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  1. Trigonometría. Gonzalo Maureira León. Profesor de Matemáticas y Licenciado en Educación.

  2. Objetivos. • Comprender el origen y significado de la Trigonometría. • Identificar las razones Trigonométricas presentes en los triángulos rectángulos. • Realizar diversos ejercicios aplicando los conceptos trigonométricos enseñados.

  3. Trigonometría La trigonometría es una rama de las matemáticas, cuyo significado es la medición de los triángulos, en base a las proporciones de sus lados y ángulos.

  4. Trigonometría • La historia de la trigonometríacomienza en primera parte con los Babilonios y los Egipcios, para ser continuada por Indúes y Griegos.Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.

  5. Trigonometría • Para ser más precisos, la trigonometría estudia la relación existente entre los ángulos y los lados del triángulo.

  6. Trigonometría • Para resolver problemas relacionados con trigonometría se deben manipular adecuadamente las razones trigonométricas, denominadas por: • Seno • Coseno • Tangente • Cosecante • Secante • Cotangente

  7. Trigonometría • Para trabajar en trigonometría se debe tener algún triángulo rectángulo que cumpla con:

  8. Trigonometría

  9. Ejercicios • En los siguientes triángulos rectángulos , calcula las seis razones trigonométricas para sus ángulos agudos.

  10. Ejercicios • En un triángulo, las medidas de sus ángulos son α, β. Además, se cumple que . Determinar las razones trigonométricas restantes.

  11. Ejercicios • Resolver un triángulo equivale a determinar el valor de los tres ángulos y los tres lados. A continuación se dan los tres mínimos que necesitarás para resolver cada triángulo.

  12. Ejercicios • Manuel, un astrónomo principiante, midió el ángulo que se muestra en la figura para calcular la distancia que hay entre los centros de la Luna y la Tierra. Considerando que el radio de la Tierra es 6380 km, ¿qué resultado obtuvo Manuel?

  13. Ejercicios • Determina el ángulo de inclinación mínimo necesario para que el avión de la figura pueda despegar sobrevolando el cerro.

  14. Ángulos de Elevación y Depresión • Ángulos de Elevación: Si un objeto esta por encima de la horizontal (nivel del ojo), se llama ángulo de elevación al ángulo formado por una línea horizontal y la línea visual hacia el objeto.

  15. Ángulos de Elevación y Depresión • Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de largo. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento. • Desde un punto a nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre, el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es de 57º. Calcular la altura de la torre.

  16. Ángulos de Elevación y Depresión • Ángulos de Depresión: Si un objeto esta por debajo de la horizontal, se llama ángulo de depresión al ángulo formado por una línea horizontal y la línea visual hacia el objeto.

  17. Ángulos de Elevación y Depresión • Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 120 metros, el ángulo de depresión de una embarcación es de 15. ¿A qué distancia del faro está la embarcación ? • ¿Cuál es la altura del puente que cruza un río de 35 metros de ancho, si desde uno de los extremos del puente se ve la base del mismo pero del lado opuesto con un ángulo de depresión de 15º?

  18. Ejercicios • Desde un faro, ubicado en la cima de un cerro, se observa un barco con un ángulo de depresión de 30º. Calcular la altura del cerro con el faro incluido.

  19. Ejercicios • El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 70 grados con la horizontal. Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 45 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a 1 m. del suelo. 45 metros x 70º 1 metro

  20. Ejercicios • Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 40 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 67 grados. Determine la altura del edificio señalado. • Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 35 grados y 55 grados. Si la distancia entre sus bases es de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables? .

  21. Ejercicios • Eda observa la estatua del Cristo Blanco con un ángulo de elevación de 53º, sabiendo que se encuentra a una distancia horizontal visual de 6 metros. Calcular la altura del Cristo Blanco.

  22. Ejercicios • Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. Si el ángulo que forma ésta con el piso es de 43º ¿A qué altura de la pared llega la escalera? • Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la misma bajo un ángulo de depresión de 60 grados con respecto a la horizontal.

  23. Control • Determine el otro ángulo y calcule las razones trigonométricas de ambos ángulos encontrados. • Desde la parte alta de una torre de 120m de altura, el ángulo de depresión hacia un objeto que está frente a la base de la torre es de 24º. ¿Qué tan lejos está el objeto del pie de la torre ? ¿A qué distancia del observador está el objeto ?

  24. Sistema π- radián 1π 180º 2π 360º

  25. Circunferencia Goniométrica.

  26. Regla Nemotécnica.

  27. Ejercicios Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 15 m cuando el ángulo de elevación del sol es de . Desde lo alto de un cerro, de 70 metros de altura, se observa una casa con un ángulo de depresión de . Calcular la distancia entre la base de la casa y el cerro, y entre la punta del cerro con la casa A qué altura se encuentra un volantín, si el ángulo que forma el hilo con la base del piso es de y el hilo desplegado tiene una longitud de 20 metros. • Calcular el área y perímetro de la figura si y .

  28. Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 15 m cuando el ángulo de elevación del sol es de

  29. Ejercicios Una chimenea tiene 30 metros de altura más que otra. Un observador que está a 10 metros de distancia de la más baja observa que sus cúspides están en una recta inclinada respecto del suelo con un ángulo de . Hallar las alturas de las chimeneas y la distancia entre el observador y la chimenea mas alta. Dos postes de 18 y 12 metros de altura, y la recta que los une en sus puntos más altos forma un ángulo de con el suelo. Determinar la distancia que los separa (distancia entre postes).

  30. Ejercicios Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo, que está a 40 metros de la base de la antena. Si el alambre forma un ángulo de con el suelo, encuentre la longitud del cable.