三重积分的概念化三重积分为累次积分三重积分换元法

§5 三重积分 • 三重积分的概念 • 化三重积分为累次积分 • 三重积分换元法

一、三重积分的概念 问题的提出设空间立体 V的密度函数为 f ( x, y, z ) 求立体 V的质量 M 为了求 V的质量，仍采用：分割、近似代替、求和、取极限四个步骤. 首先把 V分成 n个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi的体积记为

其次在每个小块Vi上任取一点 则Vi的质量然后对每个小块Vi的质量求和：最后，取极限其中

定义 1 设 f ( x, y, z ) 为定义在三维空间可求体积的有界区域 V上的有界函数, 把 V任意地分成 n个小区域 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi的体积记为记在每个小块Vi上任取一点若极限存在，则称 f ( x, y, z ) 在 V上可积，并称此极限为 f ( x, y, z ) 在 V上的三重积分，记为或

三重积分具有与二重积分相似可积条件和有关的性质.三重积分具有与二重积分相似可积条件和有关的性质. 例如 V的体积

二、化三重积分为累次积分 设 f ( x, y, z ) 在长方体上连续，则

设则

例.计算 其中V为三个坐标面及平面所围成的闭区域 . 解

计算例1 其中 V为由平面 x = 1, x = 2, z = 0 y = x, z = y所围的区域. 解

若 V可以表示为： 则三重积分可采用先在区域 Dz上计算二重积分，再计算一个定积分的方法来计算

例. 计算 其中 V是椭球体解:

计算例3 其中 V是椭球体解

三、三重积分换元法

1、柱面坐标变换 坐标面分别为圆柱面半平面垂直于轴 z的平面

其中 V为由 例. 计算柱面及平面所围成半圆柱体. 解:作柱面坐标变换

球面半平面锥面 2. 球坐标变换坐标面分别为

例. 计算 其中 V为锥面所围立体. 与球面在球面坐标系下解

例. 计算 其中 V为锥面所围立体. 与平面解

若平面区域 D关于 x轴对称，则下列积分的值为零若平面区域 D关于 y轴对称，则下列积分的值为零例如，若 D是以原点为圆心的圆，则进一步，对于变量的奇、偶函数，可得到与定积分类似的性质.

若空间区域 V关于 xy平面对称，则有： 若空间区域 V关于 xz平面对称，则有：若空间区域 V关于 yz平面对称，则有：例如，若 V是以原点为球心的球体，则

立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 • 占有空间有界域 V的立体的体积为

例4 求由圆锥体 和球体所确定的立体体积，其中解立体的体积为

例5 求 与其中 V为由所确定的区域. 解作广义球坐标变换于是

三重积分的概念 化三重积分为累次积分 三重积分换元法