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§ 3 . 用方程的系数判别二次曲线的类型和不变量

§ 3 . 用方程的系数判别二次曲线的类型和不变量. 定义 3.1 由曲面 ( 曲线 ) 方程的系数给出的函数，如 果在经过任意一个直角坐标变换后，它的函数值不变， 就称这个函数是该曲面 ( 曲线 ) 的一个 正交不 变量 ，简 称 不变量 。 设 二次曲面的方程为 (2.1) 或 (2.3) ，记. 定理 3.1 是 二次曲面的不变量 . 证明 : 作任意一个直角坐标变换 : (3.1)

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§ 3 . 用方程的系数判别二次曲线的类型和不变量

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  1. §3. 用方程的系数判别二次曲线的类型和不变量 定义3.1由曲面(曲线)方程的系数给出的函数，如 果在经过任意一个直角坐标变换后，它的函数值不变， 就称这个函数是该曲面(曲线)的一个正交不变量，简 称不变量。 设二次曲面的方程为(2.1)或(2.3)，记

  2. 定理3.1是 二次曲面的不变量. 证明:作任意一个直角坐标变换: (3.1) 其中, T 是正交矩阵.将(3.1)代入二次曲面方程(2.3)得到:

  3. (3.2) (3.2)就是在新坐标系下的二次曲面的方程,即: 因为T为正交矩阵，即 ,所以对任意实数λ，有: 另外:

  4. 因此得: 将上式两边展开得: 由λ的任意性得: 于是 是二次曲面的不变量.

  5. 我们称方程 (3.3) 为二次曲面的特征方程，它的根称为二次曲面的 特征根. 由定理2.1知道特征方程和特征根在任意直角 坐标变换下都是不变的。设三个特征根为 则由 根与方程的系数关系有: 除了以上不变量外，我们还有以下半不变量的概念， 我们记:

  6. 定理3.2在保持原点不动的直角坐标变换(即坐标定理3.2在保持原点不动的直角坐标变换(即坐标 旋转变换)下， 是不变量，称为半不变量。 证明: 设直角坐标变换为 ,其中，T是正交 矩阵。我们考虑如下二次曲面(3.4)式:

  7. 其中λ是任意实数。经过坐标变换 后，(3.4) 将变为(3.5)式: 其中, 是二次曲面 的矩阵 经过坐标变换 后的二次曲面方程的矩 阵.由定理3.1知 是不变量,因此: (3.6)

  8. 而 因此比较 (3.6)式两边的λ和 的系数知道: 于是 在保持原点不动的直角坐标变换下是不 变的。 对于二次曲线方程(2.12),记: 我们同样可以得到:

  9. 定理 是二次曲线的不变量. 定理 当 时, 是二次曲线的不 变 量.

  10. 利用不变量判别二次曲线类型 由定理2.1我们从五个简化方程出发，用不变量来描 述它们。有下面的定理： 定理3.3二次曲面用不变量表示它的简化方程如下： (1) 当 时, (2) 当 时, (3) 当 时,

  11. (4) 当 时, (5) 当 时, 其中 分别为二次曲面的非零特征根。 我们只给出(1)的证明。设 是曲面的特征 根。 对应于 此时 由特征方程的根与系数的关系立即知道:

  12. 于是简化方程可写成: 同样，对二次曲线也有 定理 二次曲线用不变量表示它的简化方程如 下： (1) 当 时, (2) 当 时, (3) 当 时, 其中， 分别是二次曲线的非零特征根。 例1化简方程

  13. 并指出它是什么曲面。 解: 先写出它的系数矩阵: 计算它的不变量:

  14. 其特征方程: 解得: 于是,简化方程为 该二次曲面为椭球面. 例2:化简方程: 并指出它是什么曲面. 解:二次曲面的系数矩阵: 计算不变量

  15. 特征方程为: 特征根为： 于是,简化方程为: 该曲面是双曲柱面.

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