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第 6 讲

第 6 讲. 函数与方程. 1 ．函数的零点. 实根. 交点. (1) 方程 f ( x ) ＝ 0 有 _____⇔ 函数 y ＝ f ( x ) 的图象与 x 轴有 _____⇔ 函数 y ＝ f ( x ) 有零点； (2) 如果函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 上的图象是连续不断的，且 有 __________ ，则函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 上有零点．一般把这一 结论称为零点存在性定理．. f ( a )· f ( b )<0. 2 ．二分法.

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Presentation Transcript

  1. 第6讲 函数与方程

  2. 1．函数的零点 实根 交点 (1)方程 f(x)＝0 有_____⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有_____⇔ 函数 y＝f(x)有零点； (2)如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的，且 有__________，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．一般把这一 结论称为零点存在性定理． f(a)·f(b)<0

  3. 2．二分法 如果函数 y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条连续不断的曲 线，且___________，通过不断地把函数 y＝f(x)的零点所在区间一 分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值 的方法叫做________． f(m)·f(n)<0 二分法

  4. 1．图 3－6－1 是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公 共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)在区间( ) 上的零点．( B ) 图 3－6－1 A．[－2.1，－1] C．[4.1,5] B．[1.9,2.3] D．[5,6.1]

  5. 2．用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时，第一次经计 算 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点 x0∈________，第二次应 计算________．以上横线上应填的内容为( A ) A．(0,0.5)，f(0.25) C．(0.5,1)，f(0.75) B．(0,1)，f(0.25) D．(0,0.5)，f(0.125) 1 x 3．lgx－—＝0 有解的区域是( ) B A．(0,1] C．(10,100] B．(1,10] D．(100，＋∞)

  6. 4．(2010 年天津)函数f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一个区间 是( ) C A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2) 5．关于 x 的一元二次方程 5x2－ax－1＝0 有两个不同的实根， 一根位于区间(－1,0)，另一根位于区间(1,2)，则实数 a 的取值范围 为________.

  7. 考点1 判断函数零点所在的区间 例1：①利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： 那么方程 2x＝x2的一个根位于下列哪个区间( ) A．(0.6,1.0) C．(1.8,2.2) B．(1.4,1.8) D．(2.6,3.0)

  8. 解题思路：判断函数 f(x)＝2x－x2在各个区间两端点的符号． 解析：①由 f(0.6)＝1.516－0.36>0，f(1.0)＝2.0－1.0>0，排除 A；由 f(1.4)＝2.639－1.96>0，f(1.8)＝3.482－3.24>0，排除 B；由 f(1.8)＝3.482－3.24>0，f(2.2)＝4.595－4.84<0，可确定方程2x＝x2 的一个根位于区间(1.8,2.2)上． 答案：C

  9. ②(2011年新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3②(2011年新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为( ) 答案：C

  10. 判断函数 y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用 以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是 否有根落在给定区间上；②利用函数零点的存在性定理进行判断； ③通过函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判 断．

  11. 【互动探究】 1．(2011年山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝____. 2 解析：f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0， ∴x0∈(2,3)．故所求的n＝2.

  12. 考点2 二分法的应用 例2：已知函数 f(x)＝lnx＋2x－6. (1)证明函数 f(x)在其定义域上是增函数； (2)证明函数 f(x)有且只有一个零点； 解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 设x1<x2，则lnx1<lnx2,2x1<2x2. ∴lnx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6. ∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

  13. 给定精度ε，用二分法求函数 y＝f(x)的零点近似值 的步骤如下： (1)确定区间[m，n]，验证f(m)·f(n)<0，给定精度ε； (2)求区间[m，n]的中点x1； (3)计算f(x1)： ①若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的零点； ②若f(m)f(x1)<0，则令n＝x1[此时零点x0∈(m，x1)]； ③若f(x1)f(n)<0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]．

  14. 【互动探究】 2．用二分法求方程 x3－2x－5＝0 在区间[2,3]上的近似解，取 区间中点 x0＝2.5，那么下一个有解区间为__________． [2,2.5] 　　解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝2.5×(2.52－22)>0，故下一个有解区间为[2,2.5]．

  15. 考点3 利用导数讨论方程的根的分布 例3：(2011 年天津)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，其 中 t∈R. (1)当 t＝1 时，求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当 t≠0 时，求 f(x)的单调区间； (3)证明：对任意 t∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内存在零点． 解析：(1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0， f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6. 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.

  16. 【互动探究】 3．若函数 f(x)＝x3－3x＋a 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取 值范围是( A ) A．(－2,2) C．(－∞，－1) B．[－2,2] D．(1，＋∞)

  17. 思想与方法 5．运用函数与方程思想判断方程根的分布 例题：已知f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求 k 的值； 一个公共点，求实数 a 的取值范围．

  18. 将对数方程转化成二次方程应注意取值范围，要保将对数方程转化成二次方程应注意取值范围，要保 证转化的等价性；解决一元二次方程的实根分布问题时一定要结 合图象，从各个方面考虑使结论成立的所有条件，常见的有：判 别式、根与系数的关系、对称轴、函数值的大小、开口方向等．

  19. 与二次方程 f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布有关的结论： (1)方程 f(x)＝0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 ⇔a·f(r)＜0. (2)方程 f(x)＝0 的两根都大于 r

  20. (3)方程 f(x)＝0 在区间(p，q)内有两根 (4)方程 f(x)＝0 在区间(p，q)内只有一根 ⇔f(p)·f(q)＜0，或 f(p)＝0，另一根在(p，q)内，或 f(q)＝0，另 一根在(p，q)内． (5)方程 f(x)＝0 的两根 x1，x2中，p＜x1＜q＜x2(p＜q) ⇔f(p)·f(q)＜0.

  21. 1．函数的零点不是点，它是函数 y＝f(x)与 x 轴交点的横坐标， 是方程 f(x)＝0 的根． 2．使用根的存在性定理要注意以下三点：①函数 y＝f(x)在区 间[a，b]上连续；②满足 f(a)·f(b)<0；(3)该定理只能求变号零点， 对非变号零点则不适用，因此只是零点存在的一个充分条件，但 不必要．

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