slide1 l.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Курс: Общий физический практикум PowerPoint Presentation
Download Presentation
Курс: Общий физический практикум

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 96

Курс: Общий физический практикум - PowerPoint PPT Presentation


  • 125 Views
  • Uploaded on

Сегодня: _________________ 2009 г. Склярова Елена Александровна. Курс: Общий физический практикум. Сегодня: __________________ 2009 г. Лекция № 2. Содержание лекции:. 1. Обследование объекта моделирования 2. Концептуальная и математическая постановка Задачи.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Курс: Общий физический практикум' - hedia


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Сегодня: _________________ 2009 г.

Склярова Елена Александровна

Курс: Общий физический практикум

slide2

Сегодня: __________________ 2009 г.

Лекция №2

Содержание лекции:

1. Обследование объекта моделирования

2. Концептуальная и математическая постановка

Задачи.

3. Выбор и обоснование выбора методов решения

задачи.

4. Разработка алгоритма и компьютерная

реализация модели

5. Проверка адекватности модели.

6. Практическое использование модели.

Тема: Этапы построения моделей

slide4
Выбор и обоснование выбора метода решения задачи
slide5
Математическая постановка

А) Векторная форма

Найти зависимости от времени для векторных

параметров r(t)и v(t) из решения

системы обыкновенных дифференциальных

уравнений:

m(dv/dt) = mg, v = dr/dt (2.1)

при следующих начальных условиях:

r(0) =0 , v(0) = v0(2.2)

Вычислить параметр  как

 = r(tk) - rxk , (2.3)

где tk определить из следующих условий

tk > 0, vy(tk) < 0, y(tk) = yk.(2.4)

slide6
Математическая постановка

Б) Координатная форма

Найти зависимости x(t), y(t)и vx(t), vy(t)из решения системы дифференциальных уравнений:

m(dvx/dt) = 0, vx = dx/dt, m(dvy/dt) = - mg, vy= dy/dt (2.5)

при следующих начальных условиях:

х(0) = х0, у(0) = у0, vx(0)= v0cos0, vy(0) = v0sin 0. (2.6)

 Вычислить параметр  как

 = r(tk) - xk , (2.7)

где tkопределить из следующих условий

tk > 0, vy(tk) < 0, y(tk) = yk. (2.8)

slide7
Аналитическое решение задачи

Проинтегрировав соотношения (2.5) по времени, получим

х(t) = С2 + С1t, y(t) = C4 + C3t – gt2/2,

vx(t) = C1, vy(t) = C3- gt (2.9)

Константы интегрирования найдем из начальных условий (2.6). Тогда решение задачи можно записать следующим образом

x(t) = х0 + v0t cos0 ,

y(t) = у0 + v0t sin0 - gt2/2, vx(t) = v0 cos 0,

vy(t) = v0sin - gt. (2.10)

Примем для простоты, что в момент броска мяч находится в началекоординат и на одном уровне с корзиной (т.е. х0 = у0= уk = 0).

slide8
Аналитическое решение задачи

Под дальностьюL броска будем понимать расстояние, которое пролетит мяч от точки броска до пересечения с горизонтальной плоскостью, проходящей через кольцо корзины.

Из соотношений (2.10) для координат дальность броска выразится следующим образом:

L = (v02/g) sin 20(2.11)

Тогда точность броска с учетом (2.7) будет равна

 = L – xk (2.12)

Например, при броске мяча со штрафной линии можно принять следующие исходные данные:

х0 = у0 = ук = 0; хк = 4,225 м; v0= 6,44 м/с; = 45°.

Тогда из (2.11) и (2.12) имеем L = 4,225 м; = 0 м.

slide9
Реализация программы на компьютере

Компьютеры бесподобны: за несколько минут они могут

совершить такую ошибку, которую не в состоянии

сделать множество людей за многие месяцы. (Лоуренс Дж. Питер)

Процесс создания программного обеспечения можно разбить на ряд этапов:

1. разработка технического задания;

2. проектирование структуры программного комплекса;

3. кодирование алгоритма;

4. тестирование и отладка;

5. сопровождение и эксплуатация.

slide10
Реализация модели на компьютере

Техническое задание на разработку программного

обеспечения оформляют в виде спецификации.

Примерная форма спецификации включает следующие 7 разделов:

1) Название задачи

2) Описание

3) Управление режимами работы программы

4) Входные данные

5) Выходные данные

6) Ошибки

7) Тестовые задачи

slide11
Спецификация задачи о баскетболисте

1) Название задачи

Название программы Basketball С

Система программирования Delphi

Компьютер IBM PC Pentium

Операционная система Windows-XP

2) Описание

Приводится математическая постановка задачи и описание метода ее решения.

3) Управление режимами работы программы

4) Входные данные

Входными данными являются радиус и масса мяча, его начальные

координаты и скорость, угол бросания, координаты корзины.

slide12
Спецификация задачи о баскетболисте

5) Выходные данные

Траектория центра мяча, расчетная величина дальности и точность броска.

6) Ошибки

При вводе исходных данных предусмотреть контроль:

  • все вводимые значения должны быть положительны;
  • угол бросания лежит в пределах от 5 до 85 градусов;
  • начальная скорость мяча лежит в пределах от 0 до 30 м/с;
  • горизонтальная координата центра корзины больше начальной горизонтальной координаты мяча.

7) Тестовые примеры

При х0 = у0 = уk = 0; хk = 4,225; u0 = 6,44; a = 45;

Получаем: L = 4,225;  = 0.

slide13
Проверка адекватности модели

Под адекватностью модели будет пониматься степень соответствия результатов, полученных по разработанной модели, данным эксперимента или тестовой задачи.

Проверка адекватности модели преследует две цели:

  • Убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформулированных на этапах концептуальной и математической постановок.
  • Убедиться, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.
slide14
Примеры

Модель движения лодки

Рассмотрим поэтапное построение модели движения лодки

Содержательная постановка

Лодку оттолкнули от берега и, разогнав, отпустили при некоторой начальной скорости. Необходимо исследовать движение лодки. Полученные результаты представить в графическом виде.

slide15
Концептуальная постановка

Рассматривается движение лодки в воде с начальнойгоризонтальной скоростьюu0 под действием силы тяжести mg, архимедовой выталкивающей силы NA и силы сопротивления движению Fc, приложенных к центру масс. Так как лодка держится на плаву (движение по вертикали отсутствует), то архимедова выталкивающая сила NA уравновешивает силу тяжести mg.

Разработку модели будем выполнять при следующих предположениях:

  • Объектом исследования является лодка, совершающая поступательное движение в горизонтальной плоскости.
  • Лодку принимаем за материальную точку массы m, положение которой совпадает с центром масс.
slide16
Концептуальная постановка

3.Движение лодки под действием приложенной системы сил подчиняется основному уравнению динамики (второму закону Ньютона).

4. Величина силы сопротивления воды Fc прямо пропорциональна скорости лодки и противоположна по направлению:

Fc = - mu, где m - коэффициент пропорциональности (величина постоянная).

Требуется определить скорость лодки как функцию времени и графическиотобразить эту зависимость.

slide18
I этап

1.1. Постановка задачи моделирования системы;

1.2. Анализ задачи моделирования системы;

1.3. Определение требований к исходной информации об объекте моделирования и организация его сбора.

1.4. Выдвижение гипотез и принятие предположений;

1.5. Определение параметров и переменных модели;

1.6. Установление основного содержания модели;

1.7. Обоснование критериев оценки эффективности системы;

1.8. Определение процедур аппроксимации;

1.9. Описание концептуальной схемы модели;

1.10. Проверка достоверности концептуальной модели;

1.11. Составление технической документации по первому этапу.

slide19
II этап

2.1. Построение логической схемы модели;

2.2. Получение математических соотношений;

2.3. Проверка достоверности модели системы

2.4. Выбор инструментальных средств для моделирования;

2.5. Составление плана выполнения работ по моделированию;

2.6. Спецификация и построение схемы программы;

2.7. Верификация и проверка достоверности программы;

2.8. Проведение программирования модели;

2.9. Проверка достоверности программы;

2.10. Составление технической документации по второму этапу.

slide20
III этап

3.1. Планирование машинного эксперимента с моделью системы;

3.2. Определение требований к вычислительным средствам;

3.3. Проведение рабочих расчетов;

3.4. Анализ результатов моделирования системы;

3.5. Представление результатов моделирования;

3.6. Интерпретация результатов моделирования;

3.7. Подведение итогов моделирования и выдача рекомендаций;

3.8. Составление технической документации по третьему этапу.

slide21
Примеры моделирования
  • Информационное моделирование
  • Компьютерное моделирование
  • Математическое моделирование
  • Математико-картографическое моделирование
  • Молекулярное моделирование
  • Цифровое моделирование
  • Логическое моделирование
  • Педагогическое моделирование
  • Психологическое моделирование
  • Статистическое моделирование
  • Структурное моделирование
  • Физическое моделирование
  • Экономико-математическое моделирование
  • Имитационное моделирование
  • Эволюционное моделирование
  • и т. д.
slide22
Алгоритмы компьютерного моделирования
  • Метод конечных элементов
  • Метод конечных разностей
  • Метод контрольных объёмов
slide23
Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения задач прикладной механики.

Широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, теплообмена, гидродинамики и электромагнитных полей.

С точки зрения вычислительной математики, идея метода конечных элементов заключается в том, что минимизация функционала вариационной задачи осуществляется на совокупности функций, каждая из которых определена на своей подобласти, для численного анализа системы позволяет рассматривать его как одну из конкретных ветвей диакоптики — общего метода исследования систем путём их расчленения.

slide24
Метод конечных элементов

Метод конечных элементов: триангуляция

slide25
Метод конечных элементов

Наиболее распространенные системы КЭ анализа:

ANSYS - универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;

MSC.Nastran - универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором MSC.Patran;

ABAQUS - универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;

Impact - универсальная система КЭ анализа с встроенным пре-/постпроцессором;

SAMCEF - универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором SAMCEF Field.

Temper-3D - система КЭ анализа для расчёта температурных полей в трёхмерных конструкциях (теплотехнический расчёт).

COMSOL Multiphysics - универсальная система КЭ анализа с пре-/постпроцессором.

slide26
Метод конечных элементов

Програмное обеспечение, в основе которого лежит метод конечных элементов:

  • ПК Лира
  • ANSYS
  • Nastran
  • SCAD
  • MatLab
  • FemLab
slide27
Метод конечных разностей

Метод конечных разностей - широко известный и простейший метод интерполяции.

Его суть заключается в замене дифференциальных коэффициентов уравнения на разностные коэффициенты, что позволяет свести решение дифференциального уравнения к решению его разностного аналога, т.е. построить его конечно-разностную схему.

slide28
Метод конечных разностей

Так, заменив производную в обыкновенном дифференциальном уравнении

u'(x) = 3u(x) + 2

на конечную разность

получаем аппроксимированную форму (конечно-разностную схему)

Последнее выражение носит название конечно-разностного уравнения, а его решение соответствует приближённому решению первоначального дифференциального уравнения.

slide29
Классификация моделей

Классификация моделей делится на:

  • Содержательную
  • Формальную
slide30
Классификация моделей

Тип 1: Гипотеза (такое могло бы быть)

Эти модели «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным».

По Р. Пайерлсу это, например, модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника (усовершенствованная Кеплером), модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва.

slide33

Иоган КЕПЛЕР

(1571-1630)

установил законы

движения планет

Модель Коперника

Сферы Аристотеля

slide34
Модель атома Резерфорда

Опираясь на классические представления о движении микро-частиц, Резерфорд предложил планетарную модель атома. Согласно этой модели, в центре атома располагается положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома. Атом в целом нейтрален. Вокруг ядра, подобно планетам, вращаются под действием кулоновских сил со стороны ядра электроны. Находиться в состоянии покоя электроны не могут, так как они упали бы на ядро.

Планетарная модель атома Резерфорда.

Показаны круговые орбиты четырех электронов

slide35

ускоренное

расширение

вселенной!

Варианты будущего

ВСЕЛЕННОЙ

W >1

W =1

W < 1

slide36

Гипотеза будущего

"разрыва" вселенной

(2003 г.)

Ускорение

соответствует

∆Н=15 км/с

за 1 млн лет

При сохранении такого темпа

через 22 млрд лет может

произойти "разрыв" вселенной!

slide37

Гипотеза

Большого

взрыва

прошлое

будущее

< BIG RIP >

настоящее

slide38

(1904 - 1968)

Гипотеза

Большого

взрыва

< BIG BANG >

slide39
Классификация моделей

Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман:

«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть».

slide40
Классификация моделей

Тип 2: феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы…)

Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления.

Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

slide41

Мари

Гелл-Манн

Джордж

Цвейг

(1964 г.)

Предложили гипотезу

трех кварков

slide42

u (верхний)

s (странный)

d (нижний)

slide43

t (высший)

с (очарованный)

b (прекрасный)

slide44

d

u u

Кварковое строение

+1

протон

Заряд составной частицы равен сумме зарядов кварков

slide45

u

d d

Кварковое строение

нейтрон

0

Заряд составной частицы равен сумме зарядов кварков

slide46
Классификация моделей

Тип 3: Приближение (что-то считаем очень большим или очень малым)

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае — использование приближений (моделей типа 3).

Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример — закон Ома.

Если мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, то это — модель типа 3 (приближение). При более высоких плотностях газа тоже полезно представлять себе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, но тогда это уже тип 4.

slide47
Классификация моделей

Тип 4: Упрощение (опустим для ясности некоторые детали)

В модели типа 4 отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат.

Одни и те же уравнения могут служить моделью типа 3 (приближение) или 4 (опустим для ясности некоторые детали) — это зависит от явления, для изучения которого используется модель.

Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики.

slide48
Классификация моделей

Тип 5: Эвристическая модель (количественного подтверждения нет, но модель способствует более глубокому проникновению в суть дела)

Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт предсказания только «по порядку величины».

Типичный пример — приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Она даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины.

Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта — модель пятого типа. В этом случае часто используют модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.

slide49
Классификация моделей

Тип 6: Аналогия (учтём только некоторые особенности)

slide50
Классификация моделей

Тип 7: Мысленный эксперимент (главное состоит в опровержении возможности)

А. Эйнштейн был одним из великих мастеров мысленного эксперимента.

Вот один из его экспериментов.

Он был придуман в юности и, в конце концов, привел к построению специальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемся за световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся в пространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениям Максвелла, этого быть не может. Отсюда юный Эйнштейн заключил: либо законы природы меняются при смене системы отсчета, либо скорость света не зависит от системы отсчета. Он выбрал второй — более красивый вариант. Другой знаменитый мысленный эксперимент Эйнштейна — Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена

slide51
Классификация моделей

Тип 8: Демонстрация возможности (главное — показать внутреннюю непротиворечивость возможности)

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво.

Один из самых знаменитых таких экспериментов — геометрия Лобачевского (Лобачевский называл её «воображаемой геометрией»). Другой пример — массовое производство формально — кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др.

slide52
Классификация моделей

Формальная классификация моделей

основывается на классификации используемых математических средств.

Например:

  • Линейные или нелинейные модели;
  • Детерминисткие или стохастические;
  • Статические или динамические;
  • Сосредоточенные или распределённые системы;
  • Дискретные или непрерывные,
  • И др.
slide53
Классификация моделей

Линейная система — система, для которой воздействие и отклик связаны системой линейных дифференциальных уравнений. В простейшем случае, когда отклик описывается единственной функцией, для описания достаточно одного дифференциального уравнения.

Нелинейная система — динамическая система, в которой протекают процессы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Свойства и характеристики нелинейных систем зависят от их состояния.

Динамическая система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени. Примером могут служить механические системы (движущиеся группы тел) или физические процессы.

slide54
Пример

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой m, прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука (F = − kx) после чего воспользуемся вторым законом Ньютона, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:

где означает вторую производную от x по времени: . Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором».

slide55
Пример

Модель Мальтуса

Cкорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением

где α — некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью.

Решением этого уравнения является экспоненциальная функция

x(t) = x0eαt.

Если рождаемость превосходит смертность (α > 0), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов.

slide56
Классификация моделей

При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста.

где xs — «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению xs, причем такое поведение структурно устойчиво.

slide57
Классификация моделей

Метод состоит в создании лабораторной физической модели явления в уменьшенных масштабах, и проведении экспериментов на этой модели.

Выводы и данные, полученные в этих экспериментах, распространяются затем на явление в реальных масштабах. Метод может дать надёжные результаты, лишь в случае соблюдения физического подобия реального явления и модели. Подобие достигается за счёт равенства для модели и реального явления значений критериев подобия — безразмерных чисел, зависящих от физических ( в том числе геометрических) параметров, характеризующих явление. Экспериментальные данные, полученные методом физического моделирования распространяются на реальное явление также с учётом критериев подобия.

slide58
Классификация моделей

Некоторые примеры применения метода физического моделирования:

  • Исследование течений газов и обтекания летательных аппаратов, автомобилей, и т.п. в аэродинамических трубах.
  • Гидродинамические исследования на уменьшенных моделях кораблей, гидротехнических сооружений и т.п.
  • Исследование сейсмоустойчивости зданий и сооружений на этапе проектирования.
  • Изучение устойчивости сложных конструкций, под воздействием сложных силовых нагрузок.
  • Измерение тепловых потоков и рассеивания тепла в устройствах и системах, работающих в условиях больших тепловых нагрузок.
  • Изучение стихийных явлений и их последствий.
slide59

Движение точки под действием центральных сил

Содержательная постановка

Требуется исследовать параметры движения космического корабля вблизи планеты. Масса, начальное положение и начальная скорость корабля известны.

Концептуальная постановка

Космический корабль массой т движется из положения с координатами х0, у0с начальной скоростью v0 под действием силы притяжения F, направленной к неподвижному центру. Требуется определить координаты и компоненты вектора скорости космического корабля как функций времени, а также траекторию его движения.

Рис.1

slide60

Движение точки под действием центральных сил

Построение модели выполняем при

следующих допущениях:

-Объектом исследования является космический корабль,принимаемый за материальную точку.

-Параметрами модели являются координаты (х, у) и скорость v корабля.

-Движение корабля происходит в одной плоскости и подчиняется основному уравнению динамики (второму закону Ньютона): mdv/dt = F.

-Величина (модуль) силы притяжения к центру определяется законом всемирного тяготения F = mM/r2,

где  = 6,672·10-11 Н· м2/кг2- гравитационная постоянная,

- расстояние между точкой массой m и центром притяжения, имеющим массу М.

slide61

Движение точки под действием центральных сил

Математическая постановка

Найти решение задачи Коши для следующей системы уравнений

(1)

при начальных условиях

x(0)= x0, y(0) = y0, vx(0) = vх0, vy(0) = vy0 (2)

slide62

Движение точки под действием центральных сил

Решение задачи

Принимая во внимание, что cos(a) =x/r, sin(a) =у/r

и сокращая в (1) массу корабля, получаем

Решение задачи будем искать с использованием численного метода Эйлера. Заменим производные их разностными аналогами:

slide63

Движение точки под действием центральных сил

Из полученной системы разностных уравнений

можно выразить скорости и перемещения:

(3)

slide64

Движение точки под действием центральных сил

Анализ результатов

На рис.2 показаны траектории движения космического аппарата, полученные решением системы уравнений (3) при различных начальных скоростях.

При проведении расчетов принято: М = 6 • 1024 кг (масса Земли), космический корабль находится в начальной точке с координатами х(0) = 0м, у(0) = 6,4 • 106 м.

Начальная скорость направлена по горизонтали вправо. Шаг интегрирования t выбран равным 0,01 с.

Поскольку радиус Земли R равен 6,37 • 106 м, ускорение g свободного падения оценивается величиной 9,81 м/с2 (приближенные значения);

для орбиты, находящейся над поверхностью планеты на высоте h = 30000 м, первая и вторая космические скорости соответственно равны:

slide65

Движение точки под действием центральных сил

Рис 2. Траектории движения космического корабля при разных начальных скоростях: vx(0) = 7500 м/с (a), vx(0) = 7923 м/с (б), vx(0) = 10000 м/с (в)

и vx(0) = 11206 м/с (г); во всех вариантах vу(0) = 0 м/с; пунктиром обозначена поверхность планеты

slide66
Пример

Содержательная постановка

Исследовать движение планеты в системе двух звезд. Массы планеты, звезд, их начальное положение и скорости известны.

Концептуальная постановка

Планета массой т движется из положения с координатами х0, у0с начальной скоростью v0 под действием сил притяжения F1 и F2звезд неподвижной двойной системы. Положения и массы звезд определяются величинами Х1, У1, M1, и Х2, Y2, M2соответственно. Требуется определить координаты и скорость планеты как функций времени, а также траекторию ее движения.

Рис.3.

slide67
Движение точки под действием центральных сил

Построение модели выполняем при следующих допущениях:

-Объектом исследования является планета, принимаемая за материальную точку.

-Параметрами модели являются координаты (x, y)и скорость v планеты.

-Движение планеты происходит в одной плоскости иподчиняется основному уравнению динамики (второму закону Ньютона): mdv/dt = F.

-Величина (модуль) силы притяжения к центру звезды определяется законом всемирного тяготения F = mM/r2, где  - гравитационная постоянная, r - расстояние между центром планеты и центром звезды.

slide68
Движение точки под действием центральных сил

Математическая постановка

Найти решение задачи Коши для следующей системы уравнений:

(4)

где

При начальных условияхx(0)= x0, y(0) = y0, vx(0) = vх0, vy(0) = vy0 (5)

slide69
Движение точки под действием центральных сил

Решение задачи

Для решения задачи используем численный метод. Заменяем производные разностным аналогом и получаем следующую систему разностных уравнений:

(6)

slide70
Движение точки под действием центральных сил

Анализ результатов

Траектории движения планеты в системе двух неподвижных звезд при различных исходных данных приведены на рис. Значения исходных данных выбраны произвольно и не соответствуют параметрам реальных систем.

При проведении расчетов по формулам (6) принято, что первый центр притяжения М1, находится в начале системы координат (Х1 = Y1 =0), второй центр притяжения М2расположен в точке Х2= 3 • 106 м, Y2= 3 • 106 м, планета находится в начальной точке с координатами х0 = 4,8 • 106 м, у0 = 6,4 • 106 м и имеет начальную скорость, направленную по горизонтали вправо (vy0 = 0). Шаг интегрирования по времени tво всех вариантах принят равным 1 с.

slide71
Движение точки под действием центральных сил

Рассмотрены следующие варианты движения планеты:

М1 = 2 • 1023 кг, М2 = 2 • 1023 кг, vx0 = 1,2 • 103 м/с (рис. 4, а );

М1= 5 • 1022 кг, М2= 2,5 • 1023 кг, vx0 = 1,25 -103 м/с (рис. 4,б);

М1= 2 • 1024 кг, М2= 2 • 1024 кг, vx0= 6 • 103 м/с (рис. 4, в );

М1= 2-1024 кг, М2= 2• 1024 кг, vx0 = 5• 103 м/с (рис. 4, г).

Приведенные результаты показывают, что движение планеты под действием двух центральных сил оказывается в значительной степени неустойчивым. Сравнительно небольшие изменения исходных данных приводят к качественному изменению характера движения планеты (сравните рис. 4, аи 4,б, рис. 4, ви 4, г).

slide72
Движение точки под действием центральных сил

Рис. 4. Некоторые траектории движения планеты в поле действия двух центральных сил

slide73
Гармонический осциллятор

Содержательная постановка

Тело, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, прикреплено к неподвижной стене пружиной. Исследовать колебательные движения тела. Масса тела и жесткость пружины известны.

Рис.7.

slide74
Гармонический осциллятор

Концептуальная постановка

Примем следующие предположения:

  • Объектом исследования является поступательно движущееся теломассой m, принимаемое за материальную точку.
  • Движение тела подчиняется второму закону Ньютона.
  • Тело находится под действием трех сил (рис. 5): силы тяжести mg, реакции поверхности N и силы упругости Feпружины. Так как поверхность гладкая, то силой трения пренебрегаем.
  • Тело совершает прямолинейные колебательные движения, так как сила тяжести mg уравновешивается силой реакцией поверхности N.
  • В уравновешенном состоянии центр масс тела находится в положении с координатами (хp, уp).
  • При малом растяжении пружины величину возникающей в ней силы упругости можно представить линейной зависимостью (закон Гука)F = сΔх, гдеΔх = х - хр - растяжение пружины (отклонение тела от положения равновесия х), с – жесткостьпружины. Направлена сила в сторону положения равновесия.
slide75
Гармонический осциллятор

Принимая, что в некоторый момент пружину растянули на величину х0 и сообщили телу скорость v0, требуетсяопределить координату и скорость тела как функции времени.

Математическая постановка

С математической точки зрения имеем задачу Коши с начальными условиями:

mdv/dt = Fe= -c(x - хр); dx/dt = v(19)

при начальных условиях

х(0) = х0; v(0) = v0. (20)

Требуется найти решение данной задачи.

slide76
Гармонический осциллятор

Решение задачи

Введем обозначение для производных по времени:

Тогда, принимая хр= 0, обыкновенное дифференциальное уравнение (3.25) можно переписать в виде:

(21)

где k2 = с/т — квадрат частоты свободных колебаний тела около положения равновесия. Период свободных колебаний выражается через циклическую частоту Т = 2p/k.

Уравнение (21) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки. Точка совершает гармонические колебания.

slide77
Гармонический осциллятор

Решение данного однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами можно представить в виде:(22)

где а—амплитуда свободных колебаний, b— начальная фаза колебаний, определяемые из начальных условий.

Из этих выражений найдем аи b:

(23)

slide78
Гармонический осциллятор

Решение рассматриваемой задачи можно получить численно, заменяя производные их приближенными разностными аналогами и переходя к системе разностных уравнений:

(24)

Анализ результатов

Принимая при выполнении расчетов m= 1 кг, с = 2500 Н/м,

х0= 0 м, v0 = 1м/с, получаем:

k= 50 с-1; T = 0,04p; а =1/ k = 0,02; b = 0;

slide79
Гармонический осциллятор

На рис. 8 приведены численные результаты определения положения материальной точки при разных шагах интегрирования Δt. Видно, что с уменьшением величины Δt значения, полученные при численных расчетах, стремятся к точному решению.

Рис.8. Влияние величины шара по времени на точность решения.

slide80
Гармонический осциллятор

Изложенный численный способ решения задач позволяет включить в уравнение движения нелинейную зависимость силы упругости пружины от величины растяжения. На рис. 8 представлены результаты численного решения рассмотренной задачи для нелинейных зависимостей силы от растяжения, приводящих к следующим системам разностных уравнений:

(25)

при Fe= cх2(знак модуля использован для учета направления действия силы в зависимости от положения тела) и

(26)

при Fe= cх3.Жесткость пружины принималась равной c = 2500 Н/м3.

slide81
Гармонический осциллятор

Результаты, приведенные на рис. 9, свидетельствуют о незатухающих гармоническихколебаниях тела во всех рассмотренных случаях. При этом с увеличением показателя степени при величине растяжения пружины происходит увеличение амплитуды и уменьшение частоты колебаний.

Рис.9. Влияние вида зависимости силы от растяжения пружины на колебания тела

slide82
Гармонический осциллятор

Определенный интерес представляет анализ зависимости между положением тела и его скоростью, называемой фазовой траекторией.Для этого используют графическое представление процесса в системе координат «положение точки - скорость точки». Для этого представим точное решение в виде:

Исключение времени с помощью тригонометрических формул (сложение полученных соотношений) приводит к уравнениюэллипса в системе координат х — v.

На рис. 10 показаны найденные численно фазовые траектории для трех рассмотренных выше задач, имеющих разные зависимости сил упругости от удлинения пружин.

Рис.10. Фазовые траектории точки при различных законах упругости

(1 - Fe = cx; 2 - Fe = cx2; 3 -Fe = cx3)

slide83
Гармонический осциллятор

Усложним задачу введением дополнительной силы сопротивления движению. Такая ситуация возможна, если тело погружено в жидкость (рис. 11, а) или если в рассматриваемую схему добавлен масляный демпфер, гасящий колебания (рис.11, б). В последнем случае вязкое масло при перетекании внутри цилиндра создает дополнительное сопротивление движению.

Наличие сил вязкого трения приводит к необходимости добавления новой гипотезы при концептуальной постановке задачи. Подобную гипотезу можно сформулировать следующим образом:

Сила вязкого трения прямо пропорциональна скорости тела и направлена против направления его движения: Fc= - v( — коэффициент сопротивления, величина постоянная).

slide84
Гармонический осциллятор

Рис. 11. Схемы конструкций с вязкими средами: жидкостью (а); масляным демпфером (б)

С учетом данной гипотезы соотношения (19) в математической постановке следует заменить уравнениями следующего вида:

(27)

где k2 = c/m; 2n = /m

slide85
Гармонический осциллятор

Систему разностных уравнений в этом случае можно представить следующим образом:

(28)

slide86
Гармонический осциллятор

На рис. 12 показаны изменения координаты и скорости тела, полученные для условий т = 1 кг, с = 2500 Н/м, х0= 0 м, v0 = = 1 м/с,  = 10 Нс/м (большое значение коэффициента сопротивления выбрано для наглядности результатов), шаг интегрирования t = 10-5 с.

Рис. 12. Координата (а) и скорость (б) центра масс тела в вязкой среде

slide87
Гармонический осциллятор

На рис.13 представлена фазовая траектория для тела, совершающего колебания в вязкой среде. В отличие от предыдущей задачи, наличие сопротивления (диссипации механической энергии) приводит к тому, что фазовая траектория оказывается спиралью с уменьшающимся радиусом, стремящимся к нулю. Это соответствует полной остановке механической системы.

Рис. 13. Фазовая траектория движения точки в вязкой среде.

slide88
Гармонический осциллятор

Вынуждающие колебания

Рассмотрим ситуацию, когда к телу (рис.11) приложена горизонтальная гармоническая сила, величина которой изменяется по закону F(t) = В sin(qt) с амплитудой В и циклической частотой q. Система уравнений (27) преобразуется в этом случае к виду:

(29)

Система разностных уравнений может быть представлена следующим образом:

(30)

slide89
Гармонический осциллятор

На рис. 14 представлена координата тела при вынужденных колебаниях как функция времени. При выполнении вычислений принято: m = 1 кг, С = 2500 Н/м,  = 0 (без учета вязкости),

х0 = = 0 м, vx0 = 1 м/с, В = 10 Н, q = 40, 45, 47,5, 50 и 55 с-1.

Рис. 14. Координата тела как функции времени при вынужденных колебаниях с частотами q = 40 с-1(a), q = 45 с-1 (б), q = 47,5 с-1 (в) и q = 50 с-1 (г)

slide90
Гармонический осциллятор

Рис. 15. Фазовые траектории при вынужденных колебаниях тела с частотой q = 40 с-1(a), q = 47,5 с-1(б), q = 50 с-1 (в) и q= 55 с-1 (г)

slide91
Гармонический осциллятор

Рис. 16. Координата (а) и скорость (б) как функция времени, фазовая траектория (в) движения тела при вынужденных колебаниях в вязкой среде

slide92

Лекция окончена

Нажмите клавишу <ESC> для выхода

slide94
Эффект Доплера

Ударные волны. Источник звука движется со звуковой скоростью. Впереди источника формируется ударная волна.

slide95
Эффект Доплера

Источник движется с дозвуковой скоростью. Наблюдается эффект Доплера.

slide96
Эффект Доплера

Ударные волны. Случай движения источника со сверхзвуковой скоростью.