 5. 提示：用分配律、否定律、同一律

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