注重试题研究提高复习效率

注重试题研究提高复习效率 ——数学学业考试压轴题评析

y A 8 6 4 2 B D C O x 2 4 -4 -2 -2 -4 例1(09衢州第24题)：如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线　　　上． (1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标； (2)平移抛物线　　　，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点． ①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式； ②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

考点分析： ①会用代数式表示简单问题的数量关系(c)； ②能根据已知条件确定一次函数表达式(c)； ③能用一次函数解决实际问题(c)； ④能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式(c)； ⑤能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形(c)； ⑥能探索平移的基本性质，理解平移中的对应点连线平行且相等的性质(c)； ⑦能作出简单图形平移后的图形(b)； ⑧能利用图形的相似解决一些实际问题(c)； ⑨能在同一坐标系中感受图形变换后点的坐标变化(b); ⑩能由点的位置写出它的坐标(c).

直线AP的解析式是 点Q的坐标是( ，0)．例1(09衢州第24题)：如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线　　　上． (1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；解题分析： P(2,-2)

解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，A′′(-4-m，-8)．解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，A′′(-4-m，-8)．直线A′′B′的解析式为解法1：CQ=︱-2- ︱= (2)平移抛物线　　　，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点． ①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；

(2)平移抛物线 　　，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点． ②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形:的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．解法1：设抛物线向左平移了b个单位，则A′(-4-b，8) B′(2-b，2)． B′′(-b，2)，A′′(-4-b，-8)，直线A′′B′′的解析式为．

(2)平移抛物线　　　，记平移后点A的对应点为A′，(2)平移抛物线　　　，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点． ②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． B′(0，2) B′′(0，-2)，直线AB′′的解析式为 P( ,0) DP= 解法2：

还可以根据如下图所示的基本图形，利用相似三角形的性质求线段长度，进而得出平移的距离。还可以根据如下图所示的基本图形，利用相似三角形的性质求线段长度，进而得出平移的距离。

y A 8 6 4 B B A A A 2 B l l l D C C D C C B 图① 图② 图③ O x 2 4 -4 -2 B B′ B A A A -2 C l l l D C C -4 B A′ A′ 图③′ 图②′ 图①′ (第24题) 编制分析上例是基于如下“最短距离”问题构造而成：

变式1：如图，已知点A(-4，8)和 点B(2，n)在抛物线　　　上． (1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标； (2)平移抛物线　　　，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C和点D是x轴上的两个动点，且CD=2． ①若抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，求此时点C的坐标； ②当抛物线向左平移个单位时，是否存在某个位置，使四边形的周长最短？若存在，求出此时点C、D的坐标；若不存在，请说明理由．

变式2：如图，抛物线y＝x 2－6x＋8与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线y＝x＋2交y轴于点C，且过点D（8，m）．左右平移抛物线y＝x 2－6x＋8，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′．（1）求线段AB、CD的长；（2）当抛物线向左或右平移到某个位置时，CA′＋DA′最小，试确定此时抛物线的表达式；（3）是否存在某个位置，使四边形A′B′DC的周长最小？若存在，求出此时抛物线的表达式和四边形A′B′DC的周长最小值；若不存在，请说明理由．

变式3：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．变式3：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．

变式4：如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n) 在抛物线上． (1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得︱AQ-BQ︱最大，求出点Q的坐标； (2)平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0) 和点D(-4，0)是x轴上的两个定点． ①当抛物线向左平移到某个位置时，使︱A′C-CB′︳最大，求此时抛物线的函数解析式； ②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使︱A′D -CB′︳最大？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

例2.(2010 衢州第24题)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB= ．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转． (1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标； (2)　如果抛物线 (a≠0)的对称轴经过点C，请你探究： ①　当，，时， A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

考点分析： ①会根据公式确定二次函数图像的顶点、开口方向和对称轴(b)； ②会用二次函数知识解决简单的实际问题(c)； ③会探索并掌握等腰三角形的性质(c)； ④能作出简单平面图形旋转后的图形(c)； ⑤能利用图形的相似解决一些实际问题(c)； ⑥能运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单实际问题(c)； ⑦能在同一坐标系中感受图形变换后点的坐标变化(b); ⑧能由点的位置写出它的坐标(c)；

例2.(2010 衢州第24题)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB= ．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转． (1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标； (2)　如果抛物线 (a≠0)的对称轴经过点C，请你探究： ①　当，，时， A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

例2. (10 衢州第24题)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB= ．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转． (2)　如果抛物线 (a≠0)的对称轴经过点C，请你探究： ①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；解题分析：本小题抛物线已知，点C的横坐标可求出，“A、B两点是否都在这条抛物线上”，只要求出A、B两点的坐标，根据点C在坐标系中的位置，画出适合题意的图形，本题应分两种情况讨论：情况1：设点C在第一象限时；情况2：设点C在第四象限时. 然后可利用解直角三角形和相似三角形及对称知识即可解决。

例2. (10 衢州第24题)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB= ．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转． ②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．解题分析： ∵ ∴ 又因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≦m≦1。要使A，B两点不可能同时在这条抛物线上，从图形看，只要A，B两点都在y轴上，此时得出m=±1。

编制分析 本题在编制中涉及以下两个基本图形和抛物线的一个性质：

变式1：△ABC中，∠A=∠B=30°，AB= ．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转． (1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标； (2)　如果抛物线 (a≠0)经过A,B两点且对称轴经过点C，已知点C的坐标为( ， )，求点A、B的坐标和这条抛物线的函数解析式。（3）在（2）条件下，若把△ABC绕点O旋转90°得到△A′B′ C′，请你探究此时点A′、 B′点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

变式2：△ABC中，∠A=∠B=45°，AB=2．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．变式2：△ABC中，∠A=∠B=45°，AB=2．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转． (1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标； (2)　如果抛物线 (a≠0)的对称轴经过点C，请你探究： ①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

变式3：△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．变式3：△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转． (1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标； (2)　如果抛物线 (a≠0)的对称轴经过点C，请你探究： ①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

变式4：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=．把菱形ABCD放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，菱形ABCD可以绕点O作任意角度的旋转．变式4：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=．把菱形ABCD放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，菱形ABCD可以绕点O作任意角度的旋转． (1)　当点C在第一象限，纵坐标是时，求点C的横坐标； (2)　如果抛物线 (a≠0)的对称轴经过点B，请你探究： ①　当，，时， A，C两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，C两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

今年“压轴题”命题的趋势和方向预测 09年、10年衢州卷两道压轴题形式：都是由三小题组成，第一小题为基础题，第二小题为中上难度问题，第三小题为试卷中最难的问题。它们的本质特征：都是在初中主干知识的交汇处命题，内容都赋予运动的背景（图形的平移和旋转），涉及的知识点多，覆盖面广；条件隐蔽，思路难觅，方法灵活，渗透重要的思想方法，体现较高的思维能力。

今年“压轴题”命题的趋势和方向预测 综合以上对09年、10年衢州卷（省卷）压轴题的分析，认为2011年数学中考压轴题将会是以几何图形或二次函数为载体，几何与函数相结合，体现运动变换（轴对称、旋转、平移、相似）、数形结合思想和分类讨论思想等的创新题。综合考查学生的各种数学能力，难度较高，具有良好的区分度，既关注不同数学水平学生的解题需要，又突出选拔功能。

压轴题教学启示： 1、重视知识的综合，尤其是横向联系，教学要有深度； 2、重视合情推理能力、动手实践能力和创新意识的培养； 3、突出数学思想与解题方法。

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