第十讲 对数与对数函数

1. 第十讲对数与对数函数

2. 走进高考第一关 基础关

3. 教 材 回 归1. 对数概念(1)定义:一般地,对于指数式ab=N,把________________,记作________,其中a叫做对数的________,N叫做________. (2)对数性质①_________________没有对数,即________;②1的对数为0,即_______________________;③底的对数等于1,即_______________________. 以a为底N的对数 logaN 底数 真数 零和负数 N>0 loga1=0(a>0,且a≠1) logaa=1(a>0,且a≠1)

4. (3)对数恒等式:__________________________.(4)常用对数:通常将___________________叫做常用对数,N的常用对数log10N简记为________.(5)自然对数:_______________________________________称为自然对数,N的自然对数logeN简记作________.(3)对数恒等式:__________________________.(4)常用对数:通常将___________________叫做常用对数,N的常用对数log10N简记为________.(5)自然对数:_______________________________________称为自然对数,N的自然对数logeN简记作________. 以10为底的对数 lgN 以无理数e=2. 71828…为底的对数 lnN

5. 2. 对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)____________=logaM+logaN;(2) =______________;(3)____________=nlogaM(n∈R). loga(M·N) logaM-logaN logaMn

6. 3. 换底公式及常见结论(1)换底公式:_______________________________________.(2)常见结论(其中a,b,c>0且a,b,c≠1);loga1a=________,logab=________,logambn=________,logab·logbc·logca=________. -1 1

7. 4. 对数函数的定义:一般地,函数______________________叫做对数函数,它的定义域为___________,值域为____. y=logax(a>0,a≠1,x>0) R (0,+∞)

8. 5. 对数函数的图象与性质

9. (0,+∞) R (1,0) 1 0 y>0 y<0 y<0 y>0 减函数 增函数 x轴

10. 6. 反函数指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)___________,它们的图象关于直线________对称. 互为反函数 y=x

11. 考 点 陪 练1.已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=( )A. ∅B. {x|0<x<3}C. {x|1<x<3}D. {x|2<x<3} 答案:D 解析:由log2x>1,得log2x>log22,∴x>2,即N={x|x>2},∴M∩N={x|2<x<3}.

12. 2.已知函数f(x)的图象与函数y=2-x-1的图象关于直线y=x对称,则f(3)=( )A. 1 B. -1C. -2 D. 2 答案:C 解析:由题意可知f(x)与y=2-x-1互为反函数,因此,f(x)中自变量的值,就是f-1(x)中的函数值.故可令3=2-x-1,解得x=-2即为f(3)的值.

13. 3.已知f(x)=|logax|(0<a<1),则下列各式中成立的是( ) 答案:D

14. 解析:∵0<a<1,∴y=logax是减函数,

15. 4. 已知函数f(x)=logax在( )A.0<a< 或1<a<2B. 0<a< 或a>2C. <a<1或1<a<2D. <a<1或a>2 答案:C

16. 解析:①若a>1,则f(x)=logax在 上是增函数,且当x≥2时,f(x)>0.由|f(x)|>1得f(x)>1,即logax>1.∵当x∈ 时logax>1恒成立， ∴loga2>1, ∴loga2>logaa, ∴1<a<2.

17. (2) 若0<a<1,则f(x)=logax在［２，＋∞）上是减函数，且当ｘ≥２时， f(x)<0．∴由|f(x)|>1得-f(x)>1，∴ f(x) <-1，即logax<-1．∵当ｘ∈［２，＋∞）时，logax<-1恒成立，∴ loga2<-1，∴所求a的取值范围是( ,1)∪(1,2),故答案选C.

18. 评析:在对数函数中如果底数含有字母,通常把底数与1比较大小,进行分类讨论.评析:在对数函数中如果底数含有字母,通常把底数与1比较大小,进行分类讨论.

19. 5.已知不等式:(x-1)2<logax,当x∈(1,2)时恒成立,则a的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(1,2]D.(0, ) 答案:C

20. 解析:设f(x)=(x-1)2,g(x)=logax,分别作出f(x)与g(x)的图象.由题意知在区间(1,2)上,函数f(x)=(x-1)2的图象要在g(x)=logax的图象的下方(如图).由题意可得∴1<a≤2,故选C.解析:设f(x)=(x-1)2,g(x)=logax,分别作出f(x)与g(x)的图象.由题意知在区间(1,2)上,函数f(x)=(x-1)2的图象要在g(x)=logax的图象的下方(如图).由题意可得∴1<a≤2,故选C.

21. 评析:借助于函数的图象解题更能使思路清新直观,体现了数形结合的优越性.评析:借助于函数的图象解题更能使思路清新直观,体现了数形结合的优越性.

22. 解读高考第二关 热点关

23. 类型一:对数的运算解题准备:对数化简求值问题的常见思路:一是将对数的和､差､积､商､幂,转化为对数真数的积､商､幂;二是将式子化为最简单的对数的和､差､积､商､幂,合并同类项后再进行运算,解题过程中,要抓住式子的特点,灵活使用运算法则.类型一:对数的运算解题准备:对数化简求值问题的常见思路:一是将对数的和､差､积､商､幂,转化为对数真数的积､商､幂;二是将式子化为最简单的对数的和､差､积､商､幂,合并同类项后再进行运算,解题过程中,要抓住式子的特点,灵活使用运算法则.

24. 典例1求下列各式的值.(1) ;(2)已知 求 的值. [分析]关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质､对数恒等式､换底公式等进行变形和求解.

25. [解]

26. 类型二:对数函数的图象解题准备:函数图象的确定问题,应抓住定义域､值域､奇偶性､单调性､对称性等特征;识图､用图问题,应观察图象中的特殊点､区域､单调性等特征,将其转化为代数关系式是关键的一步,在这个过程中要设法利用所需要的有效信息来解决问题.类型二:对数函数的图象解题准备:函数图象的确定问题,应抓住定义域､值域､奇偶性､单调性､对称性等特征;识图､用图问题,应观察图象中的特殊点､区域､单调性等特征,将其转化为代数关系式是关键的一步,在这个过程中要设法利用所需要的有效信息来解决问题.

27. 典例2若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是________.典例2若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是________. [分析]先对a分0<a<1和a>1两种情况讨论,画出图象求解.

28. [解]①当0<a<1时,y=|ax-1|的图象如图(1)所示,要使y=2a与y=|ax-1|有两个不同交点,需0<2a<1,∴0<a< ;②当a>1时,y=|ax-1|的图象如图(2)所示,要使y=2a与y=|ax-1|有两个不同交点,需0<2a<1,显然无解.综上易知,0<a< .故填0<a< .

29. [探究1]若不等式2x-logax<0,当x∈ 时恒成立,求实数a的取值范围. [分析]在同一坐标系下画出y=2x与y=logax的图象,数形结合求解.

30. [解]要使2x-logax<0在 上恒成立,即使不等式2x<logax在 上恒成立,即使函数y=2x的图象在 内恒在函数y=logax的下方.由于y=2x的图象过点 ,由图可知需 ,∴函数y=logax递减.

31. 而故所求的a的范围为

32. 类型三:对数函数的性质解题准备:复合函数的单调性y=f(u),u=g(x),则函数y=f(g(x))的单调性有如下特点:类型三:对数函数的性质解题准备:复合函数的单调性y=f(u),u=g(x),则函数y=f(g(x))的单调性有如下特点:

33. 如情况(1),y是x的增函数,其对应关系如下:u=g(x)单增⇔较大的x对应较大的uy⇔f(u)单增⇔较大的u对应较大的r⇒较大的x对应较大的y.如情况(1),y是x的增函数,其对应关系如下:u=g(x)单增⇔较大的x对应较大的uy⇔f(u)单增⇔较大的u对应较大的r⇒较大的x对应较大的y.

34. 典例3已知f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的单调性.典例3已知f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的单调性. [分析]利用函数的性质，结合指数、对数函数知识进行求解．

35. [解] (1)由ax-1>0得ax>1,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)当a>1时,设0<x1<x2,则,故故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.

36. [探究2]已知(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明.[探究2]已知(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明.

37. [解](1)∵ ,令 即(1+x)(1-x)>0,(x+1)(x-1)<0,∴-1<x<1,∴函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)f(x)的奇函数.证明:∴f(x)为奇函数.

38. 笑对高考第三关 成熟关

39. 名 师 纠 错误区一:忽视真数大于零典例1已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求 的值. [错解]因为lgx+lgy=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,所以x=y或x=4y,即 =1或 =4,所以 =0,或 =4.

40. [剖析]错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件,x>0,y>0,x-2y>0,所以x>2y>0,所以x=y不成立.[剖析]错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件,x>0,y>0,x-2y>0,所以x>2y>0,所以x=y不成立. [正解]因为lgx+lgy=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,所以x=y或x=4y,因为x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y应舍去,所以x=4y,即 =4,所以 =4.

41. 误区二:忽视底数的条件典例2已知log2x-2(x2-1)=log2x-2(3x-2)+log2x-2(x-1),则x的取值集合为( )A. {1} B.C. D. ∅

42. [错解]由原方程得所以x2-1=3x2-5x+2,即2x2-5x+3=0,解得x= 或x=1.但当x=1时,x2-1=x-1=0,舍去,故选B.

43. [剖析]上面解法只验证了真数满足的条件,而没有验证底数满足的条件,因为当x= 时,底数2x-2=1,因此也要舍去. [正解]由原方程得log2x-2(x2-1)=log2x-2(3x2-5x+2),所以x2-1=3x2-5x+2,解得x= 或x=1.但当x=1时,x3-1=x-1=0,舍去;当x= 时,底数2x-2=1,舍去.故选D.

44. 解 题 策 略解对数函数问题的一般方法及规律(1)比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数,若底数不相同时,可运用换底公式化为同底数的对数,还要注意与0比较或与1比较.(2)把原函数作变量代换化归为二次函数,然后用配方法求指定区间上的最值,是求指数函数､对数函数的常见题型,在给定条件下,求字母的取值范围也是常见题型,尤其与指数函数､对数函数结合在一起的高考试题更是屡见不鲜.

45. 快 速 解 题典例已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1].若y=g(x)在区间 上是增函数,则实数a的取值范围是( )

46. [解题切入点]y=f(x)的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称,故f(x)=logax,可以写出g(x),注意0<a<1和a>1两种情况的讨论.[解题切入点]y=f(x)的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称,故f(x)=logax,可以写出g(x),注意0<a<1和a>1两种情况的讨论. [分析思维过程] g(x)=logax(logax+loga2-1),这是关于logax的二次函数,由a的取值不同,可确定logax在区间上 的增减性,从而可确定 g(x)在区间 上的增减.

47. [解]方法一:由题意知,f(x)=logax,故g(x)=logax(logax+loga2-1).令t=logax,则h(t)=t2+(loga2-1)t.(1)当0<a<1时,t=logax在 上单减,且t∈ ,对称轴 .因为g(x)在上单增,所以h(t)在上单减,故 ,解得0<a≤ ;

48. (2)当a>1时,t=logax在 上单增且t∈ .因为g(x)在 上单增,所以h(t)在 上单增,故 ,解得a≤ ,与a>1矛盾,舍去.选D.

49. 方法二:由题意知f(x)=logax,则g(x)=logax(logax+loga2-1).令g′(x)= 上,欲使g′(x)>0,只需 (2logax+loga2-1)>0.当0<a<1时,只要2loga +loga2-1≤0,解得0<a≤ ;当a>1时无解.选D.

50. [快解]∵g(x)=logax(logax+loga2-1)在区间 上是增函数.∴g(2)>g( )一定成立.但取 时,g(2)>g( )不成立,故排除A,B,C,选D.