第一章式的運算

第一章式的運算 • 1－1多項式的四則運算 • 1－2因式分解 • 1－3方程式的解法回總目次

1-1　多項式的四則運算 1. 多項式的相等定義 2. 多項式的乘法 3. 多項式的除法定理 4. 綜合除法

多項式的相等定義 設二多項式 f (x) = an x n+an–1 x n–1+……+a1 x+a0 , an≠0 g (x) = bm x m+bm–1 x m–1+……+b1 x+b0 , bm≠0 則f (x) = g (x)的意思是 n = m且an= bm，an–1= bm–1，……，a1= b1，a0= b0 即次數相等且次數相同的對應項係數相等

多項式的乘法 設 f (x) = an x n + an–1x n–1 + ……+ a1x + a0 g (x) = bm x m + bm–1x m–1 + ……+ b1x + b0 則 f (x)．g (x) = anbm x n+m + (anbm–1 + an–1bm) x n+m–1 + …… + (a1b0 + a0b1) x + a0b0

多項式的除法定理 若f (x)、g (x)為二多項式且g (x)≠0，則恰有二多項式g (x)及r (x)合乎 f (x) = g (x)．q (x) + r (x)，其中r (x) = 0或 deg r(x) < deg g(x) 即被除式 = 除式 ×商式 + 餘式

綜合除法 設被除式 f (x) = an x n + an–1xn–1 + ……+ a1x + a0 除式g (x) = x – b 則綜合除法的演算過程如下可得商式為q (x) = cn–1x n–1 + cn–2 x n–2 +……+ c1x + c0 餘式為r

1-2　因式分解 1. 餘式、因式定理 2. 一次因式檢驗定理 3. 因式分解基本公式

1.　餘式定理： (1)　多項式f (x)除以x–α的餘式為f (α) (2)　設a≠0，多項式f (x)除以ax–b的餘式為f ( ) 2.　因式定理：設a≠0，則ax – b | f (x)f ( ) = 0 餘式、因式定理

一次因式檢驗定理 設f (x) = anxn + an–1xn–1 + ……+ a1x + a0為一個整係數 n 次多項式，若整係數一次式ax –b為f (x)的因式，且a、b互質，則a|an，b|a0

因式分解基本公式 1.　平方差公式：a2 – b2 = (a + b)(a – b) 2.　完全平方公式： (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 3.　立方和公式：a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 4.　立方差公式：a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) 5.　完全立方公式：a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3

1-3　方程式的解法 1. 一元一次方程式的解 2. 一元二次方程式的解 3.一元二次方程式的根與係數的關係

設a、b為實數，則方程式ax + b = 0的解為 1.　若a≠0，則x = ，即x恰有一解 2.　若a = 0，b≠0，則x無解 3.　若a = 0，b = 0，則x為任意實數，即x有無　限多解一元一次方程式的解

設ax2 + bx + c = 0，其中a、b、c為實數，a≠0，則 1.　當b2– 4ac > 0時，有二相異實根為 2.　當b2– 4ac = 0時，有二相等實根，x均為 3.　當b2– 4ac < 0時，則x無實根一元二次方程式的解

若α、β為一元二次方程式ax2 + bx + c = 0 之二根，則 1.α+β= 2.αβ= 一元二次方程式根與係數的關係

第一章 式的運算