生活中常利用放大或縮小的方式將原圖形變換成大小不同但形狀相像的圖形。 例如，我們常用影印機來放大或縮小圖形。 經過影印機放大（縮小）的圖形會產生哪些變化呢？

1. 生活中常利用放大或縮小的方式將原圖形變換成大小不同但形狀相像的圖形。生活中常利用放大或縮小的方式將原圖形變換成大小不同但形狀相像的圖形。 例如，我們常用影印機來放大或縮小圖形。 經過影印機放大（縮小）的圖形會產生哪些變化呢？

2. 多邊形原圖與放大圖的邊角關係 下面兩張方格紙中，圖 1-2 的多邊形 A'B'C'D'E'是用影印機將圖 1-1 的多邊形 ABCDE 放大為 2 倍後的多邊形。

3. 為了方便討論起見，我們稱A 與 A'，B 與 B'，C 與 C'，D 與 D'，E 與 E' 為對應點；AB與 A'B'，BC與 B'C'，CD與 C'D'，DE與 D'E'，EA與 E'A'為對應邊；∠A 與∠A'，∠B 與∠B'，∠C 與∠C'，∠D 與∠D'，∠E 與∠E'為對應角。附件(一) 的五邊形和圖 1-1 的五邊形是兩個全等的圖形。剪下此附件備用。

4. 1. 測量兩個多邊形各邊的長度，記錄在下表， 再計算各組對應邊長度的比值。 2.5 5 2 1 2 2 3.5 7 2 1.5 3 2 2.5 5 2

5. 2. 觀察上表，兩多邊形各組對應邊的比值是否相同？ 這些比值和放大倍數 2 是否相等？ 答： 是，是。 3. 用附件(一) 的五邊形 ABCDE 來比較各組對應角的大小關係。 是 是 是 是 是

6. A'B' AB B'C' BC C'D' CD D'E' DE E'A' EA 亦即 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2。 在〔活動一〕中，我們可以發現原五邊形 ABCDE 和用影印機放大 2 倍後的新五邊形 A'B'C'D'E' 有下列關係： (1) 它們對應的角相等（簡稱對應角相等）， 亦即∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠D＝∠D'，∠E＝∠E'。 (2) 它們對應的邊長比值相同（簡稱對應邊成比例），都是 2，

7. ＝ ＝ ＝ ＝ A'B' AB B'C' BC C'D' CD D'E' DE E'A' EA 在數學上，兩個邊數相同的多邊形，如果它們的對應角相等，而且對應邊成比例時，我們稱這兩個多邊形為相似多邊形， 或簡稱為相似形。我們用「～」符號來表示相似。 例如，〔活動一〕中的五邊形 ABCDE 和五邊形 A'B'C'D'E'的對應邊成比例，對應角相等，即： ∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠D＝∠D'，∠E＝∠E'

8. 所以這兩個五邊形是相似形，記作五邊形 ABCDE～ 五邊形 A'B'C'D'E' （此時， A、 B、 C、 D、 E 的對應頂點　分別為 A'、B'、C'、D'、E'）。本書習慣上以對應點順序表示兩個相似形。例如四邊形 ABCD～ 四邊形 EFGH 表示 A、B、C、D 的對應點分別為 E、F、G、H。

9. 兩四邊形相似之判別 1. 一個正方形和一個菱形是否一定相似？ 答： 2. 一個長方形和一個正方形是否一定相似？ 答： 否，四內角不一定相等。 否，對應邊不成比例。 　　由上面的問題與討論，可以發現兩個多邊形： (1) 只有對應邊成比例，這兩個多邊形不一定相似。 (2) 只有對應角相等，這兩個多邊形不一定相似。

10. 解：因為長方形的內角都是直角， 所以兩個長方形的對應角相等。 又這兩個長方形長邊的比值為 ＝2，短邊的比值為 ＝2， 所以這兩個長方形的對應邊成比例。 因此，這兩個長方形是相似形。 63 42 兩長方形相似之判別 下圖中，兩個長方形是否為相似形？

11. 1. 圖 1-3 的兩個長方形是否為相似形？ 答： 2. 圖 1-4 中的哪些圖形相似？ 答： 否。 ① ～ ②、③ ～ ④。

12. 1. 任意兩個正方形是否一定相似？ 答： 2. 任意兩個長方形是否一定相似？ 答： 3. 任意兩個菱形是否一定相似？ 答： 是。 否。 否。

13. F'O' FO O'U' OU 下圖四邊形 F'O'U'R'～ 四邊形 FOUR。 已知 FO＝9 公分，OU＝18 公分， O'U'＝54 公分，∠OUR＝78°。求： (1) F'O' 的長度。 (2) ∠O'U'R'的度數。 31 解：(1) 由相似形對應邊成比例， 得知 ＝ ， ＝ ＝ ， 所以 F'O'＝27公分。 (2) 再由相似形對應角相等， 可得∠O'U'R'＝∠OUR＝78°。 F'O' 9 5418 等高三角形面積比之應用

14. 2. 如下圖，已知五邊形 SMPON～ 五邊形 LARGE， 求 PO、LA、AR的長度。 　 答： 5 AB CE CB DE AB 因為△ABC～ △DEC， 所以 ＝ ， ＝ ，AB＝10。 816 PO＝3，LA＝10，AR＝6。 1. 如右圖，已知△ABC～ △DEC，CE＝8，CB＝16，DE＝5，請問 AB的長度是多少？ 答：

15. 　　我們知道兩個相似形的對應邊成比例，而且對應角相等。如果給定一個多邊形，如何畫出與其相似的多邊形呢？我們將透過下面的活動來學習利用坐標畫相似形。

16. 利用坐標畫相似形 在〔活動一〕的圖 1-1 與 1-2 上建立坐標平面，使 C、C'都在原點，x軸通過 D和 D'點，y軸通過 B和 B'點，如圖 1-5、1-6。

17. 1. 請將圖 1-5 中五邊形 ABCDE 各頂點的坐標， 及圖 1-6 中五邊形 A'B'C'D'E'各頂點的坐標填入下表。 ( 3 , 6 ) ( 0 , 2 ) ( 0 , 0 ) ( 7 , 0 ) ( 7 , 3 ) ( 6 , 12 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 0 ) ( 14 , 0 ) ( 14 , 6 ) 2. 請將五邊形 ABCDE 各頂點的 x 坐標與 y 坐標均乘以 2 後 的對應點 F、G、H、I、J 的坐標填入下表。 ( 6 , 12 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 0 ) ( 14 , 0 ) ( 14 , 6 )

18. 3. 在圖 1-6 上標示出 F、G、H、I、J 五點後， 依序用線段連接起來，畫出五邊形 FGHIJ。 4. 五邊形 FGHIJ 是否和五邊形 A'B'C'D'E'完全重合？ 答： 5. 五邊形 FGHIJ 是否和五邊形 ABCDE 相似呢？ 答： 略。 是。 是。

19. 　　由上面的〔活動二〕，我們可以發現五邊形 ABCDE 各頂點的 x 坐標與 y 坐標 均乘以 2 後的對應點 F、G、H、I、J 的坐標，就是五邊形 A'B'C'D'E' 各頂點的坐標。在〔活動一〕中，我們知道五邊形 ABCDE 和五邊形 A'B'C'D'E'的對應角相等且對應邊成比例，它們是相似形，因此五邊形 FGHIJ～五邊形 ABCDE。

20. 我們可以用這個想法在坐標平面上畫出一多邊形的相似形：我們可以用這個想法在坐標平面上畫出一多邊形的相似形： (1) 先標示出此多邊形各頂點的坐標。 (2) 再將各頂點的 x 坐標與 y 坐標都放大或縮小相同的倍數， 而得出各頂點的對應點。 (3) 將這些對應點依序用線段連接起來，即可畫出相似形。

21. 如右圖，作出五邊形 ABCDE 放大 為 3 倍的相似形。 解：將 A、B、C、D、E 各點的 x 坐標與 y 坐標均乘以 3，得到對應點的坐標：A' (－6 , 3 )、B' ( 0 , －6 )、C' ( 12 , 0 )、 D' ( 9 , 6 )、E' ( 3 , 9 )。 再將 A'B'、 B'C'、 C'D'、 D'E'、E'A'連接起來， 即得放大為 3 倍的相似五邊形 A'B'C'D'E'。 利用坐標作相似多邊形

22. 右圖中，已知四邊形 ABCD～四邊形 A'B'C'D'，請標示出 D'點的坐標。 答： D' (－1 , 2 )

23. 1. 將上面隨堂練習中的四邊形 A'B'C'D'各頂點的 x 坐標加 2， y 坐標加 1 後的對應點 E、F、G、H 描繪在下面的方格紙上。 答： 2. 將 E、F、G、H 四點依序用線段連接起來， 請問四邊形 EFGH～ 四邊形 ABCD 嗎？ 答： 是。

24. 　　在第四冊中，我們曾學過許多三角形全等的判別性質，例如，SAS、ASA、SSS、… 全等判別性質。對於三角形是否也有「相似判別性質」呢？ 　　以下我們將利用前一節所得出的結果，探討相似三角形的一些判別性質。

25. 將 △ABC 放在 △A'B'C'上 由∠A＝∠A'，∠B＝∠B' 及三角形內角和是 180°，可知∠C＝∠C'。 (1) 當 A'B'＝AB時： 由ASA全等性質知△ABC  △A'B'C'，則△ABC ～△A'B'C'。 首先，我們來討論下面問題： 在△ABC 與△A'B'C'中，如果∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，那麼△ABC～△A'B'C'嗎？

26. 將 △ABC 放在 △A'B'C'上 (2) 當 A'B'≠AB時： 假設 A'B'＞ AB，將△ABC 放在△A'B'C'上， 使∠A和∠A'重合。因為∠A＝∠A'， 所以若 AB落在 A'B'上，則 AC也會落在 A'C'上，如下圖。 由∠B＝∠B' 可知 B'C' // BC， 因此 AB：A'B'＝ AC：A'C'＝ BC：B'C'。 由上面的討論，可以得到△ABC 和△A'B'C'的對應角相等且 對應邊成比例，所以△ABC～△A'B'C'。

27. 由上面的討論可得： AA 相似性質：兩個三角形中，如果有兩組內角對應相等， 則這兩個三角形相似。 　　這個相似性質簡稱為 AA 相似性質，其中的 AA 表示兩個三角形中有兩組對應角相等。 　　由 AA 相似性質可以知道如果兩個三角形的三組內角對應相等，則這兩個三角形相似。根據這個性質，我們知道所有三內角分別為 30°、60°、90° 的三角板都是相似三角形；所有三內角分別為 45°、45°、90° 的三角板也都是相似三角形。

28. 在右圖△ABC 與△A'B'C'中，已知∠A＝∠A'，∠B＝∠B'， 且 AB＝3，BC＝2， B'C'＝3，A'C'＝6。 請問： (1) △ABC～ △A'B'C'嗎？ 答： (2) AC、A'B'的長度分別為何？ 答： 23 ＝ ＝ ，＝ ＝ BC B'C' AC A'C' AB A'B' 3 A'B' AC 6 ⇒ AC＝4，A'B'＝4.5。 由∠A＝∠A'，∠B＝∠B'， 可知△ABC～ △A'B'C'（AA相似）。

29. 解：因為△ABC～ △A'B'C'， 所以∠C＝∠C'，∠BAC＝∠B'A'C'。 由題意知∠DAC＝ ∠BAC＝ ∠B'A'C'＝∠D'A'C'。 可得△ADC～ △A'D'C' ( AA相似)， 所以 AD：A'D'＝AC： A'C'。 12 12 相似三角形之角平分線性質 如下圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A的角平分線 AD交 BC於 D點， ∠A'的角平分線 A'D'交 B'C'於 D'點。如果△ABC～ △A'B'C'， 那麼 AD： A'D'＝AC： A'C'嗎？

30. 承例題四，若 AB＝8，A'B'＝4，AD＝6， 則 A'D'的長度＝？ 答： AB：A'B'＝ AD：A'D'， 8：4＝6：A'D'， A'D'＝3。 由例題四可以得知： 兩相似三角形中，對應分角線的比等於對應邊長的比。

31. 如右圖，AD為△ABC 的角平分線。 若 BD：DC＝5：3， 求 AB與 AC的比值。 答： 過 D點作 DE ⊥AB，DF⊥AC， 因為 AD為的△ABC 角平分線， 所以 DE＝DF， 故△ABD：△ACD＝AB：AC＝BD：DC＝5：3

32. 已知△ABC～ △A'B'C'，AH為 BC上的高， A'H' 為 B'C'上的高，請問： (1) AH：A'H'＝AB：A'B' 嗎？ 解：(1) 因為∠B＝∠B'， ∠BHA＝∠B'H'A'＝90°， 所以△ABH～ △A'B'H' ( AA相似)， 故有 AH：A'H'＝AB：A'B'。 相似三角形高與面積之性質

33. 12 12 解： (2) 由△ABC～ △A'B'C'，可知 AB：A'B'＝BC：B'C'。 ×BC ×AH AB A'B' BC B'C' AB A'B' △ABC 面積 △A'B'C'面積 AB A'B' AH A'H' AH A'H' ＝ × ＝ × ＝ ＝ × × B'C' × A'H' 因為 AB：A'B'＝ BC：B'C' 因為 AH：A'H'＝ AB：A'B' 相似三角形高與面積之性質 已知△ABC～ △A'B'C'，AH為 BC上的高， A'H' 為 B'C'上的高，請問： (2) △ABC 面積：△A'B'C'面積＝ AB2：A'B'2嗎？

34. 由例題五，我們有： 1. 兩相似三角形對應高的比等於其對應邊的比。 2. 兩相似三角形面積的比等於對應邊平方的比。

35. 承例題五，若 AC＝20，A'C'＝25，求： (1) AH和 A'C' 長度的比。 答： (2) △ABC 面積和△A'B'C'面積的比。 答： AH：A'H'＝AC： A'C'＝4：5 △ ABC 面積：△ A'B'C'面積＝ AC2：A'C'2＝16：25

36. 將 △ABC 放在 △A'B'C'上 　　在△ABC 與△A'B'C'中，已知∠A＝∠A'，而且AB：A'B'＝AC：A'C'，則△ABC～ △A'B'C'嗎？ 　　如下圖，設 A'B' ＞ AB，將△ABC 放在△A'B'C'上， 使 A 點與 A'點重合，並使 AB 落在 A'B'上。 因為∠A＝∠A'，所以 AC也會落在 A'C'上。

37. 將 △ABC 放在 △A'B'C'上 因為 AB：A'B'＝BC：B'C'，所以 BC // B'C'。 由此得知∠B＝∠B'，∠C＝∠C'。 由 AA 相似性質，可以得到△ABC～ △A'B'C'。 由上面的推導可得： SAS 相似性質：兩個三角形中，如果有一組內角相等，　　　　　　　而且夾此內角的兩邊對應成比例，　　　　　　　則這兩個三角形相似。

38. SAS 相似性質：兩個三角形中，如果有一組內角相等，　　　　　　　而且夾此內角的兩邊對應成比例，　　　　　　　則這兩個三角形相似。 此處我們仿照第四冊第三章全等性質的簡稱， 稱此相似性質為 SAS 相似性質。 兩個 S 指的是成比例的兩組對應邊， A 寫在兩個 S 中間， 表示這兩組對應邊所夾出的對應角。

39. 解：(1) 因為四邊形 ABCD～ 四邊形 A'B'C'D'， 所以 AB：A'B'＝BC：B'C'， 且∠B＝∠B'， 因此△ABC～ △A'B'C' ( SAS相似)。 (2) AC：A'C'＝AB：A'B'＝AD：A'D'＝2：3。 相似多邊形所分割之三角形相似 右圖中，四邊形 ABCD～ 四邊形 A'B'C'D'。 請問： (1) △ABC～△A'B'C'嗎？ (2) 若 AD：A'D'＝2：3，則 AC：A'C'＝？

40. 右圖四邊形 ABCD中，已知∠BAC＝∠DAC， AB＝9，AC＝6，AD＝4。 (1) 求 的值。 答： (2) ∠B 和下列哪一個角相等？ (A) ∠DAC(B) ∠D(C) ∠ACD(D) ∠ACB 答： BC CD 96 64 32 因為 ＝ ，又∠BAC＝∠DAC， 所以 △BAC～ △CAD，故所求＝ 。 (C)

41. AM A'M' AB A'B' BC B'C' BM B'M' AB A'B' 12 12 解：在△ABM 和△A'B'M'中， AM A'M' AB A'B' 由 SAS 相似性質可知△ABM～ △A'B'M'，所以 ＝ 。 BC 由題意知∠B＝∠B'，且 ＝ ＝ ＝ 。 B'C' 相似三角形之中線性質 如右圖，已知△ABC～ △A'B'C'， BM＝MC且 B'M'＝ M'C'。 請問 ＝ 嗎？

42. 在下圖△ABC 和△A'B'C'中，已知 M 為 AC的中點，M'是 A'C'的中點。 若∠ABC＝∠A'B'C'，AB＝3，BC＝6，A'B'＝4.5，B'C'＝9，BM＝4， 求 B'M' 的長度。 答： 因為 AB：A'B'＝ BC：B'C'，∠ABC＝∠A'B'C'， 所以△ABC～ △A'B'C'，又 BM、B'M'為兩三角形中線， 故 BM：B'M'＝6：9，4：B'M'＝6：9，B'M'＝6。 由例題七可知： 兩個相似三角形中，對應中線長度的比等於對應邊長的比。

43. 在△ABC 與△A'B'C'中， 若 AB：A'B'＝BC：B'C'＝AC：A'C'， 請問△ABC～ △A'B'C'嗎？

44. SSS 相似性質 因為 DE // B'C'，所以 A'D：A'B'＝A'E：A'C' 又∠A'＝∠A'，故△A'DE～ △A'B'C' 假設 A'B' ＞ AB，在 A'B'上取一點 D，使 A'D＝AB， 過 D 點作B'C'的平行線交 A'C'於 E 點，如下圖。 (1) 請問△A'DE～ △A'B'C'嗎？為什麼？答：

45. SSS 相似性質 因為 A'D＝AB，且 AB：A'B'＝ BC：B'C'＝ AC：A'C' 假設 A'B' ＞ AB，在 A'B'上取一點 D，使 A'D＝AB， 過 D 點作B'C'的平行線交 A'C'於 E 點，如下圖。 (2) 請問 A'D：A'B'＝ DE：B'C'＝ A'E：A'C' ＝ AB：A'B'＝ BC：B'C'＝ AC：A'C'嗎？為什麼？ 答：

46. SSS 相似性質 假設 A'B' ＞ AB，在 A'B'上取一點 D，使 A'D＝AB， 過 D 點作B'C'的平行線交 A'C'於 E 點，如下圖。 (3) 請問 DE＝BC， AC＝A'E'嗎？ 答： (4) 請問△ABC △A'DE 嗎？答： 是。 是。

47. SSS 相似性質 假設 A'B' ＞ AB，在 A'B'上取一點 D，使 A'D＝AB， 過 D 點作B'C'的平行線交 A'C'於 E 點，如下圖。 (5) 請問由△A'DE～ △A'B'C'以及△ABC△A'DE， 可得到△ABC ～ △A'B'C'嗎？ 答： 可以。

48. 由上面的問題與討論，可以得到： SSS 相似性質：兩個三角形中，如果三邊長對應成比例，　　　　　　　則這兩個三角形相似。

49. 53 52 92 92 53 52 解：第一個三角形的三邊長由大而小排列後的比為 3：2： ＝9：6：5 第二個三角形的三邊長由大而小排列後的比為 ：3： ＝9：6：5 由 SSS 相似性質可知這兩個三角形相似。 相似三角形之判別 若一個三角形的三邊長分別為 2、3 與 ， 另一個三角形的三邊長分別為 3、 與 ， 請問這兩個三角形相似嗎？

50. 下列各選項分別代表三角形的三邊長， 請問哪一個會和右圖的三角形相似？ (A) 2，1，3(B) 4，6，10 (C) 3，5，4(D) 6，12，9 答： (D)