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1. Mathematical Thought in Math. Games 游戏中的数学思维 http://hi.baidu.com/szuzwj zwj@szu.edu.cn 深圳大学数学与计算科学学院

2. 。背景： • 数学教育的根本目的 • 数学思维能力培养的途径

3. 在一般人看来： • 游戏往往趣味盎然，让人着迷 • 而数学则常常枯燥乏味，令人生畏 二者似乎是风马牛不相及 但从本质上看来——

4. 数学类似游戏，高于游戏 游戏与数学关系密切，二者有类似的元素和结构，同时数学比游戏更高一筹. 游戏较具体，而数学则较抽象。 许多看起来不同的游戏本质上却是同一种原理.

5. 数学有两个基本要素： 给定的集合以及运算、变换及其规则。 • 这里的集合可能是“数的集合”、“形的集合”或更为抽象的其它集合； • 而这里的运算、变换则可能是加、减、乘、除，微分、积分等运算，或平移、旋转、置换等变换。

6. 游戏也有两个基本要素： 给定的集合——“道具”，以及游戏规则。 • 这里的集合或道具是游戏活动范围内某些物体的集合：棋子、火柴棒、扑克牌等； • 而这里的游戏规则则是对游戏活动所作的要求或限制。

7. 虽然数学抽象性给数学蒙上了呆板的外衣 但洞悉本质的行家看来： 数学与游戏同样富有魅力： 魅力的根源在于： 动中之静 变中之恒 乱中之序 异中之同

8. 许多游戏本身或其思维过程蕴含着重要的数学思想。许多游戏本身或其思维过程蕴含着重要的数学思想。 本报告将通过一个游戏及其变形的取胜策略分析，提炼出其蕴含的数学思维方法，说明游戏与数学思想的关系，也说明在数学教育中可以寓教于乐。

9. In this talk • 从“躲30”游戏谈起 • “取石子”游戏的常规思考 • “取石子”游戏的二进制解决 SZU

10. 从“躲30”游戏谈起 zwj@szu.edu.cn

11. 游戏规则 “躲30”游戏由两人进行。双方约定从1开始，轮流报数，每人每轮至少数1个数，最多数3个数，以最终数到30的人为输。 问题：你是愿意先手，还是后手？如果让你先数，你是否能保证取胜呢？ 选 择

12. 如何取胜？ 问题的困难在于： • 从起点到终点路途遥远，看不清方向。 • 路途中岔道多，情况多变，似乎不可控。 解决问题的出路在于： • 目标近处是否可控？寻找可控点。 • 变中是否有恒？寻找可控量。

13. 逆向思维：要把30留给对方，自己最后要抓住什么？逆向思维：要把30留给对方，自己最后要抓住什么？ …… 17 25 21 29 穷举 你发现了什么？他们有什么规律吗？ 差为4！ 都是 4n+1！

14. 你是否看到了起点？ 要抓住4的倍数加1！第一个这样的数是1. 1就是起点。 归纳猜想 何以见得？为什么可以间隔为4？

15. 理论探讨：按照本游戏的规则：每人每轮至少数1个数，最多数3个数，虽然每人报数的个数是不确定的，似乎无法把握，但是每一轮报数的总结果自己总是可以控制为4个数——对方数1个，自己数3个；对方数2个，自己就数2个；对方3个，自己就数1个。理论探讨：按照本游戏的规则：每人每轮至少数1个数，最多数3个数，虽然每人报数的个数是不确定的，似乎无法把握，但是每一轮报数的总结果自己总是可以控制为4个数——对方数1个，自己数3个；对方数2个，自己就数2个；对方3个，自己就数1个。 乱中有序，变中有恒

16. 游戏推广 按照这种思想，改变游戏规则，比如， (1)限定每人每轮至少数1个数，最多数2个数，数到30者输，先手如何保证取胜？ (2)限定每人每轮至少数2个数，最多数4个数，数到40者赢，先手是否有必胜诀窍？ 抓住本质，类比推广，是数学发展的途径之一

17. 启示 1 “选择”问题 是人生旅途中始终需要面对，又必须认真对待的一个重要问题。 • 选择方向，决定着能否成功； • 选择方法，决定着能否尽快成功或顺利成功。

18. 启示 2 • 逆向思维是数学的一种重要思维方式，其本质是探源； • 归纳猜想是数学发现的重要源泉，是从个体认识群体，从特殊认识一般，从现象认识本质的重要法宝，是创造性思维的源泉之一； • 变中求不变是数学追求的目标之一，不变性是许多自然与社会现象的本质反映。变的是现象，不变是本质。

19. “取石子”游戏的常规思考

20. 道具与规则 道具：地面上摆着若干堆石子，每堆的石子数目任意。甲乙两人轮流从中拿取石子，以取到最后一颗石子者为胜。 规则：每人每次只能在其中一堆中取走1颗或2颗石子。 问题：有没有必胜的诀窍？

21. 赢局——在游戏过程中，如果自己留给对方一个局面，对方依照规则无论如何处理，自己总能保证取胜，则称这种局面为赢局。赢局——在游戏过程中，如果自己留给对方一个局面，对方依照规则无论如何处理，自己总能保证取胜，则称这种局面为赢局。

22. 一个特例 情况：只有一堆石子 方法：逆向思维。要想取到最后一颗石子，按照规则，上一次取后留下的石子数不能是1或2，至少为3。如果留下3颗，那么不论对方按照规则取1颗还是2颗，自己都一定能将剩下的2颗或1颗石子取完。（“赢局”）。 结论：“留下3颗——3的倍数”就是赢局。 异中有同 类比思想

23. 两堆石子的情况 极端情况： 假如其中一堆全部取完了，那么按照一堆石子情况的讨论，赢局就是另一堆剩下3的倍数颗石子。 极端原理 化归思想

24. 两堆石子的情况 如何保证？ 只要使得两堆石子数除3所得余数相同即可。此时，对方在其中一堆中取走几颗子，你就从另一堆中取走同样多颗子，最后的胜利就一定属于你。 因此，在两堆石子的情况下，两堆石子数除3所得余数相同，就是赢局。 对称原理

25. 一般情况 任意多堆石子的取胜原则： 此时只要除3所得余数（1或2）相同的石子堆是成对出现的，而被3整除的石子堆数量不论多少个，都是赢局。

26. 一般情况 原因： • 如果一堆石子数能被3整除，你总是可以保证最后取完这一堆； • 而对于除3所得余数相同的两堆，你也总是可以保证取到最后一颗。

27. 启示 3 • 类比思想：现实生活中许多问题具有形式上的明显差异，但在许多情况下不同形式下的两种事物可能又在某种程度上具有相似之处。此时，当你能够解决其中一个问题时，通过类比，可以找到解决另一问题的方法。 • 化归思想：现实生活中许多问题具有形式上的明显差异，但在许多情况下一个问题经过某种处理可能划归为另一问题，进而通过解决另一问题来实现该问题的解决。

28. 启示 4 • 特殊化与一般化是数学中的对立与统一现象。通过特殊事物的特征，往往可以找到（更大范围的）一般事物的特征；对一般事物的研究可以解决其中每一个特殊事物的性质。（定理：一般；举例：特殊） • 对称现象是自然界中的重要现象，是和谐、匀称、平衡的象征，是数学美的重要特征。许多问题都在某种程度或角度上具有对称性。在博弈中，处理对称问题的手段就是“以牙还牙”的保对称性。

29. 改变一下游戏规则…… 深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》

30. 道具与规则 道具：地面上摆着若干堆石子，每堆的石子数目任意。 规则：每人每次可以在其中一堆中取走任意多颗石子。 标志： 取到最后一颗石子者获胜。 问题：有没有必胜的诀窍？

31. 极端原理（特殊化，分类）： （1）只有一堆石子， 结论显然，你只要把它们一次取完即胜. 分类思想

32. （2）两堆石子（对称原理） （2-1）两堆石子数相同. 此时，对方取走几子，你就从另一堆中取走同样多子，最后一颗石子必然属于你. 因此，留给对方“两堆石子数相同”就是赢局.

33. （2）两堆石子 （2-2）两堆石子数不同，你只要从较多石子的一堆中取走若干颗，使剩下的两堆石子数相同即可. 化归思想

34. 一般情况 任意多堆石子的取胜原则： 如果是偶数堆石子，只要留下的具有相同数目石子的堆数是成对出现的，就是赢局；

35. 一般情况 如果是奇数堆石子，问题就十分复杂了。 我们以3堆为例加以说明。 假设3堆石子数分别为m、n、k，我们将其记为（m，n，k）。

36. （3）三堆石子 （3-1）三堆石子中至少两堆石子数相同. 化归：此时，把那堆可能不同的一次取走，转化为留给对方“两堆石子数相同”，赢局. 化归思想

37. （3-2）三堆石子数各不不同 假设3堆石子数分别为m<n<k， 记为（m，n，k）,关注m （极端原理） （3-2-1）m=1， （1，n，k）. 起始情况（1，2，3）

38. 起始情况（1，2，3） 穷举：对方取子后只有6种情况： （0，2，3），（1，0，3），（1，2，0） （1，1，3），（1，2，2），（1，2，1） 化归：前3种情况转化为两堆； 后3种情况转化为有两堆石子数相同。 都是赢局. 穷举方法

39. 后续情况1. （1，2，k），k > 3，先抓者胜. 化归：将第三堆取剩3，转化为（1，2，3）： 后续情况2. （1，3，k），k > 3，先抓者胜. 化归：将第三堆取剩2，转化为（1，3，2） 后续情况3. （1，4，k），k > 4， 特例：（1，4，5），穷举,后抓者胜. 结论：留给对方（1 ,2 ,3），（1 ,4 ,5），（1 ,6 ,7），（1 ,8 ,9）为赢局

40. 归纳猜想 三堆石子归纳猜想 猜想：留给对方（1 , 2m , 2m+1）为赢局. 可以用数学归纳法证明. 彻底解决：用二进制，演绎推理 演绎推理：数学家确认结论的唯一推理方式。

41. 拓展思维. 将2014颗石子依次编号排成一排，甲乙两人轮流从中提取石子，每人每次可以从中提取连续编号的若干颗石子（第一次不得取完），不得不取，也不得跳跃，取到最后一颗石子者获胜。请问：为了保证胜利，你是愿意先手还是后手？如何保证？ … 对称性与博弈、游戏问题

43. 启示 5 • 分类思想是数学的一种重要思维方式，是数学概念提炼的基础，是简化问题研究的重要手段。 • 穷举方法是解决有限离散问题的一个有效手段； • 合情推理找方向，演绎推理定结论是数学创造的孪生兄弟。

44. 用二进制来解决 zwj@szu.edu.cn

45. 余数的启示 从前面对具体问题的分析中我们看到，赢局与两堆石子数是否相同或两堆石子数除3所得余数是否相同有关。 这里余数的“相同”与“不同”两种判别状态，使我们想到要应用二进制来解决问题。 透过现象看本质

46. “偶型”与“奇型” 为方便计，我们仍以3堆为例来说明。 把各堆的石子数用二进制表示，比如，残局（1，2，3）表示为（01，10，11）。为了说明赢局的特征，我们把各堆二进制数放在一起做不进位竖式加法，如：

47. “偶型”与“奇型” 残局(1，2，3)、(6，3，5) 、(2，7，6)、(10，12，15)的二进制不进位竖式加法： 偶型 奇型

48. “赢局”特征 断言： “留下偶型残局”一定是赢局。

49. “赢局”特征 原因： • 偶型残局取子后一定变为奇型残局； • 任何奇型残局，一定有一种取法，使之取子后变为偶型残局。

50. “赢局”特征 于是，一旦你留下一个偶型残局，你就一定有办法永远保持留下偶型残局，这样随着石子一颗颗被取走，最后必然留下最小的偶型残局（0，0，0），这时，你就取胜了。