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圆的方程

圆的方程. [ 学习内容 ] 一、圆的定义 : 平面内与定点的距离等于定长的点的集合（或轨迹）是圆，定点是圆心，定长就是半径。 二、圆的方程 1 ．圆的标准方程： (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 。圆心（ a,b ） , 半径为 r, 圆的标准方程突出了圆心和半径。. 2 ．圆的一般方程： x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0(D 2 +E 2 -4F>0) 圆心（ 半径 r= 圆的一般方程反应了圆方程形式的特点：缺 x 、 y 项。 x 2 、 y 2 项系数相等且不为 0 ）

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Presentation Transcript

  1. 圆的方程

  2. [学习内容] 一、圆的定义:平面内与定点的距离等于定长的点的集合（或轨迹）是圆，定点是圆心，定长就是半径。 二、圆的方程 1．圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2。圆心（a,b）,半径为r, 圆的标准方程突出了圆心和半径。

  3. 2．圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 圆心（ 半径r= 圆的一般方程反应了圆方程形式的特点：缺x、y项。 x2、y2项系数相等且不为0） 一般地：方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 A=C≠0 B=0 D2+E2-4AF>0 3．圆的参数方程 x=x0+rcosθ y=y0+rsinθ（θ为参数）

  4. 三、点P(x0,y0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(或(x-a)2+(y-b)2=r2)的关系三、点P(x0,y0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(或(x-a)2+(y-b)2=r2)的关系 点P在圆上 x02+y02+Dx0+Ey0+F=0(或(x0-a)2+(y0-b)2=r2) 点P在圆内 x02+y02+Dx0+Ey0+F<0(或(x0-a)2+(y0-b)2<r2) 点P在圆外 x02+y02+Dx0+Ey0+F>0(或(x0-a)2+(y0-b)2>r2)

  5. A B r d 四、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的位置关系及判定方法（设d为圆心导直线的距离） ①直线和圆相交 d<r（或△>0） ②直线和圆相切 d=r（或△=0） ③直线和圆相离 d>r（或△<0） 2．直线和圆相交被截得的 弦长问题。利用

  6. y (x0,y0) (a,b) O x 3．直线和圆相切 切线问题 ⑴过圆上一点求切线方程的方法（只有1条） ①当切线斜率存在时 利用点斜式求切线方程 ②当k不存在时，切线x=x0

  7. ⑵过圆外一点P(x0,y0)的切线（2条），求切线方法有两个⑵过圆外一点P(x0,y0)的切线（2条），求切线方法有两个 ①设切线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)，利用圆心到直线的距离=r，求k。 ②设切线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)与圆方程联立，利用△=0，求k。 （若只求出一个k，说明另一条直线的斜率不存在）

  8. y P(x0,y0) A C B P1 C P2 l ⑶求过切点A、B的弦所在的直线方程 写过ACBP的圆的方程，再求出它与已知圆的公共弦所在的直线方程，即为所求。 4．直线和圆相离 如何求圆上的点到直线的最近距离、最远距离 如图：过圆心C作L的垂线分别交圆于P1、P2，则P1、P2到L的距离分别为最远距离、最近距离

  9. 五、圆与圆的位置关系 设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R、r,则 1. d=R+r 外切 2. d=|R-r| 内切 3. d>R+r 外离 4. d<|R-r| 内含 5. |R-r|<d<R+r 相交

  10. 六、圆系方程 1. 过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程： x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)。当(λ≠-1)时，表示两圆的公共弦所在的直线方程。 2. 过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l:Ax+By+C=0的交点的圆的方程：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

  11. [学习要求] 1．掌握圆的方程及直线和圆的位置关系。 2．学会求圆的方程的方法及判断直线和圆的位置关系的方法及求圆切线的方法 。

  12. [学习指导] 1．本讲重点：圆的方程及直线和圆的位置关系，求圆的切线方程。 2．本讲难点：求圆的切线方程，用待定系数法求圆方程。 3．剖析：加深对概念的理解，才能灵活运用知识解决问题。

  13. [典型例题解析] 例1：求下列圆的方程 ⑴与y轴相切，被直线y=x截得的弦长为 ，圆心在x-3y=0上 ⑵经过P(-2,4),Q(3,-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6 ⑶圆心在x-y-4=0上，并且经过两圆C1: x2+y2-4x-3=0和C2: x2+y2-4y-3=0的交点 ⑷过A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆 ⑸与x轴相切于点A(3,0),并且在y轴上截得的弦长为6 ⑹过直线3x-4y-7=0和圆(x-2)2+(y+1)2=4的交点且过点(1,2)的圆的方程

  14. y B C O/ O x 解:⑴∵圆心在x-3y=0上, ∴设所求圆的圆心O′(3a,a)， ∵圆O′到直线y=x的距离 ,设C为弦中点RtΔO′BC中, ∵ ∴a=±1 ∴圆心O′(3,1)或 O′(-3,-1) r=3 ∴所求圆的方程为 (x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9

  15. ⑵设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心 半径 ,由题意: 即D2-4F=36 (1) 又∵P(-2,4),Q(3,-1)在圆上 ∴2D-4E-F=0(2) 3D-E+F=-10(3) 由⑴、(2) 、(3)联立得 D=-2 D=-6 E=-4 或 E=8 F=-8 F=0 ∴所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0

  16. ⑶设所求圆的方程为x2+y2-4x-3+λ(x2+y2-4x-3)=0 即(1+λ)x2+(1+λ)y2-4x-4λy-3(1+λ)=0(λ≠-1) ① ∴圆心 ∵圆心在直线x-y-4=0上 ∴∴ 代入①式得 所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0

  17. ⑷设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 由已知 4+4+2D+2E+F=0 D=-6 25+9+5D+3E+F=0 ∴ E=2 9+1+3D-E+F=0 F=-3 ∴所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0

  18. ⑸设圆心(3,b),则圆的方程为(x-3)2+(y-b)2=b2由b2=32+32=18 ∴ ⑹设所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2-4+λ(3x+4y-7)=0 将(1,2)代入得∴所求圆的方程为

  19. 例2:过圆O:x2+y2=13外一点P(-4,7),作⊙O的切线PA、PB，A、B是切点。求(1)PA、PB的方程 ⑵AB的方程。 解：⑴设所求切线的方程为y-7=k(x+4)，则 或k=-18 ∴所求切线的方程为2x+3y-13=0或18x+y+65=0 ⑵OP的中点M为 ∴以M为圆心、 为半径的圆 它与⊙O的公共弦，即AB的方程为4x-7y+13=0

  20. y P Q x O 例3：若圆x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两交点为P、Q,满足OP⊥OQ(O为原点)。求C值。 解：设P(x1,y1) 、Q(x2,y2) ∵OP⊥OQ ∴ ∴y1y2+x1x2=0①

  21. 由 x2+y2+x-6y+c=0得5y2+20y+12+c=0 ② x+2y-3=0 ∴y1+y2=4 代入①式得： ∴c=3代入②得 y2-4y+3=0 △=16-12＞0 ∴c=3

  22. 例4:若实数对(x,y)满足方程(x-3)2+(y-2)2=2 求 ⑴ 的最小值 ⑵ 的最小值 ⑶2x-y的范围 ⑷A(-1,0),B(1,0) 求P(x,y)使|AP|2+|BP|2取最小值 ⑸求P(x,y)到直线x+y+1=0的最大值与最小值

  23. 解: ⑴设 即y=kx 由得 即 最小值为 ⑵设 即y+2=k(x-1) 即kx-y-k-2=0由 得k2-8k+7≤0 ∴1≤k≤7 ∴kmin=1即

  24. ⑶(方法一)设2x-y=t 即2x-y-t=0 由 得 (方法二)令 则

  25. ⑷(方法一)令 ∴|AP|2+|BP|2的最小值为

  26. (方法二) |AP|2+|BP|2=2(x2+y2)+2 x2+y2=|PO|2 ∴|PO|2=x2+y2的最小值为 ∴|AP|2+|BP|2的最小值为

  27. y x C2 C1 P 例5:求两圆x2+y2+2x+6y+9=0，x2+y2-6x+2y+1=0的外公切线及内公切线方程. 解: 设外公切线的交点为P(x0,y0) P分c1c2得比为λ 圆x2+y2+2x+6y+9=0的圆心c1(-1,-3) 圆x2+y2-6x+2y+1=0 的圆心c2(3,-1) 半径分别为r1=1，r2=3

  28. ∴P(-3,-4) 设外公切线的方程为y+4=k(x+3) 即kx-y+3k-4=0 ∴外公切线的方程为y+4=0或4x-3y=0

  29. 设内公切线的交点M(x0,y0)则 ，设内公切线方程为 即2kx-2y+5=0 ∴ ∴内公切线方程为3x+4y+10=0或x=0

  30. y P0 P A x O 例6：圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2)，AB为过点P0的弦 ⑴当AB被点P0平分时，写出直线AB方程。 ⑵过P0的弦的中点轨迹方程。 ⑶斜率为2的一组平行 弦的中点轨迹方程 。 解：⑴由已知：OP0⊥AB ∴AB的方程为 即：x-2y+5=0 B

  31. ⑵（方法一）设AB中点为P(x,y)， 即 ① 当x=0时，P(0,2)也满足①式 当x=-1时，P(-1,0)满足①式 综上，所求轨迹方程为

  32. （方法二）∵OP⊥AB ∴P的轨迹是以|OP0|为直径的圆，圆心为OP0的中点 半径为 ∴所求P的轨迹为 ⑶设平行弦中点P(x,y)，则KOP·2=-1 即x+2y=0 当x=0时，P(0,0)也满足上式。 ∴平行弦中点轨迹为x+2y=0（在已知圆内部）

  33. y x O 例7：已知直线y=-x+m与曲线 有两个不同的交点，求m的取值范围。 解： 表示圆(x+1)2+y2=1(y≥0)在x轴上方部分，y=-x+m表示斜率为-1的平行线,如图 当直线与半圆相切时, 当直线过A(-1,-1),m=0

  34. 谢谢

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