第五章 不定积分

1. 第五章 不定积分

2. 引 言 积分学分为不定积分与定积分两部分．不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系．

3. 本章主要研究不定积分的概念、性质及基本积分方法，主要有凑微分法，变量置换法，以及分部积分法.本章主要研究不定积分的概念、性质及基本积分方法，主要有凑微分法，变量置换法，以及分部积分法.

4. 本章主要内容： 第一节 原函数与不定积分 第二节 凑微分法 第三节 变量置换法 第四节 分部积分法

5. 第一节 原函数与不定积分 5.1.1 不定积分的概念 5.1.2 不定积分的基本公式和 运算法则

6. 问题提出 5.1.1 不定积分的概念 在小学和中学我们学过逆运算： 如：加法的逆运算为减法 乘法的逆运算为除法 指数的逆运算为对数

7. 微分法: 互逆运算 积分法: 设已知 反问题呢？ 设已知

8. 定义　 若在某一区间上，F′(x) ＝ f(x) ， 则在这个区间上，函数F（x）叫做函数 f(x)的一个原函数（primitive function）

9. 一个函数的原函数并不是唯一的， 而是有无穷多个．比如， (sinx)′＝ cosx 所以 sinx 是 cosx 的一个原函数， 而sinx ＋ C （C 可以取任意多的常数）是 cosx 的无穷多个原函数．

10. 一般的，若F′(x)＝f(x),F(x)是f(x) 的一个原函数，则等式 [F(x)+ C]′＝ F′(x)＝ f(x) 成立（其中 C 为任意常数），从而一簇 曲线方程 F(x) ＋ C 是f(x)无穷多个原函数．

11. 问题提出 如果一个函数f(x)在一个区间有一个 原函数F(x) ，那么f(x)就有无穷多个 原函数存在，无穷多个原函数是否都有 一致的表达式 F(x)＋ C呢？

12. 定理 若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都可以表示成 F(x)＋ C （C为任意常数）． 思考：如何证明？

13. x 称为积分变量 C 称为积分常数 f(x)称为被积函数， f(x)dx 称为被积表达式 定义 若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f(x)的所有原函数 F(x)＋ C 称为f(x)的 不定积分（indefinite integral）,记为 ∫ f（x）dx ＝ F（x） ＋ C 其中∫ 称为积分号，

14. 二、不定积分的几何意义 由于函数f(x)的不定积分F(x)＋C 中含有 任意常数C ，因此对于每一个给定的C ，都有 一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一 条确定的曲线，称为f(x)的积分曲线． 因为C 可以取任意值，因此不定积分表示 f(x)的一簇积分曲线，即 F(x) ＋ C．

15. 二、不定积分的几何意义 因为F′(x)＝f(x) ，这说明，在积分曲线 簇的每一条曲线中，对应于同一个横坐标x＝x０ 点处有相同的斜率f(x０)，所以对应于这些点处， 它们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐标之 间相差一个常数．因此，积分曲线簇y＝ F(x)＋C 中每一条曲线都可以由曲线y＝F(x)沿y 轴方向 上、下移动而得到

16. 二、不定积分的几何意义

17. 5.1.2 　不定积分的基本公式和运算法则 一、不定积分的基本公式 由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算．因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式．

18. 基本积分表

21. 关于不定积分，还有如下等式成立： １ ［∫f(x)dx］′＝ f(x) 或d∫f(x)dx ＝ f(x)dx • ∫F′(x)dx ＝ F(x) ＋ C • 或 ∫dF(x) ＝ F(x) ＋ C

22. 二、不定积分的运算法则 １ 不为零的常数因子，可移动到积分号前 ∫af(x)dx ＝ a∫f(x)dx　（a≠０） ２ 两个函数的代数和的积分等于函数积分的 代数和 ∫[f(x)±g(x)］dx＝f(x)dx±∫g(x)dx

23. 小结: 本节给出了不定积分的定义、几何意义和基本公式及运算法则。

24. 练习

25. 课堂思考 成立吗 乘法 除法呢 不对，例如

26. 利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。以下几节介绍几个常用积分法.利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。以下几节介绍几个常用积分法.

27. 第二节 　凑微分法 有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来.

28. 例如 想到基本积分公式 若令u＝４x，把４x看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来

29. u=2x 例

30. 微分法凑 设 有原函数 则有换元公式

31. 例 　求 解：原式=

32. 例 　求 解：原式=

33. 例 　求 解：原式=

34. 类似可得

35. 第三节 变量置换法 凑微分的方法，是把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式，但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换 x＝φ(t)，而积分 ∫f(x)dx＝∫f［φ(t)］φ′(t)dt 可用基本积分公式求解

36. 定理　设f(x)连续，x＝φ(t)是单调可导的连续函数，且其导数φ′(t)≠０，x＝φ(t)的反函数t＝φ-1(x)存在且可导，并且 ∫f[φ(t)]φ′(t)dt＝F(t)＋ C 则 ∫f(x)dx ＝ F[φ-1(x)]＋ C

37. 例 求 解: 令 则 ∴原式

38. 例 求 解:令 则 ∴ 原式

39. 例 求 解: 令 则 ∴ 原式

40. 于是 令

41. 小结： 被积函数含有 时, 或 可采用三角代换消去根式

42. 第四节 分部积分法 如果u＝u(x)与v＝v(x)都有连续的导数，则由函数乘积的微分公式 d(uv)＝vdu＋udv 移项得 udv＝d(uv)－vdu 从而 ∫udv＝uv－∫vdu 或∫udv＝uv－∫vu′dx 　　这个公式叫作分部积分公式，当积分∫udv 不易计算，而积分∫vdu 比较容易计算时，就可以使用这个公式．

43. 在计算方法熟练后， 分部积分法的替换过程可以省略 例 求 解: 令 则 ∴ 原式

44. 例 求不定积分 解：原式

45. 例 求 解：原式

46. 思考：如何求 例 求 解:原式=

47. 小结: 分部积分法主要解决被积函数是两类不同类型的函数乘积形式的一类积分问题，例如这些形式： ∫P(x)eax dx ∫P(x)lnmxdx ∫P(x)cosmxdx ∫P(x)sinmxdx ∫sinmxeaxdx …… 其中m 为正整数，a 为常数，P（x）为多项式 正确选取u(x)，v(x)，会使不定积分 ∫v(x)du(x)＝∫v(x)u′(x)dx 变得更加简单易求。

48. 第五节 经济应用举例 这一节主要介绍不定积分在经济学中的应用，即已知边际函数，求总经济量函数。 5.5.1已知总产量的变化率，求总产量函数 已知某产品总产量关于时间的变化率为 即 则该产品的总产量为：

49. 例 某产品总产量的变化率是时间的函数： 求总产量函数。

50. 解：因为总产量函数是总产量变化率的原函数，所以解：因为总产量函数是总产量变化率的原函数，所以 总产量 因为当时间 时， 所以 于是总产量函数为