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5/8 上機課

5/8 上機課. 用一個圖形將教過的圖形中的三種（一般曲線圖、長條圖、極座標圖、階梯圖、針狀圖）畫在一個圖中，並試著加上註解，讓圖形更完整 . >>subplot(2,2,1); >>plot(x,sin(x)); >>subplot(2,2,2); >> fplot('sin(1/x)', [0.02 0.2]); >>subplot(2,2,3); >> theta=linspace(0, 2*pi); >> r=cos(4*theta); >> polar(theta, r); >>subplot(2,2,4); >> x=1:10;

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5/8 上機課

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Presentation Transcript

  1. 5/8 上機課 • 用一個圖形將教過的圖形中的三種（一般曲線圖、長條圖、極座標圖、階梯圖、針狀圖）畫在一個圖中，並試著加上註解，讓圖形更完整 

  2. >>subplot(2,2,1); >>plot(x,sin(x)); >>subplot(2,2,2); >> fplot('sin(1/x)', [0.02 0.2]); >>subplot(2,2,3); >> theta=linspace(0, 2*pi); >> r=cos(4*theta); >> polar(theta, r); >>subplot(2,2,4); >> x=1:10; >> y=abs(sin(x)); >> bar(x,y);

  3. 數學軟體簡介 PART IIMatlab 介紹

  4. 今天進度： • 三維空間繪圖 • 矩陣實用

  5. 三維曲線 • mesh和surf 是三度空間立體繪圖的基本命令，mesh可畫出立體網狀圖，surf 則可畫出立體曲面圖，兩者產生的圖形都會依高度而有不同顏色。 • 讓我們來看幾個例子，下列命令可畫出由函數形成的立體網狀圖（mesh）:

  6. >>x=linspace(-2, 2, 25);% 在x軸上，-2到2間取25點 >>y=linspace(-2, 2, 25);% 在y軸上，-2到2間取25點 >>[xx,yy]=meshgrid(x, y);% xx和yy都是25x25的矩陣 >>zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2);% 計算函數值，zz也是 >>mesh(xx, yy, zz);% 25x25的矩陣。畫出立體網狀圖 如果想將圖形背景色改為 黑底，在mesh前打上 >>colordef black (改白色為:colordef white)

  7. 注意：meshgrid的作用是產生以x及y為基準的格子點，其輸出為xx及yy，分別代表格子點的x座標與y座標。注意：meshgrid的作用是產生以x及y為基準的格子點，其輸出為xx及yy，分別代表格子點的x座標與y座標。 • 注意：xx此時已經是一個25x25的矩陣了，Matlab不知道xx^2為何，所以，若是要將個別每個元素平方，必須如下使用： xx.^2 多一個『.』在xx後

  8. >>x=linspace(-2, 2, 25); % 在x軸上，-2到2間取25點 >>y=linspace(-2, 2, 25); % 在y軸上，-2到2間取25點 >>[xx,yy]=meshgrid(x, y); % xx和yy都是25x25的矩陣 >>zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2); % 計算函數值 zz >>colordef black; %將背景色改為黑色 >>surf(xx, yy, zz); % 畫出立體曲面圖 • surf與mesh的用法類似

  9. Matlab提供了一個現成的peaks函數，可以產生一個凹凸有致的曲面，包含了三個局部極大點及三個局部極小點，其方程式為： • 要畫出此函數的最快方法就是直接鍵入： >>peaks z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ... - 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ... - 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2)

  10. 這就是peaks的原貌，我們可以 對peaks函數取點，再以各種不同方法進行繪圖。meshz可將曲面加上裙擺： >>[x,y,z]=peaks; >>meshz(x,y,z); >>axis([-inf inf -inf inf -inf inf]); axis是將各座標範圍訂定

  11. 另外這招叫：waterfall(水流)，可以在x方向或y方向產生水流效果： >>[x,y,z]=peaks; >>waterfall(x,y,z); • 若要產生在y方向的水流效果： >>[x,y,z]=peaks; >>waterfall(x',y',z');

  12. meshc同時畫出網狀圖與等高線： >>[x,y,z]=peaks; >>meshc(x,y,z); • 網狀圖 • 等高線 • 如果將meshc改為 surfc會同時畫出 曲面圖與等高線

  13. contour3畫出曲面在三度空間中的等高線： >>contour3(peaks, 20); • 20是等高線的數目，也就是區分的段數 >>contour3(peaks, 40);

  14. contour畫出曲面等高線在XY平面的投影： >>contour(peaks, 20); 同樣地，20代表等高線區分的數目，數目越大會將等高線分得越密

  15. plot3可畫出三度空間中的曲線： >>t=linspace(0,20*pi, 501); >>plot3(t.*sin(t), t.*cos(t), t); x座標為 t.*sin(t) y座標為 t.*cos(t) z座標為 t

  16. plot3亦可畫出兩條三度空間中的曲線： >>t=linspace(0,20*pi, 501); >>plot3(t.*sin(t), t.*cos(t), t, t.*sin(t), t.*cos(t), -t); 前三個座標為第一函數 次三個座標為第二函數

  17. 矩陣運算的注意事項 • 矩陣的運算雖與一般純量運算類似，唯一的要求是：相加或相減的矩陣必須具有相同的維度。維度不一致則會產生錯誤訊息，但矩陣與純量可以直接進行加減。 >>A = [1 2 3 2 1] + 5 A = 6 7 8 7 6 >>B = 2*A B = 12 14 16 14 12

  18. 矩陣運算的注意事項 • 矩陣的相乘（A＊B） 必須確定A的行數（column dimension）必須等於B的列數（row dimension）否則會產生錯誤。 • 矩陣的次方（A^2=A*A） 必須使用在方陣上才有意義。 例如：>>A= [1 2 3 2 1]; >>B=A^2;

  19. 矩陣運算的注意事項 • 若想對矩陣內『元素對元素』的運算應當如何？ • 例如：A= [ 12 ; 45] ，B= [ 2 ; 3 ] 如果想作運算 [ 12*2 ; 45*3 ]，應當如何？ • 在運算符號『＊』，『^』之前加上一個句號『.』即可，如上例： >>A .* B ans = 24 135 >>A .^2 ans = 144 2025

  20. sum 功能 • sum() 用在向量上，sum(A)為每個元素加總的和 用在矩陣上，sum(A)為每行元素加總而成的向量 • 例如： >>A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >>sum(A), sum(sum(A)) ans = 12 15 18 ans = 45

  21. 矩陣進階實用 • 一個正方矩陣A的反矩陣的定義是A-1，所以此二矩陣相乘不論是AA-1或A-1A，結果皆為單位矩陣I。 • 矩陣如果是奇異(singular)或是條件不足 (ill-conditioned)，其反矩陣並不存在。條件不足的矩陣與一組聯立方程組其中的方程式並不獨立有關，而一矩陣的秩(rank) 即是代表矩陣中獨立方程式個數。如果一矩陣的秩數和其矩陣的列數相等，則此矩陣為非奇異且其反矩陣存在。

  22. 矩陣進階實用 • 實例 1：反矩陣 >>A=[ 2 1 ; 4 3 ]; >>inv(A) ans = 1.5000 -0.5000 -2.0000 1.0000 >>B=[ 2 1 ; 4 2 ]; >>inv(B) >> inv(A) Warning: Matrix is singular to working precision. ans = Inf Inf Inf Inf

  23. 矩陣進階實用 • 實例 2：反矩陣 >>A=[ 1 2; 3 4 ; 5 6 ]; >>inv(A) ??? Error using ==> inv Matrix must be square. 這就是所謂的條件不足(ill-conditioned)的情形，inv 無法用在非方陣的情況。

  24. 矩陣進階實用 • 另外兩種方便使用的功能： 求秩(rank)與行列式(det) >>A=[1 3 0; -1 5 2; 1 2 1]; >> rank(A), det(A) ans = 3 ans = 10 三次行列式大家都會算，但是，超過4次的行列式會很難計算，這裡可以用Matlab輕易計算。

  25. 特徵值與特徵向量 • 假設 A為一個n階矩陣，而 X 為一個有n列的欄向量，λ為一純量。考慮以下的數學式 AX = λX • 如果X由不為零的元素所組成，其中λ滿足上式稱為矩陣A的特徵值(eigenvalue)，而X稱為矩陣A的特徵向量 (eigenvector)。 • 特徵向量代表一個正規正交(orthonormal) 的向量組，所謂的正規正交向量，是指這向量與自身做內積的值為一單位向量；在幾何關係上是指二量相互垂直且此其內積值再做正規化(normalization)。

  26. 特徵值與特徵向量 • 超強的特徵值與向量功能 >>A=[0.5 0.25; 0.25 0.5]; >>[Q,d]=eig(A) Q = -0.7071 0.7071 0.7071 0.7071 d = 0.2500 0 0 0.7500

  27. 特徵值與特徵向量 [Q,d]=eig(A) 這個功能一舉數得： 1. d的對角線的值為A的特徵值 (即使複數也可以算出) 2. Q的第一行Q(:,1)為d11的特徵向量，Q的第二行Q(:,2)為d22的特徵向量(依此類推) 3. Q的每一行的特徵向量相互垂直，且為正規正交向量（任兩相異行內積為 0，一行與自身做內積的值為 1），即QQT=I

  28. 特徵值與特徵向量 • 檢驗一下： >>Q*Q’ %『’』為矩陣的倒置 ans = 1.0000 0 0 1.0000 >>A*Q(:,1), d(1,1)*Q(:,1) ans = -0.1768 0.1768 ans = -0.1768 0.1768

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