Dai dati sperimentali alle relazioni matematiche

1. Dai dati sperimentali alle relazioni matematiche Consideriamo una tabella con i risultati delle misure di due grandezze fisiche Tra le quali vogliamo stabilire l’esistenza di un legame matematico: Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se il rapporto fra le loro misure corrispondentiè costante; Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se il prodotto fra le loromisure corrispondenti è costante Le grandezze in tabella sono direttamente proporzionali? Ma siamo sicuri che la nostra eventuale risposta affermativa sia la più corretta tra le molte possibilità offerte dalla matematica?

2. Proporzionalità diretta ed inversa, loro grafici Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante; Due grandezze si dicono inversamente proporzionali in se il loro prodotto è costante;

3. La notazione sintetica per le proporzionalità diretta inversa

4. Quale relazione? E come definirne le caratteristiche? I dati della tabella si possono pensare legati da una proporzionalità diretta? E se sì, come calcolare la costante di proporzionalità? Calcoliamo il rapporto tra le due grandezze Y e X e vediamo come si comporta: Dobbiamo trovare la risposta ad una domanda fondamentale: La differenza fra i cinque rapporti Y/X è significativa o è dovuta alla presenza degli errori casuali che rendono la misura non un numero ma un intervallo? In altre parole: i numeri che rappresentano i rapporti non sono uguali perché la legge che collega Y a X non è una proporzionalità diretta o perché la legge è una proporzionalità diretta ma vi sono delle inevitabili “piccole” diversità?

5. Un metodo elementare per decidere la relazione matematica tra i dati (tra quelle note) Consideriamo i dati della precedente tabella e supponiamo che la relazione sia una proporzionalità diretta quadratica o cubica, vale a dire che sia: Oppure consideriamo i dati della precedente tabella e supponiamo che la relazione sia una proporzionalità diretta quadratica o cubica della y rispetto la x, vale a dire che sia: Prepariamo le tabelle in un foglio elettronico con i rapporti mostrati nelle formule ed esaminiamoli attentamente:

6. Un metodo elementare per decidere la relazione matematica tra i dati (tra quelle note)

7. Un metodo elementare per decidere la relazione matematica tra i dati (tra quelle note)

8. L’analisi delle precedente tabelle mostra che: solo in corrispondenza della colonna y/x si ottengono valori molto vicini fra loro; solo in corrispondenza della colonna y/x i valori oscillano attorno ad un valore medio e non sono in continuo aumento, come nella colonna y2/x, o in continua diminuzione come nella colonna y/x2; le osservazioni del punto precedente si applicano anche al caso della proporzionalità inversa, osservare la tabella. Un metodo elementare per decidere la relazione matematica tra i dati (tra quelle note)

9. ESERCIZIO Qual è la relazione? (i dati della tabella provengono da un reale esperimento) Esercizio: procurarsi i dati relativi alla distanza media dei pianeti dal Sole e i relativi periodi di rivoluzione (espressi in anni), quale relazione susssiste fra queste due grandezze fisiche? La relazione costituisce la terza legge di J. Kepler (Keplero)

10. Le rette interpolatrici Decidiamo che la relazione sia una proporzionalità diretta; Qual è la costante di proporzionalità, visto che i 5 numeri, diciamoli k1, k2, k3, k4, k5 sono leggermente diversi? Rappresentiamo graficamente i dati della diapositiva 6: Non vi è una retta che passa per tutti i punti, se vi fosse i 5 numeri k sarebbero tutti uguali. Si definisce retta interpolatrice una retta che passa tra i punti del grafico, detti poli.

11. Rette interpolatrici Quante rette interpolatrici vi sono? Rappresentiamo i dati sperimentali come veramente sono, non coppie di numeri ma coppie di intervalli, quindi segmenti centrati sul valore medio: Le interpolatrici sono in numero infinito e possono passare in modo arbitrario tra i dati:

12. Rette interpolatrici e retta interpolatrice ai minimi quadrati Ci serve un criterio per determinare una retta tra tutte le possibili

13. La retta dei minimi quadrati Il criterio è quello dei minimi quadrati. Vediamo in cosa consiste: La retta interpolatrice ai minimi quadrati è quella che rende minima la somma dei quadrati delle distanze dei punti sperimentali da essa.

14. Come si determina la retta dei minimi quadrati • Nelle prossime diapositive vedremo le formule matematiche per i due • casi possibili che corrispondono a rette passanti per l’origine • e a rette non passanti per l’origine: • proporzionalità diretta • dipendenza lineare

15. Caso delle grandezze direttamente proporzionali Cerchiamo il valore della m nella y = m x. Si dimostra che si ha: Dove e sono i valori misurati in laboratorio.

16. Caso della dipendenza lineare La matematica dimostra che: Rimane aperta la questione di come decidere che la migliore legge che esprime la relazione tra i dati sperimentali è una proporzionalità diretta. A tal proposito si ha a disposizione un parametro, che si calcola a partire dai dati sperimentali, detto coefficiente R di Pearson, che misura il grado di attendibilità della relazione cercata.

17. Il coefficiente R di Pearson • Si dimostra che se tale coefficiente vale: • R=1 si ha una relazione di proporzionalità diretta perfetta tra x e y con costante • di proporzionalità positiva; • R=0 non vi è alcuna relazione tra x e y riconducibile ad una relazione lineare; • R=-1 si ha una relazione lineare perfetta con costante di proporzionalità • negativa; L’espressione matematica di R è la seguente:

18. Con una opportuna manipolazione matematica è possibile ricondurre tutte le altre relazioni esaminate ad una proporzionalità diretta, analizzarne e calcolarne i parametri e quindi ritornare alla relazione matematica originale che resta così determinata. Vedremo in seguito un esempio con trattazione matematica ora eseguiremo invece una trattazione grafica semplificata. Perché è importante la proporzionalità diretta?