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TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE THEOREME DE PYTHAGORE. I MEDIATRICE Rappel. 1° Définition. La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. 2° Construction. Géoplan. 3° Propriété. a)Tracer un segment [AB] et sa médiatrice d

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE

THEOREME DE PYTHAGORE

I MEDIATRICE Rappel

1° Définition

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire

à ce segment en son milieu.

2° Construction

Géoplan

slide2

3° Propriété

a)Tracer un segment [AB] et sa médiatrice d

Placer sur d 4 points D, E, F, G.

Mesurer AD et DB AE et EB AF et FB AG et GB

Si un point appartient à la médiatrice d’un segment

Alors il est équidistant des extrémités du segment

Géoplan

slide3

b) Tracer un segment [AB] de longueur 6 cm et

placer les points E, F, G tels que

AE = EB = 5 cm ; AF = FB = 4cm ; AG = GB = 3,5 cm

Si un point est équidistant des extrémités d’un segment

Alors il appartient à la médiatrice du segment.

Géoplan

slide4

4° Cercle circonscrit à un triangle.

Tracer un triangle ABC quelconque et les médiatrices des trois côtés.

Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes

en un point qui est le centre du cercle circonscrit .

Géoplan

slide5

II TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE

Géoplan

1° Activité

a) Tracer un triangle rectangle et son cercle circonscrit

Faire une conjecture.

Conjecture :

Il semble que le centre du

cercle circonscrit

soit le milieu de l’hypoténuse

b) propriété

Dans un triangle rectangle le centre

du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

slide6

2° Inversement

a) activité

ACB ADB AEB AFB AGB

AHB AKB ALB AMB ATB

Il semble que les points situés sur le cercle

forment un angle droit avec les points du diamètre

slide7

b) Démonstration.

Soit C un point du cercle de diamètre [AB] et de centre O.

On construit le point D symétrique de C par rapport à O

On a :

♦ O milieu de [CD] ( symétrie centrale )

♦ O milieu de [AB] ( énoncé)

Donc

ACBD est un parallélogramme.

C

On a :

AB = CD car ce sont deux diamètres

d’un même cercle.

Donc

Le parallélogramme ACBD à les diagonales

de même longueur. C’est un rectangle.

O

B

A

Conclusion : ACB = 90°

D

slide8

c) Propriétés.

  • Si C est un point du cercle de diamètre [ AB]
  • alors le triangle ABC est rectangle en C.

b) Dans un triangle

si le milieu d’un côté est équidistant des trois sommets

alors ce triangle est rectangle.

slide9

III THEOREME DE PYTHAGORE

1° Activité

Construire les triangles ABC rectangles en A tels que :

1) AB = 4 cm et AC = 3cm

2) AB = 4,8 cm et AC = 6,4 cm

3) AB = 8,1 cm et AC = 10,8 cm

3)

1)

2)

BC =

BC =

8 cm

5 cm

BC =

13,5 cm

slide10

Triangle 1

25

16

9

5 cm

25

25

Triangle 2

64

23,04

40,96

64

64

8 cm

Triangle3

65,61

182,25

116,64

182,25

13,5 cm

182,25

slide11

2) Théorème de Pythagore

B

A

C

Si ABC est un triangle rectangle en A

alors AB² + AC² = BC²

Dans un triangle rectangle le carré de l’hypoténuse

est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit

slide12

3° Utilisation du théorème.

a) Calcul de l’hypoténuse.

Soit EDF un triangle rectangle en D tel que DF = 6,3 cm et DE = 8,4 cm.

Calculer EF

Dans le triangle EDF rectangle en D,

d’après le théorème de Pythagore on a :

DF² + DE² = EF²

6,3² + 8,4² = EF²

Donc EF² = 110,25

On utilise la touche

EF =

de la calculatrice

EF = 10,5 cm

slide13

b) Calcul de l’un des côtés de l’angle droit.

Soit MER un triangle rectangle en M tel

que ME = 4,8 cm et ER = 7,3 cm.

Calculer MR.

Dans le triangle MER rectangle en M,

d’après le théorème de Pythagore on a :

ME² + MR² = ER²

4,8² + MR² = 7,3²

DANGER

MR² =

7,3² - 4,8²

Donc MR² = 30,25

On utilise la touche

MR =

de la calculatrice

MR = 5,5 cm

slide14

IV RECIPROQUE DU THEOREME DE PYTHAGORE

1° Activité.

Tracer les quatre triangles suivants :

1° T1 est un triangle RST tel que RS = 7,2 cm ST = 5,4 cm et TR = 9 cm.

2° T2 est un triangle RST tel que RS = 8 cm ST = 6 cm et TR = 9 cm.

3° T3 est un triangle RST tel que RS = 3,6 cm ST = 7,7 cm et TR = 8,5 cm.

4° T4 est un triangle RST tel que RS = 6 cm ST = 5 cm et TR = 7 cm.

Quels triangles semblent rectangles ?

Les triangles T1 et T3 semblent rectangles

Compléter le tableau

51,84

29,16

81

81

64

36

100

81

12,96

59,29

72,25

72,25

36

25

61

49

slide15

2° Énoncé de la réciproque.

Dans un triangle ABC,

si on a AB² + AC² =BC²

Alors le triangle ABC est rectangle en A

slide16

3° Exemples d’utilisation

  • Soit BUT un triangle tel que :BU = 8 cm BT = 3,9 cm et UT = 8,9 cm.
  • Le triangle BUT est-il rectangle ?

Le plus grand côté est [UT]

On calcule SEPAREMENT UT² et BU² +BT²

puis on compare

UT² = 8,9² = 79,21

On a BU² + BT² = UT²

BU² + BT² = 8² + 3,9² = 79,21

Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore,

Le triangle BUT est rectangle en B

slide17

b) Soit CAR un triangle tel que CA = 7,2cm AR = 6,5 cm et CR = 9,6 cm

Le triangle CAR est-il rectangle?

Le plus grand côté est [CR]

On calcule SEPAREMENT CR² et CA² + AR²,

puis on compare les résultats

CR² = 9,6² = 92,16

On a CA² + AR² ≠ CR²

CA² + AR² = 7,2² + 6,5 ² = 94,09

La relation du théorème de Pythagore n’est pas vérifiée,

Donc le triangle CAR n’est pas rectangle