第一章 微积分 1.1 函数

1. 第一章 微积分 1.1 函数

2. 2.1 函数 主要教学内容： • 函数的概念、分段函数 • 由已知函数产生新函数 • 函数的性态 • 其他函数举例

3. 函数的概念 映射 映射是集合间的对应关系 2.1 函数

4. 2.1 函数 函数的定义 定义：设X与Y都是R的子集合，对于X中的每个元素（即数）x,按照一个确定的规则（记作f）惟一对应着Y 的一个元素y,常记作 称f是集合X到集合Y的函数，记作 x与y分别称为自变量与因变量，y=f(x)称为函数f在x处的值。X称为定义域，记为 , f(X)={y|y=f(x),x∈X}称为函数f的值域,记为 。

5. 2.1 函数 2 分段函数 定义：若函数f定义域被分成若干区间，在各 区间上f的对应规则表达方式不同，则称f为分段函数。 例：1996年起，天津市人民政府根据国家规定与天津市的实际情况制定了个人所得税征收标准，其计算办法如下表所列。试建立每月个人应交纳的税款y与月收入x间的函数关系。

6. 2.1 函数

7. 2.1函数 解根据上表可得函数 的表达式为：

8. 2.1 函数 其定义域为 ，其图形如下图所示,是由斜率不同的9条线段与一条射线组成：

9. 2.1 函数 例 旅客行李收费规定，不超过20kg者免运费，超出20kg时，每超过1kg加收2元。试把运费P写成行李重量w的函数。 解： 上面区间也可写成 和 .

10. 2.1 函数 区间的记法： 开区间： 闭区间： ， 半开半闭区间：

11. 2.1 函数 取整函数 表示不超过x的最大整数。 如 [3.14]=3, [-3.14]=- 4。 函数表达式为：

12. 2.1 函数 取整函数 的图像： 4 3 ● ○ 2 ● ○ 1 ● ○ ● ○ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ● ○ -1 ● ○ -2 ● ○ -3 -4 ● ○

13. 2.1 函数 数列 以正整数为定义域的函数，再按照项数n的顺序排列起来。 例：1，3，5，7，9，11， . . . . . .

14. 关于斐波那契数列我们先来做一个游戏！

15. 1 2 3 5 8 13 21 34 55+ 89 ?? 十秒钟加数 • 请用十秒，计算出左边一列数的和。 时间到！ • 答案是 231。

16. 34 55 89 144 233 377 610 987 1597+ 2584 ???? 十秒钟加数 • 再来一次！ 时间到！ • 答案是 6710。

17. 这与“斐波那契数列”有关 • 若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即： 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …

18. 一、兔子问题和斐波那契数列 1． 兔子问题 1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年） (L.Fibonacci,1170-1250）

19. 兔子问题 假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？

20. 解答 1 月1 对

21. 解答 1 月 1 对 2 月 1对

22. 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对

23. 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对

24. 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对

25. 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对

26. 解答 1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对 7 月 13 对

27. 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 解答 • 可以将结果以列表形式给出： 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 • 因此，斐波那契问题的答案是 144对。 • 以上数列， 即“斐波那契数列”

28. 规律 兔子问题的另外一种提法： 第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？ 月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对。 （三点规律）

29. 2． 斐波那契数列 1） 公式 用 表示第 个月大兔子的对数，则有二阶递推公式 （ “一阶”、“二阶”）

30. 2） 斐波那契数列 令 n = 1, 2, 3,… 依次写出数列，就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，144，233，377，… 这就是斐波那契数列。其中的任一个 数，都叫斐波那契数。

31. 1 2 3 5 8 13 21 34 55+ 89 ?? “十秒钟加数”的秘密 • 数学家发现：连续10个斐波那契数之和，必定等于第7个数的 11 倍！ • 所以右式的答案是： 21  11 = 231

32. 34 55 89 144 233 377 610 987 1597+ 2584 ???? “十秒钟加数”的秘密 • 又例如： • 右式的答案是： 610  11 = 6710

33. 2.1 函数 由已知函数产生新函数 1.函数的四则运算 设 为两个函数，则有

34. 2.1 函数 例给定函数： 则有以下四个新的函数：

35. 2.1 函数 2.复合函数 定义： 给定函数 ,则 与 的复合函数是 即 ，其中 称为中间变量。 注：并非任何两个函数都能复合，只有 时才能 与 复合，若 ，为了形成复合函数，必须缩小 的定义域，使其值域相应缩小以满足上述要求。

36. 2.1 函数 • 例子 函数 显然 ，为求复合函数 的定义域，先求出 再由 ， 即 解得 ，即函数 的定义域为。

37. 2.1 函数 例2.1.6试分析函数 是由哪几个函数复合而成的，并求其定义域。 解 函数为 ， 因 故定义域为： 。

38. 2.1 函数 例2.1.8设 ，求 。 解 由于 令 ，即 ，得 将上式中的 换成 ，既得 注：上述方法称为变量代换。.

39. 2.1 函数 3 反函数 例指数函数 与对数函数 的关系: 它们的图像如下： y y =2x x O

40. 2.1 函数 定义设函数 若对每一 按对应规律 有唯一的 与之对应，反之每一 也有惟一的 使得 则称函数 是一一对应。 定义 若函数 是一一对应，则称反过来的对应为 的反函数，记作 也记为

41. 2.1 函数 注：函数与其反函数的图像关于直线 对称。 例2.1.9考虑函数 其值域是 此函数不是一一对应。 为构造反函数需要缩小定义域为 以使得其为一一对应： 得到的反函数为：

42. 2.1 函数 例子 2.1.10求 的反函数。 解 函数的定义域为 由函数 解出 改写为 写出给定函数的值域即反函数的定义域：

43. 2.1 函数 初等函数 基本初等函数（见书中列表）。 初等函数：有限个基本初等函数通过有限次四则运算或复合得到的函数。 例2.1.11求初等函数 的定义域。 解 的定义域为 的定义域为 故给定函数的定义域为交集：

44. 2.1 函数 2.1.3函数的性态 1.函数的奇偶性 定义 设函数 的定义域 关于原点对称，即 若 ，则称 为偶函数； 若 ，则称 为奇函数。 奇函数 奇函数=奇函数；偶函数 偶函数=偶函数； 奇函数 （或 ）奇函数=偶函数； 偶函数 （或 ）偶函数=偶函数； 奇函数 （或 ）偶函数＝奇函数.

45. 2.1 函数 例子2.1.12判定函数 是奇函数、偶函数、还是非奇非偶函数。 解 因 故该函数为奇函数。

46. 2.1 函数 2.函数的周期性 定义给定函数 若存在常数 ，使得 1） 2） 则称 为周期函数，满足上述条件的最小正数 称为 的周期。 例 是周期为 的周期函数， 是周期为 的周期函数。

47. 2.1 函数 例2.1.13求函数 的周期。 解 因 故此函数的周期为2. 一般的，函数 的周期为 。

48. 2.1 函数 3.函数的单调性 定义给定函数 ，设 ，若对任意两点 1）有 ，称 在 单调增加； 2）有 ，称 在 单调不减； 3）有 ，称 在 单调减少； 4）有 ，称 在 单调不增。

49. 2.1 函数 4.函数的有界性 定义给定函数 集合 若存在正数 ,使得 1）对任何 有 则称 在 有界，否则称为无界。 2）对任何 有 则称 在 有上界，否则称为无上界。 3）对任何 有 则称 在 有下界，否则称为无下界。

50. 2.1 函数 注：集合可以是闭区间 ，开区间 ，也可以是半开半闭区间 或 。 函数无界的等价定义： 函数 在集合 无界 不存在正数 满足对任何 有 对任何一个正数 至少有一个 ,不满足 对任何一个正数 存在一个 使得