Ch8 Cumulative-Sum and Exponentially Weighted Moving-Average Control Charts

1. Ch8 Cumulative-Sum and Exponentially Weighted Moving-Average Control Charts • Shewhart control chart：只用在最後畫的點關於 • process的資訊，但忽略entire sequence of points • 所透露的訊息。 • 使其對small shift（e.g. 1.5-sigma）非常insensitive。 • 加入supplemental sensitizing rules雖可提高其 • power，但都也使其不易解釋Shewhart C.C.。

2. 兩種detect small shift的有效方法： • 1. Cumulative sum control chart • 2. Exponentially weighted moving average C.C. • 舉例說明Shewhart C.C.對shift的大小（≦1.5 sigma） • 的detect是不effective。 • 見附表1及附圖。 • 對於small shift（≦1.5-sigma），可考慮cumulative- • sum control chart。

3. Page（1954）提出：Cusum（random walk with mean 0） • Cusum的C.C.對n=1時，特別effective！ • 在此章，我們著重於process mean的cusum，但亦可將之 • 推廣到Poisson、Binomial、甚至standard deviation，及 • ranges。

4. 當in control， 隨機地在0點附近fluctuate。 • 若 ，則 有向上的趨勢。 • 若 ，則 有向下的趨勢。 • 考慮前面的例子：（如附圖）

5. n=1，individual observation • 假設 為已知（或可估計） • 為“target” value • 當process drift或shifts off此target value時，cusum會 • 顯示signal，此時應試圖調整一些可操作的變數（e.g. • 加入觸媒的速度），使process back on target，或尋 • 找是否有assignable cause存在。

6. Tabular Cusum的建法： 若 或 超過H（decision interval）時，則視為out of control。其中一般取 。 見附表2

7. 假設target value ，sample size n=1 Example 1 資料見附表1，假設要detect 見附表2及附圖。

8. 當process 產生shifts 之後，我們可利用下面的 • 方式來求新process的mean，藉此可協助決定如 • 何調整manipulatable variable，以將process的 • mean調回原來的target value 。

9. Runs tests或Zone rule或其他的sensitizing rule均不適用 • 於cusum（∵並不獨立）。 • Cusum亦可視為一種weight average，其weight average • 為stochastic或random。 • e.g. Example 1中， ， • 給最後 個observations equal weight， • 給其他的observation weight zero。 • Example 1的應用。

10. 當process的shift大約為 時，取 ，h=4 or 5， • ，k=1/2，可有較好的ARL性質。 當 shift= 時，我們可選擇k，使得其out of control的ARL 最小。 • Cusum Design：決定reference value K and decision • interval H（通常是由ARL來決定）。 • 見附表3，k=1/2，h=4、5時的ARL。 • 附表4中，( h , k )使得其in control的ARL與Shewart相同，

11. 當 ，則可以上式來approximate 當 ，則可以上式來approximate • Siegmund’s approximation（1985）of the ARL for a one- • sided cusum：

12. 其中A=第一個（ ）的事件 B=第一個（ ）的事件 • ARL of the two-sided cusum：

13. （與附表3中的ARL的真值（465）十分接近） （與附表3中的ARL的真值（4.01）亦十分接近） • 其他求ARL的方法可參照課本。

14. 通常在Shewhart chart，使用n>1時，會improve • control chart的表現，然而對Cusum chart，通常 • 則以n=1的表現較佳。 e.g.n=1，每半小時取樣 n=5，每2.5小時取樣 此兩種方法若對Cusum而言，則以n=1、每半小時 取樣的效果較佳。 因而除非有充分經濟上的考量或其他明確的理由， 在使用Cusum chart時，我們偏向於採用n=1的情況。

15. The Standardized Cusum 先將variable 標準化，令 兩大優點：1. h與k的選擇將與 無關。 2. 便於造Control variability的Cusum。 • 上述建立n=1時的Cusum方法，亦可廣於n>1的情 • 況，僅須將 以 取代， 以 取代之。

16. 改進之道：在線上（on-line）採用 • combined Cusum-Shewhart procedure • 其中Shewhart control limits設為 • center line（或target value） 。 • Cusum或Shewhart的out of control signal均視為 • 一個action signal。 • Cusum chart對detect small shift是十分有效率的， • 但對large shift卻不如Shewhart chart的有效。 • 見附表5（a）、（b）。 • Fast initial Response（by Lucas & Crosier（1982）or • Headstart） • 此法是用來改進Cusum在process start-up時的sensitivity。

17. 令 及 （稱為50 percent headstart） • 1. 當process is in control，Cusum的點亦會很快的回 • 歸到零（即擺脫掉此initial effect！） • 2. 當process is out of control， Cusum的點則會較快 • 的超出H。 e.g. 附表6、附表7。

18. ※注意在附表5 column （c）的Cusum with FIR的ARL 是當process is out of control所求得。若process一開 始是 in control，則其 或 很快就會歸零，此後 若process才out of control，則其計算ARL的方法仍應 採用附表5的column （a），而非column（c）。但若 process一開始即是out of control，則其計算ARL的方 式仍是採用column （c）。 • 見附表5 column （c），採用50 percent headstart。

19. 當 （target value）是必須馬上被detect，但 • 則無所謂時，即可採用one-sided Cusum。 • 或 及 是有其不同的重要性，則可設計 • Cusum使其在upper及lower side有不同的sensitivity。

20. Cusum for Monitoring Process Variability 令 ，此統計量對variance change比 對mean change更sensitive。（事實上對兩者均sensitive）。

21. 當process是in control， approximately N(0,1) • distributed，故可以下法來建造其two-sided • standardized scale Cusum： 其中 （但若使用FIR，其值可不為零。） 若process的standard deviation減少時， 會增加且超過h。 當process的standard deviation增加時， 亦會增加且超過h。 • Scale Cusum的解釋方式與mean的Cusum相同：

22. Hawkins（1993）建議，將Scale Cusum及mean的 • Cusum畫在同一個圖上，有助於從Scale Cusum來 • detect process variability的改變能力。 • 若Scale Cusum signal，則可suspect variance發生 • 改變。 • 若mean Cusum與Scale Cusum同時發生改變，則應 • suspect mean發生改變。

23. 其中k為reference value， = 從上次觀察到的count到此次count的時間。 • 對於count data且其count rate非常低時，使用cusum特 • 別有效用（e.g. 在fraction nonconforming非常低時 • （可以ppm計）），此時可採用between events的時間 • （e.g. 偵測到不良品的經過時間），當做quality • characteristic建立time-between-events cusum來detect • count rate是否增加了，此等價於detect time between • events是否decrease了，其cusum scheme如下：

24. 另外亦可採用transformation的方法，將 先轉換 • 成approximately normal的r.v.’s，再使用建立mean • cusum的方法。 • The V-mask Procedure（skip）。

25. The Exponentially Weight Moving-Average Control Chart（EWMA） • 此法是較Shewhart control chart更具有detect small • shifts能力的control chart。 • 此法與cusum control chart是approximately equivalent。 • 通常適用於individual observation（即n=1），但亦可用 • 於n>1的情況。 • Roberts（1959）所提出。

27. 取 ，L=2.7 （計算 的值） EWMA Control Chart Example 2 Data 見附表1，i.i.d.N(0,1) 見附表9 ，及附圖。

28. 如何決定EWMA control chart的L值及 值 （使其與cusum的ARL相近） • 一般取 （通常取 ）。 • Use smaller value of to detect smaller shifts。 • 當 大時，L=3 works reasonably well。 • 當 小時（e.g. ），取2.6≦L≦2.8。 for 不同 與L的 如Example 2，取 ，L=2.7 約與h=5、k=1/2的cusum相同。 • 見附表10，

29. EWMA比Shewhart chart更易detect small shift（此與 • cusum的性質相同），但對large shift則不然（i.e. 較 • Shewhart慢），可是對large shifts，EWMA又比cusum • 快detect shift（特別是當 ）。 • 可利用EWMA與Shewhart chart的combination，既可保 • 留detect small shift的優點，又可改進detect large shift的 • 能力（稱為Shewhart-EWMA control procedure）。 • 此時Shewhart chart取 ，亦可以將 • 與EWMA中的 畫在同一個control chart（採用不同 • symbols 或colors）。 • 當n>1時，EWMA的應用僅須將 改為 即可。 • EWMA十分robust ，見課本p.433 Table8-11 。

30. EWMA的推廣 • 當 大時， ，且若 是獨立時， • 其中 • EWMS（Exponentially Weighted Mean Square Error）

31. 由於EWMS對process mean及standard deviation均 • sensitive，故MacGregor & Harris（1993）建議將 以 • EWMA中的 取代之，而得到下面的EWMV • （exponentially weighted moving variance）： • 若欲monitor process的standard deviation可採用下面的 • EWRMS（exponentially weighted root mean square）

32. 從SPC的觀點，EWMA在monitor process及detect • assignable causes的能力，大約與cusum相同。然而從另 • 一個角度來看，EWMA更對process的mean提供一個預 • 測的值（forecast），因為 實為在時間（i+1）時對 • process mean的預測值。 • 若在computer-integrated manufacturing的過程中以 • sensor來測量每一個製造成品，此時能提供對process • mean的預測值，有助於提早矯正機器，使process mean • 回歸target value，但需注意的是不可太常矯正，否則將 • 造成process的variability變大。

33. Proportional adjustment Integral adjustment Differential adjustment • 由於EWMA的 為對時間i+1的預測值，故在control • chart上，我們將 對i+1畫圖。 • 以下介紹數個modify EWMA的方法，以提高其預測 • process mean的能力：

34. Moving Average Control Chart： w與shift的大小約成反比，即欲偵測small shift， 則採用longer-span moving average。

35. Example 3 Data 見附表1， w=5 見附表11 ，及附圖。 • Moving average彼此是highly correlated，故不適用runs • 等法則。 • Moving average C. C. 較Shewhart chart易detect small • shift，但通常又比cusum或EWMA detect small shift的能 • 力差，其優點是簡單、方便使用。