Planimetria

1. Planimetria (geometria v rovine) Autor: Gabriel Kalafut Trieda: 3.A

2. Obsah 1. Zhodnosť útvarov, vety o zhodnosti 2. Podobnosť, vety o podobnosti 3. Euklidove vety 4. Uhly 5. Osová, stredová súmernosť 7. Otočenie, posunutie 8. Rovnoľahlosť 9. Príklady

3. 1. Zhodnosť útvarov, vety o zhodnosti Zhodnosť útvarov:Dva útvary sú zhodné, ak zodpovedajúce si časti sú rovnako veľké. Vety o zhodnosti trojuholníkov:Môže to byť podľa vety sss, sus, usu alebo Ssu. sss: Dva trojuholníky sú zhodné, ak sa zhodujú vo všetkých troch stranách. sus: Dva trojuholníky sú zhodné, ak sa zhodujú v dvoch stranách a uhle nimi zovretom. usu: Dva trojuholníky sú zhodné, ak sa zhodujú v strane a uhloch k nej priľahlých. Ssu: Dva trojuholníky sú zhodné, ak sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle oproti dlhšej strane.

4. Trojuholníková nerovnosť:Umožňuje zistiť, či sa dá trojuholník zostrojiť. a + b > c alebo: nech a > b > c a + c > b potom stačí overiť: b + c > a b – c < a < b + c Zhodnosť trojuholníkov: Dva trojuholníky sa nazývajú zhodné trojuholníky, ak majú všetky tri strany aj uhly zhodné. Dva trojuholníky ABC a A´B´C´ sú zhodné, ak platí: AB = A´B´; BC = B´C´; CA = C´A´; γ = γ´; α = α´; β = β´

6. 2. Podobnosť, vety o podobnosti Podobnosť útvarov:Dva útvary sú podobné, ak po vhodnom zväčšení (zmenšení) jedného z nich budú zhodné. Ak sú dva útvary podobné, tak sú dĺžky ich odpovedajúcich si častí (úsečiek) v rovnakom pomere. Tento pomer voláme pomerom podobnosti. ∆ABC~∆A1B1C1 |A1B1 | = |B1C1| = |C1A1| |AB||BC||CA| Ak pomer podobnosti > 1 ... zväčšenie Ak pomer podobnosti < 1 ... zmenšenie Ak pomer podobnosti = 1 ... zhodné útvary

7. Vety o podobnosti • Ak a:a1= b:b1= c:c1 (ak ∆ABC, ∆ A1B1C1 majú rovnaké pomery strán), tak ∆ABC~∆ A1B1C1 (∆ABC~∆ A1B1C1 sú podobné). • Ak a:a1= b:b1= γ:γ1 (ak ∆ABC, ∆ A1B1C1 majú rovnaký pomer dvoch strán a zhodujú sa v nimi zovretom uhle), tak ∆ABC, ∆ A1B1C1 sú podobné. • Ak α:α1a β:β1 (ak ∆ABC, ∆ A1B1C1 sa zhodujú v dvoch uhloch), tak ∆ABC a ∆ A1B1C1 sú podobné. • Ak a:b=a1:b1, α=α1, kde a>b (∆ABC, ∆ A1B1C1 majú rovnaký pomer dvoch strán a zhodujú sa v uhle oproti väčšej z nich), tak ∆ABC a ∆ A1B1C1 sú podobné. α=α1 β=β1 γ=γ1 Veľkosti odpovedajúcich si uhlov dvoch podobných útvarov sú rovnaké.

10. 3. Euklidove vety - ako Euklidove vety sa označujú dve matematické vety týkajúce sa pravouhlého trojuholníka. Euklidova veta o výške:Obsahštvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžníka zostrojeného z úsekov prepony. Euklidova veta o odvesne: Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžníka zostrojeného z prepony a priľahlého úseku.

12. Pytagorova veta: je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Formulácia Pytagorovej vety:Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami. c2= a2 + b2 a2= c.ca b2= c.cb a2+b2= c.ca+ c.cb a2+b2= c.(ca+cb) a2+b2= c2 (ca+cb)= c Použitie Euklidovej vety s Pytagorovou.

15. 4. Uhly Susedné: Vrcholové:

16. Súhlasné: Striedavé:

17. Uhly v mnohouholníkoch Konvexný n-uholník: Pre všetky body AB platí, že celá úsečka AB leží vnútri n-uholníka. A B Nekonvexný n-uholník: Existuje taká dvojica A1B1, že úsečka A1B1 leží mimo n-uholníka. A1 B1

18. 5. Osová, stredová súmernosť • Definícia osovej súmernosti: Osová súmernosť je zhodné zobrazenie v rovine, pre ktoré platí→ • Ak bod A leží na o, obraz A1 tiež leží na o • Ak A nepatrí o, tak AA1 je kolmé na o, a zároveň |A,o| = |A1,o| • (o= os) Bod, ktorý sa zobrazí sám na sebe, sa nazýva samodružný bod. Útvar, ktorý sa zobrazí sám na seba, sa nazýva samodružný útvar. • Osová súmernosť je určená jednoznačne: • Osou súmernosti. • Dvojicou bodov (vzor, obraz).

20. Definícia stredovej súmernosti: Stredová súmernosť je zhodné zobrazenie, ktoré každému bodu A, ktorý sa nerovná S, priradí obraz A1 (bod) taký, že S je stred úsečky AA1

21. 7. Otočenie, posunutie Definícia otočenia: Otočenie je zhodné zobrazenie určené stredom a orientovaným uhlom otáčania. Otáčanie má 1 samodružný bod a to je stred (S) otáčania. Otáčanie každému bodu A, ktorý nepatrí S priradí bod A1 tak, že uhol ASA1= α. Definícia posunutia: Je to zhodné zobrazenie, ktoré je určené veľkosťou a smerom posunutia. Vektor posunutia je orientovaná úsečka.

27. 8. Rovnoľahlosť Definícia rovnoľahlosti: Rovnoľahlosť (homotetia) H. (S,h)- so stredom S a koeficientom h (rôzne od 0) priradí každému bodu A (A sa nerovná S) bod A1, že |SA1|= |h|. |SA|, pričom ak h>0, tak A1 patrí polpriamke SA ak h<0, tak A1 patrí polpriamke SA* *- opačná polpriamka k polpriamke SA Rovnoľahlosť: - zachováva rovnobežnosť - je podobné zobrazenie

28. K bodom A,B nájdi A1,B1 tak že: |SA1|= 2. |SA| |SB2|= 2. |SB|

29. Zobrazte H(S,3) a H(S,-3): Zobraz ∆ABC ak S je v ∆.

30. 9. Príklady • Podobnosť:∆ABC je podobný s ∆KLM. Dĺžky strán a= 3,5cm b= 4cm c=5cm m=7cm ... Určte pomer podobnosti, o akú podobnosť ide, a veľkosti ostatných strán. (k= 4,9cm l= 5,6cm pomer podobnosti 1,4) • Euklidove vety: Vc=4 , a=5 ... Vypočítajte dĺžky strán b,c. (b= 20/3 c= 3) • Euklidove vety: ca= 1,8cm cb=3,2cm ... Vypočítajte dĺžky a,b,c,Vc, obvod. (a=3cm, b=4cm, c=5cm, o=12cm Vc=2,4cm) • Uhly: Dopočítajte uhly...