导入新课

1. 观察与分析 导入新课 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，如果改变平面与圆锥曲线的夹角，会得到什么呢？

2. 双曲线 抛物线 椭圆

3. 观察与分析 如图：以上三个不垂直于圆锥轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，他们分别是抛物线，双曲线，和椭圆. 因此我们通常把抛物线，双曲线和椭圆统称为圆锥曲线.

4. 圆锥曲线与科研、生活、以及人类生活有着密切的关系.圆锥曲线与科研、生活、以及人类生活有着密切的关系. 早在16，17世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运行是一个椭圆.

5. 喷泉喷出美丽的抛物线 发电厂冷却塔的外形是双曲线

6. 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程

7. 教学目标 知识与能力 • 使同学们对曲线与方程有更系统更完整的认识. • 培养同学们分析曲线的能力.

8. 过程与方法 情感态度与价值观 • 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知. • 通过对圆与方程的感性认识，坐标法研究曲线的方法，进一步学习曲线与方程.

9. 教学重难点 重点 难点 • 掌握曲线的方程，曲线的方程的概念. • 使同学们理解曲线的方程的概念. • 分析曲线的能力.

10. M(x0，y0) 我们知道，在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线的方程是x - y=0，这就是说，如果点 M（x0，y0）是这条直线上的任一点，它到坐标轴的距离相等， 即 x0 = y0，那么， 点 M（ x0，y0） 是方程 x - y=0的解.

11. M(x0，y0) 反过来，如果（ x0，y0）是方程x - y=0的解，即x0=y0， 那么以这个解为坐标的点到坐标轴的距离相等.

12. 一般的，在直角坐标系中，如果某曲线 C（ 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个一元二次方程 : f（x，y）=0的实数解建立如下的关系：

13. （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解; • （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线 • 上的点. • 那么，这个方程叫做曲线方程；这条 • 曲线叫做方程的曲线.

14. 例1： M R O Q 证明：与两条坐标轴的距离的积是常数k（k>0）的点的轨迹方程是xy=±k的解. 图2.1-3

15. M R O Q 证明： （1）如图2.1-3，设M（x0，y0） 是轨迹上的任一点. 因为点M与x轴的距离为|y0|， 与y轴的距离为|x0|，所以 |x0| · |y0|=k，即（x0，y0）是 方程 x y=±k的解. 如图2.1-3

16. （2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程xy=±k的解则x1y1=±k即|x1|·|y1|=k，|x1|，|y1|正是点M1到纵轴和横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程xy=±k的解则x1y1=±k即|x1|·|y1|=k，|x1|，|y1|正是点M1到纵轴和横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点. 由（1）（2）可知x y =±k是与两条坐标的距离的积为常数k（k>0）的点的轨迹方程.

17. 例2： 已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（-2，0），C（2，0）. 问：中线AO（O为原点）所在直线的方程是 x = 0吗？为什么？

18. y O x A B C 解：是，由图可知，等腰三角形ABC的边BC上的中线AO所在直线的方程是：x=0 这里的“曲线”指的是三角形ABC中BC的中线所在的直线x=0是这条曲线的方程.

19. 注意！ 在理解什么是“曲线”时，要注意曲线是满足条件的图形；在理解“方程”时，要注意方程包含对其中未知数的限制. 比如本例题中，三角形ABC中BC的中线的方程是x=0（0≥y≥3）.

20. 课堂小结 “曲线方程”的概念 ： • （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解 • （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线 • 上的点 • 那么，这个方程叫做曲线方程；

21. “方程的曲线”的概念 ： • （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解 • （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线 • 上的点 • 那么，这条曲线叫做方程的曲线.

22. 高考链接 2.（2006北京理） 已知：曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离比它到直线m:y=4的距离小3.不经过坐标原点的直线与曲线l相交于两个不同点A,B，且以AB为直径的原经过坐标原点O

23. （1）求曲线方程C的方程； （2）求证：直线l过顶点，并求出该顶点的坐标； （3）三角形ABF的面积是否存在最小值？若不存在请说明理由； （4）设曲线C在点A、B处发热切线分别为l1，l2，证明l1与l2的焦点必定在定直线m：y=-4上.

24. 解： （1）解法1：依题意，可知，曲线C是“平面内到顶点F（0，1）的距离与到定直线y=-1的距离相等的点的轨迹”，所以它是以F（0，1）为焦点，以直线y=-1为准线的抛物线. 所以曲线C的方程式x2=4y.

25. （1）解法2： 设点P的坐标为（x，y），依题意指点P必定在直线m的上方， 即y >-4于是 |PF|= |y+4|- 3= y+1，所以 整理得x2=4y 所以曲线C的方程是x2=4y. 它是以F（0，1）为焦点， 以直线y=-1为准线的抛物线.

26. （2）直线l的斜率显然存在，又直线l不经过坐标原点，故可设直线l的方程为 y=kx+b（b≥0），并设A（x1，y1）， B（x2，y2） 由 ，消去y，整理得 x2- 4kx - 4b=0① ∴ x1+x2=4k② x1x2=-4b③

27. 若以AB为直径的圆过坐标原点O则 ∴x1x2+y1y2=0， 即 ④ 将③带入④， 得 解的b=4或b=0（舍去） 所以x1x2=-16，⑤ ∴直线l的方程为y=kx+4， 显然，直线l过定点M（0，4）

28. （3）由弦长公式得 把②⑤带入上式，得 设点F（0，1）到直线l：kx-y+4=0的距离为d，则

29. ∴ ∴当k=0时，S△AFB有最小值，是12 ∴ △AFB的面积存在最小值，最小值是12.

30. （4）曲线C的方程可化为 则 ， 所以l1的方程为： l2的方程为： ⑥ ⑦

31. 解⑥⑦联立方程组，得 所以l1与l2的焦点为 M（2k，-4） 它恒定在直线m：y=-4上.

32. 课堂练习 1.下面各对方程中表示的曲线相同的一对是（ ）. （A） y2=x与y=x （B）y=x与 y / x=1 （C）｜y｜=｜x｜与y2=x2 （D）y=lgx2与y=2lgx C

33. 2. 如果命题“坐标满足方程f (x, y)＝0的点都在曲线c上”是不正确的，那么下列命题正确的是（ ）. D A. 坐标满足方程f (x, y)＝0的点都 不在曲线c上 B. 坐标满足方程f (x, y)＝0的点有 些在曲线c上，有些不在曲线c上 C. 曲线c上的点不都满足方程f (x, y)＝0 D. 一定有不在曲线c上的点，其坐标满足 方程f (x, y)＝0

34. 填空题： 1.已知△ABC的面积为4，A、B两点的坐标分别是（－2，0）、（2，0），则顶点C的轨迹方程是 ______________ . y=2和 y =－2

35. 2.m=－2是直线 (2－m )x＋my+3=0和 直线 x－my－3=0互相垂直的__________________ . 充分而不必要的条件 解答题 1.若直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0， l3：ax+y+1=0能围成三角形,求a的取值范围.

36. 解：由l1、l2相交，需要1·a-1·1≠0，得到 a ≠1，此时，解方程组 可解得.即l1，l2的交点为（-1-a，1），由l1、l3相交，需1·1-a·a≠0,∴a≠±1, 又(-1-a,1) 不∈l3∴a·(-1-a)+1+1≠0, 得a≠1且a≠-2, 综上，a∈R且a≠±1且a≠-2,能保证三交点 (-1-a,1),(1,-1-a)、(-1-a,-1+a+a2)互不重合，所以所求a的范围为 a∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).

37. 2.已知直线x+3y-7=0， kx-y-2=0和x轴、y轴围成 四边形有外接圆，求k. 解：如图，设围成四边形为OABC，因OABC有外接圆，且∠AOC＝90°，故∠ABC＝90°. ∴两条直线x+3y-7=0,kx – y – 2 = 0互相垂直，(- )·k=-1，即k=3.

38. 教材习题答案 1.已知等腰三角形的三个顶点坐标分别是（0，3）（-2，0）（2，0）.中线AO（O为原点）所在直线方程是x=0吗？为什么？ 解：是，容易求出等腰三角形ABC的变BC上的中线AO所在的直线是x=0.

39. 2.已知方程ax2+by2=2的曲线经过A(0, )和点B(0,0)求a，b的值. 解：a=，b=

40. 与本节内容相关的课后习题： A组的第1题： 点A(1,-2),B(2,-3), C(3,10)是否在方程 x2-xy+2y+1=0 表示的曲线上？为什么？ 解：点A(1,-2), C(3,10)在该曲线上，而B(2,-3)不在该曲线上.