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関数型言語の基礎

関数型言語の基礎. 型なし l 計算 型理論 構成的プログラミング GUI にあらわれる関数概念 PBD VL VSL (Visual Scripting Language). l 計算. 手続き型言語では add1( x )= x +1 (1) によって関数 add1 を定義する。これは add1 の関数としての振る舞いは定義するが、関数そのもの表現を与えない。 「 x をもらって x +1 を返す関数 」そのものの表現として l x . x +1 をもちいる。関数を構成する操作を l 抽象 とよぶ。 これにより、 (1) は

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関数型言語の基礎

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  1. 関数型言語の基礎 • 型なしl計算 • 型理論 • 構成的プログラミング • GUIにあらわれる関数概念 • PBD • VL • VSL (Visual Scripting Language)

  2. l計算 手続き型言語では add1(x)=x+1 (1) によって関数add1を定義する。これはadd1の関数としての振る舞いは定義するが、関数そのもの表現を与えない。「xをもらってx+1を返す関数」そのものの表現として lx.x+1 をもちいる。関数を構成する操作をl抽象とよぶ。 これにより、(1)は add1= lx.x+1 と等価で、add1を単独でデータとして用いることができる。

  3. 関数適用 実引数3を渡して値を計算するのに add1(3) のよう表現するのと同様、 (lx.x+1)(3) のように表す。この（関数呼び出しの）操作を関数適用という。 実際に実引数を関数本体に代入する操作 (lx.x+1)(3)　⇒　 3+1 をb簡約 (b-conversionあるいはb-reduction) という。

  4. 高階関数 n引数関数 f(x1,…,xn) は lx1.(lx2.(…(lxn. f(x1,…,xn))…)) とあらわせる。（カリー化Currying） 問い　 （2項演算の）足し算を高階関数で表せ。

  5. l計算の構文 Var ::= v | Var’ Term ::= Var | (Term Term) | (l Var. Term) Termはl項(lterm)という。 略記法 M1M2M3… Mn は　((…((M1M2) M3 )…) Mn) l x1x2 …xn. Mは　(l x1. (lx2 . (…(xn. M )…))) の略記法 例：　 l xyz. xz(yz)は ( l x .(l y .(l z. (( xz)(yz)))))

  6. 束縛変数と自由変数 lx. y(ly. xy) 1 23 1のyは自由変数 2,3のx,yは束縛変数

  7. a同値と代入 束縛変数の名前だけが違うものは同一視する （a同値）。またa同値なものに置き換える操作を a変換(a-conversion)という。 l項Mの自由変数xをl項 Nでおきかえる操作を代入という。結果をM[x:=N]と書く。 おきかえの際、 Nが自由変数yをもち、 Mの束縛変数yのl束縛のスコープに自由変数xがあれば、 あらかじめMの束縛変数yをべつの名前に換える。 問： l y.xy [x:=lx. xy]

  8. b-簡約の定義 代入をつかってb-簡約の定義の定義を書くと (lx.M)N ⇒M[x:=N] この両辺を等しいものと考え (lx.M)N =M[x:=N] と書く。等号=の公理は他に

  9. l計算による算術プログラミング

  10. 数の表現 cn≡lfx . fn(x) ここで、 Mn(N) ≡ M(M(…(M N) …)) n個 c0≡lfx . xとする チャーチ数(Church numeral)

  11. 算術演算 A+≡ lxypq . xp(ypq) A* ≡ lxyz . x (yz) Aexp≡ lxy . yx とすると、 A+ cm cn = cm+n A* cm cn = cm* n A^cm cn= cm^ n

  12. 条件式 true ≡lxy . x false≡lxy . y ifLthenMelseN ≡LMN とすると、 iftruethenMelseN = M iffalsethenMelseN = N

  13. 組 [M, N] ≡lz . zMN fst ≡lx . x true snd ≡lx . x false とすると fst [M, N]=M snd [M, N]=N

  14. 不動点演算子 階乗をもとめる関数factの再帰的定義： fact(n) = ifn=0 then 1 elsen*fact(n-1) 高階関数Fの定義： F(f)(n) = ifn=0 then 1 elsen*f(n-1) とすると、 factは f に関する方程式 F(f) = f の解。このときf はFの不動点という。関数にたいしてその不動点を求める関数（不動点演算子）をFixと書くと、 Fix(F) = F(Fix(F))

  15. 不動点コンビネータ Y ≡ lf.(lx . f(xx))(lx . f(xx)) とすると任意のl式Mについて M (Y M) = Y M このYを不動点コンビネータという。 不動点コンビネータはl式を関数とみたときの不動点演算子

  16. 帰納的定義 任意のl式Mにたいして、 H = lx1…xn.M[h:=H] を満たすl式Hが存在する。 証明：H ≡ Y (lhx1…xn.M)とせよ。

  17. 算術関数 「0」 ≡ lx.x 「n+1」 ≡ [false, 「n」] succ ≡ lx .[false, x] pred≡ lx.x false iszero ≡ lx.x ture

  18. Church数に対する算術関数 succC≡ lxyz.y(xyz) predC≡ lxyz.x(lpq.q (py))(lv.z)(lv.v) iszeroC≡lx.x succ 「0」 true

  19. 関数の表現 fact をl式で書け

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