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梯 形

梯 形. 主讲教师：董小伦. 一、主要知识点和应用： 1. 梯形的分类：. 两组对边 平行. 平行四边形. 四边形. 有一个角 是直角. 直角梯形. 有且仅有 一组对边平行. 梯形. 两腰相等. 等腰梯形. 2. 等腰梯形的性质： 角：同一底上的两个角相等 . 边：两底平行，两腰相等 . 对角线：两条对角线相等 . 对称性：是轴对称图形 . 3. 等腰梯形的判定： （ 1 ）使用定义判定 . （ 2 ）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 . 4. 梯形的面积公式：. A. D. B. C.

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  1. 梯 形 主讲教师：董小伦

  2. 一、主要知识点和应用： 1. 梯形的分类： 两组对边 平行 平行四边形 四边形 有一个角 是直角 直角梯形 有且仅有 一组对边平行 梯形 两腰相等 等腰梯形

  3. 2. 等腰梯形的性质： 角：同一底上的两个角相等. 边：两底平行，两腰相等. 对角线：两条对角线相等. 对称性：是轴对称图形. 3. 等腰梯形的判定： （1）使用定义判定. （2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 4. 梯形的面积公式： A D B C

  4. 例1. 已知等腰梯形的锐角等于60o，它的两底分别为14cm和24cm， 则它的腰长为 cm. 提示： 10 E D C D C D C 1 A B A B A B E E F 延长AD、BC交于E, △ABE是等边三角形. AE=AB=24, △DCE是等边三角形. DE=CD=14, AD=BC=10（cm）. 作DE//BC交AB于E, 四边形DEBC是平行四边形. AE=AB－BE=10. △AED是等边三角形. ∴AD=BC=10（cm）. 作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F, △ADE≌△BCF. AE=BF= (AB－CD)=5, ∠1=30o， ∴AD=BC=10（cm）.

  5. A D 例2. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC， AB=CD.E在CB延长线上，且EB=AD. 求证：∠E=∠ACB. 证明：∵梯形ABCD中，AB=CD. ∴∠D=∠DAB. ∵AD//BC，∴∠DAB=∠ABE. 又∵AB=CD，EB=AD. ∴△ABE≌△CDA(SAS). ∴∠E=∠DAC. ∵AD//CE, ∴ ∠DAC=∠ACB. ∴∠E=∠ACB. E B C

  6. 例3. 已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC， AB=AD+BC，E是CD的中点. 求证：（1）AE⊥BE. （2）AE平分∠DAB. 证明：（1）延长AE交BC延长线于F， ∵AD//BC，∴∠1=∠F，∠2=∠3. ∵E是CD中点，∴DE=CE. ∴△AED≌△FEC. ∴AE=EF，AD=CF. ∵AB=AD+BC，即AB=BF. ∴AE⊥BE. （2）∵AB=BF，∴∠4=∠F，∴∠1=∠4. 即AE平分∠DAB. A D 1 2 4 E 3 B C F

  7. 二、巩固和提高： 例4. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o， BD=AB，M为BC中点，MN//AD. 求证： 证明：连AM. ∵∠BAC=90o，M为BC的中点， ∴AM= BC. (?) ∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA. 又∵MN//AD，∴四边形ANMD是等腰梯形.（在同一底上的两个角 相等的梯形是等腰梯形） ∴AM=DN.（等腰梯形的两条对角线相等） 即DN= BC. C D M N A B

  8. D A 1 例5. 已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，AD=1. BC=4，对角线BD=3，AC=4. 求：梯形的面积. 解： 作DF⊥BC于F. 作DE//AC交BC延长线于E， ∵AD//BE，AC//DE，∴ACED为平行四边形. ∴AD=CE，AC=DE. 在△BDE中，BD=3，DE=4，BE=4+1=5. ∵52=32+42，∴BE2=BD2+DE2. ∴△BDE是直角三角形. ∴ （可由：S△ADB=S△CED. S梯=S△BDE= ） 4 3 1 B E F C 4

  9. 三、梯形中常添加的辅助线： A D 1. 过一顶点在梯形内作一腰的平行线，得到一平行四边形和一个三角形，其中CE= . BC－AD B E C A D 过一顶点在梯形外作一对角线的平行线，得到一平行四边形和一个三角形，其中△DBE的三边分别等于 . 2. 两对角线的长及 两底和的长 B C E

  10. A D B E F C 3. 过同一底上的两顶点作高，得到一矩形和两个直角三角形.若是等腰梯形， 则 . E 4. 延长两腰交于一点，构成一个三角形， ∠EAD= ，∠EDA= . A D ∠B ∠C C B

  11. A D E B C 5. 取一腰中点E，连接AE并延长与BC延长线交于F，△ADE≌ ，BF= . △FCE AD+BC F G A D 过中点E，作GF//AB交BC于F，交AD延长线于G，△DGE≌ ，四边形ABFG是 . △CFE E 平行四边形 B F C

  12. A D A D E B C B E F C A D A D 1. 2. B E C B C E E 4. 3. A D C B 5. G A D E F B F C

  13. A D 例6. 已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC， AB=CD，AC⊥BD，AC=a. 求：S梯ABCD. 提示：作DE//AC交BC延长线于E. 可得△ADB≌△CED. S梯=S△BDE= B C E

  14. A D N 例7. 已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC. E为CD的中点，EF⊥AB于F. 求证：S梯ABCD=AB×EF. 提示：过E作MN//AB交BC于M， 交AD延长线于N. 可得△DNE≌△CME. S梯=S ABMN=AB×EF. F E G B M C

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