第六章複利及年金

前週介紹章節重點複習： 問1：何謂複利？第六章複利及年金 • 答1：指利息計算之基礎，不但包括投入之本金，尚包括已賺得而尚未支付之利息，即利息投入本金繼續生利息

前週介紹章節重點複習： 問2：何謂年金？第六章複利及年金 • 答2：係指連續定期支付（或收取）定額之給付

前週介紹章節重點複習： 問3：年金複利終值有那些？第六章複利及年金 • 答3： 1、單一金額複利終值 2、普通年金複利終值 3、到期年金複利終值 4、遞延年金複利終值

前週介紹章節重點複習： 問4：何謂普通年金複利終值？第六章複利及年金 • 答4：凡於每期期未付或收取之年金

前週介紹章節重點複習： 問6：何謂遞延年金複利終值？第六章複利及年金 • 答6：凡遞延數期之後才開始支付或收受之年金

前週介紹章節重點複習： 問6：何謂到期年金複利終值？第六章複利及年金 • 答6：係於每期期初支付或收受之年金

第六章複利及年金 本週介紹章節為： 6-1　單利與複利 6-2　複利終值及年金終值 6-3　複利現值及年金現值 6-4 現值及終值進階說明

6-3 複利現值 本節主要內容為： 6-3-1 複利現值的種類 6-3-2 單一金額複利現值 6-3-3 普通年金複利現值 6-3-4 到期年金複利現值 6-3-5 遞延年金複利現值

6-3-1 複利現值的種類 現值之意義：係指未來期間可以收取（或支付）之現金，以特定利率換算，約當等於現在之價值，其折算之利率稱為折現率。

6-3-1 複利現值的種類 單一金額複利現值複利現值普通年金複利現值到期年金複利現值遞延年金複利現值

6-3-2 單一金額複利現值 • 單一金額複利現值之意義：係指未來期間可以收取（或支付）之現金，以特定利率換算，約當等於現在之價值。 • 其圖解如下： p a 3 3 a=p(1+i)p=a 1/（1＋i）=ap3 i pn i：表利率i，期數n之複利現值

p=$1,254,400p2 12% p=$1,254,400 1 2 （1＋12％） =$1,254,4000.7971938 =$1,000,000 範例複利現值 6-3-2 單一金額複利現值 1、二年後可得現金$1,254,400，若年利率為12%，請計算其複利現值。 p 1,254,400

範例複利現值 6-3-2 單一金額複利現值 2、10年後可得現金$215,893，若年利率為8%，請計算其複利現值？ p 215 ,893 p=$215,893p10 8% p=$ 215,893  1 10 （1＋8％） =$ 215,893 0.463193 =$100,000

查表 表一　n期利率為i之$1的單一金額複利現值pn i= i 7％ 8％ 9％ 10％ 12％ n 1 0.934580 0.925926 0.917431 0.909091 0.892857 2 0.857339 p=$215,893p10 8% p=$ 215,893  • 0.793832 1 10 （1＋8％） 10 0.463193 =$ 215,893 0.463193 =$100,000

使用計算機按出pn i 1.連續按二次 ÷ 會出現K者： 1＋i ÷ ÷ 1 M＋（按一次）→p1 i M＋（按二次）→p2 i 實例說明第三年底提取存款$100,000，年利率10%，採複利計息，請計算現值？ 100,000× p3 10％ 100,000×0.751315 M＋（按三次）→p3 i

使用計算機按出pn i 2.連續按二次 ÷不會出現K者： 1 ÷ 1＋i ＝（按一次）→p1 i ＝（按二次）→p2 i 實例說明第三年底提取存款$100,000，年利率10%，採複利計息，請計算現值？ 100,000× p3 10％ 100,000×0.751315 ＝（按三次）→p3 i

6-3 複利現值 單一金額複利現值複利現值普通年金複利現值到期年金複利現值遞延年金複利現值

P R R R 6-3-3 普通年金複利現值 • 普通年金複利現值之意義：係就未來各期期末等額支付（或存入）之金額，按複利折現至該年金第一期期初之現值的總和。 • 其圖解及計算公式如下：

1 1 1 ＋R P ＝R ＋R 3 （1＋0.1）＝R ＋＋ 2 3 （1＋0.1）（1＋0.1）（1＋0.1） 6-3-3 普通年金複利現值每年底提取存款$100,000，年利率10%提取三年，採複利計息，請計算三年現值？ 1 2 3 簡單釋例說明 P1 100,000 100,000 P2 100,000 P3 2 （1＋0.1）（1＋0.1） 1 1 1

簡單釋例 說明查表表三　n期利率為i之$1的普通年金複利現值Pn i i 7％ 8％ 9％ 10％ 12％ n 1 0.934579 0.925926 0.917431 0.909091 0.892857 2 1.735537 題目每年底提取存款$100,000，年利率10% 提取三年，採複利計息，請計算三年現值？ P＝100,000×P3 10％ P＝100,000×2.486852 ＝248,685 • 2.486852

6-3-3 普通年金複利現值 東山公司預計將於未來三年內，每年年底自銀行提取現金$1,000,000，若存款利率為8%，則現在應存入若干？範例普通年金複利現值 P 1,000,000 1,000,000 1,000,000 查表三 8％ 1 0.925926 2 1.783265 3 2.577097 P=RPn i =$1,000,000P3 8% =$1,000,0002.577097 =$2,577,097

使用計算機按出Pn i 1.連續按二次 ÷ 會出現K者： 1＋i ÷ ÷ 1 M＋（按一次）→p1 i M＋（即 M+ 按二次）→p2 i 實例說明每年底提取存款$100,000，年利率10%提取四年，採複利計息，請計算四年現值？ 100,000×（ 1+p1 i+p2 i+p3 i）＝100,000× P4 i M＋（即 M+ 按三次）→p3 i MR →p1 i+p2 i+p3 i ＋ 1 →1+p1 i+p2 i+p3 i=P4 i

使用計算機按出Pn i 2.連續按二次 ÷ 不會出現K者： 1 ÷ 1＋i ＝ M＋（按一次）→p1 i ＝ M＋（按二次）→p2 i 實例說明每年底提取存款$100,000，年利率10%提取四年，採複利計息，請計算四年現值？ 100,000×（ 1+p1 i+p2 i+p3 i）＝100,000× P4 i ＝ M＋（按三次）→p3 i MR →p1 i+p2 i+p3 i ＋ 1 →1+p1 i+p2 i+p3 i=P4 i

6-3-4 到期年金複利現值 • 到期年金複利現值之意義：係就未來各期期初等額支付（或存入）金額，按複利折現至該年金第一期期初之現值的總和

6-3-4 到期年金複利現值 到期年金複利現值之圖解及計算公式如下： 0 1 2 3 R R R P 0 1 2 3 R R R P 結論：P=(RP3 i)(1+i)

範例到期年金複利現值 6-3-4 到期年金複利現值東山公司預計將於未來三年內，每年年初自銀行提取現金$1,000,000，若存款利率為8%，則現在應存入若干？查表三 8％ 1 0.925926 2 1.783265 3 2.577097 1,000,000 1,000,000 1,000,000 P P=($1,000,000P3 8%)(1+8%) =($1,000,0002.577097)(1+8%) ＝2.834,807

P R R R 6-3-5 遞延年金複利現值 • 意義：係指凡遞延數期之後才開始支付或收受之年金各期支付（或存入）金額之複利現值的總和稱之。 • 其圖解如下：遞延二期

P R R R 6-3-5 遞延年金複利現值 R R 預借兩期 P=(RP5 i)RP2 i

範例遞延年金複利現值 6-3-5 遞延年金複利現值設大興公司之職員張三預計於第五年底退休，自退休之日起大興公司每年將給他$100,000之退休金，為期五年，大興公司擬於現在存入銀行一筆錢，按年息12%複利，剛好足夠支付退休俸，試問大興公司現在應存入多少錢？ P R R R R R R R R R P=RP9 12%RP4 12% =$100,0005.32825$100,0003.037349 =$229,090 R＝100,000

第六章複利及年金 本週介紹章節為： 6-1　單利與複利 6-2　複利終值及年金終值 6-3　複利現值及年金現值 6-4 現值及終值進階說明

6-4 現值及終值進階說明 本節主要內容為： 6-4-1 插補法 6-4-2 年金終值及年金現值比較說明

6-4-1 插補法 • 適用情形：當利率不知，且利率無法查表得知，可用插補法求之。

範例插補法 6-4-1 插補法友力公司為了籌措廠房擴建資金，擬於每年底提撥基金$2,000,000存入銀行，為期五年。試求： 1.若利率為10%，每年計息一次，五年後之基金有多少？ 2.若利率為12%，每年計息一次，要想累積基金至$20,178,024須時多少年？ 3.若每年複利一次，要想在第五年底累積基金至$12,400,000，利率應該多少？

題目 每年底提撥基金$2,000,000存入銀行，為期五年。試求： 1.若利率為10%，每年計息一次，五年後之基金有多少？解答 1.A=$2,000,000A5 10％範例插補法 6-4-1 插補法 =$2,000,000 =$12,210,200 查表四利率10％，期間五年為 6.105100

題目 每年底提撥基金$2,000,000存入銀行，為期五年。試求： 2.若利率為12%，每年計息一次，要想累積基金至$20,178,024須時多少年？解答設須n年，則 A= An 12％=$20,178,024 6-4-1 插補法範例插補法 2,000,000 2,000,000 =10.089012 n=7，即須七年查表四 n 12％ • 8.115169 7 10.089012

i 10％ 12％ n 5 6.105100 6.352847 範例插補法 6-4-1 插補法每年底提撥基金$2,000,000存入銀行，為期五年。試求： 3.若每年複利一次，要想在第五年底累積基金至$12,400,000，利率應該多少？設利率為i， A= A5 i=$12,400,000 2,000,000 A5 i=6.2 6.2 查表四？

i 10％ 12％ n 5 6.105100 6.2 6.352847 範例插補法 6-4-1 插補法？ 10％ = 6.105100 12％－i 6.352847－6.2 12％－10％ 6.352847－6.1051 ＝ i ＝ 6.2 i ＝ 10.77％ 12％＝ 6.352847

R R R R R R 6-4-2年金終值及年金現值比較說明年金終值年金現值 1 1 P A 2、現值給本利和求本金 2、終值給本金求本利和 3、R 以後不會再生利息（給別人或自已拿走不再生利息） 3、R 投入只有本金，投進去以後會為我繼續生利息

6-4-2 年金終值及年金現值比較說明 • 判斷依據：是求終值 1、判斷投入否為我再生利息否求現值本金求終值 2、判斷是否為本金＋利息或只有本金本金＋利息求現值

6-4-2 判斷是否為年金終值及年金現舉例說明 例一華泰公司於X1年1月1日出售商品一批以取得無息票據，並約定付款分7年攤還，每年$400,000，第一筆於X1年1月1日給付，當時市場利率為10%。試問華泰公司該筆銷貨收入為多少？ 400,000 400,000 p P=$400,000P7 10%×（1＋10％） =$2,144,000

6-4-2 判斷是否為年金終值及年金現值 舉例說明例二廣宇公司於X1年12月31日以無息票據取得機器乙部，並約定自X1年12月31日起，分8年支付，每年給付$200,000。票據發行時，市場利率為11%，試問廣宇公司在X1年12月31日資產負債表上，應付票據之淨額為多少？ 200,000 200,000 p P=$200,000P8 11%×（1＋11％） =$942,400

6-4-2 判斷是否為年金終值及年金現值 舉例說明例三國巨公司於X1年1月2日經董事會決議，自X7年7月1日起完成污染控制設備之興建，估計成本$20,000,000。公司打算成立一基金，一自X3年7月1日起，分4年，每年提撥現金一筆，預期報酬率10%。試問國巨公司每年應提撥多少？ A=20,000,000A4 10%× （1＋10％） =$2,144,000 20,000,000 20,000,000

6-4-2 判斷是否為年金終值及年金現值 舉例說明例四若X1年12月31日購入汽車一輛，付款方式為8年分期付款，每年$50,000，利率8%，第一筆款項於X2年12月31日。試問該汽車銷貨金額為若千？ 50,000 50,000 p P＝$50,000P8 8% =$50,0005.7466 =$287,330

6-4-2 判斷是否為年金終值及年金現值舉例說明例五台積電公司在民國X1年1月1日決定籌措資產重置基金，為期5年，公司打算即日起每年存款$1,000,000，利率9%。試問到X6年1月1日（最後一筆存款後一年），銀行存款餘額為多少 A 50,000 50,000 A=$1,000,000A5 9%×（1＋9％） =$6,523,300

學生自行練習題及討論題 討論方向：年金現值及終值的混合使用，決策應用方式。假設你已投保了意外險，下列死亡給付的幾種方式？ 1.立即付現$100,000。 2.每季末支付$8,000，共4年。 3.立即支付$30,000，並在以後4年中每季支付$5,000。 4.以後10年每季支付$4,350。若年利率為12%，每季計息一次，則你要選擇那一種給付方式？

結束 各位同學在研讀完本章節後，是否對下列主題有所了解： • 單一金額複利現值 • 普通年金複利現值 • 到期年金複利現值 • 遞延年金複利現值 • 插補法 • 年金終值及年金現值差異區分

同學可先行預習 第七章現金下週介紹章節為： 7-1現金簡介 7-2 零用金 7-3 銀行存款調節表

第六章 複利及年金