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1. 011011010101001001010100010010110001001010100100100110010010 010010100100101100101010010011001001011011110110001011101011 101000101110010011000101100100101001001110010010011001001001 100111001010010100011010101001001010100100101010011001001001 010010100100101100101010010011001001011011110110101110101001 101000101110010011000101100100101001001110010010011001001001 100111001010001010101010101001001010010010110000010010011010 010010100100101100101010010011001001011011110101010101110101 101000101110010011000101100100101001001110010010011001001001 100111001010001010101001001010110110101011000101001001001110 010010100100101100101010010011001001011011110110000101110101 101000101110010011000101100100101001001110010010011001001001 100111001010001010101010100111101101101010100100110010010010 010010100100101100101010010011001001011011110110101011101011 101000101110010011000101100110110101000100100101100100100101 010010100100101100101010010011001001011011100101010111010111 101000101110010011000101100100101001001110010010011001001001 100111001010001010101010100111000101 01001001111100100100101 100111001010001010101010100111001010100100100010010011101101 Une approche consistante au calcul quantique DavidPoulin LITQ Université de Montréal† Directeur: Gilles Brassard † Adresse actuelle: Département de physique, Université de Waterloo et T-6 Division, Los Alamos National Laboratory Javier 2002

2. Aperçu • CQ. • Y a-t-il un avantage au CQ? • Puissance de calcul de la mécanique quantique. • Puissance de communication de la MQ. • Formalisme des Histoires Consistantes. • HC pour le CQ. • HC pour l’étude de la puissance de calcul • de la MQ. David Poulin, LITQ Université de Montréal

3. CQ Quantique 1 qubit  | +  |1||2 + ||2=1 n qubits ex. 4 qubits: |7 = |0111 Mesure  i avec probabilité |ci|2 Classique 1 bit 0 ou 1 n bits 000...0 (0) 000...1 (1)  111...1 (2n-1) Mesure b1b2b3...bn  b1b2b3...bn David Poulin, LITQ Université de Montréal

4. CQ |a |a |b if a=0 |b |b if a=1 |0  (|0+ |1) U |1  (*|0-*|1) Classique Quantique A NAND (A B) B A B B A A A A David Poulin, LITQ Université de Montréal

5. CQ – Les exploits Les calculateurs quantiques peuvent simuler les calculateurs classiques de façon efficace. • Nous croyons que l’inverse n’est pas vraie. • Si factoriser est difficile. (Sous groupe abélien caché) • Problèmes NP complets avec calculateur adiabatique. • Gain quadratique (boîte noire). • Simulation de systèmes quantiques. David Poulin, LITQ Université de Montréal

6. CQ – Les exploits Oui Possible de simuler efficacement les CQ. Non Avantage au CQ. En partie Certaines parties de nos algorithmes quantiques ne sont pas fondamentalement quantique!  Quel est l’ingrédient qui donne l’avantage calculatoire à la MC? (le cas échéant) Gaspillons-nous des ressources quantiques? David Poulin, LITQ Université de Montréal

7. Avantage calculatoire de la MQ Interférence Superposition États non orthogonaux Aucune propriété dynamique Enchevêtrement Espace de Hilbert de taille exponentielle Réduction du paquet d’onde Classiquement aussi Choix de base Ondes classiques David Poulin, LITQ Université de Montréal

8. Avantage de communication de la MQ Enchevêtrement • Téléportation • Codage dense • Réduction de la complexité de communication • Pseudo télépathie États non orthogonaux • BB84 • Pile ou face • Réduction de la complexité de communication • ... • Interdiction de cloner Conditions nécessaires et suffisantes? David Poulin, LITQ Université de Montréal

9. Formalisme des histoires consistantes Au temps t, le spin d’un électron pointe vers le haut.   † † Événement: Un sous espace et un temps. Projecteur dans la représentation de Heisenberg. Histoire: Suite d’événements. Ensemble ordonné de projecteurs dans la représentation de Heisenberg. David Poulin, LITQ Université de Montréal

10. Formalisme des histoires consistantes Mauvais comportement selon la logique classique. x a b Probabilité d’une histoire: † David Poulin, LITQ Université de Montréal

11. Formalisme des histoires consistantes 1.Ensemble exhaustif de projecteurs disjoints (EEPD): 2.Discrétisation du temps: 3.Choix de EEPD à chaque temps: Cadre logique: Dans ce cadre, toute déduction logique est consistante. David Poulin, LITQ Université de Montréal

12. Formalisme des histoires consistantes Histoire = vecteur d’indices Famille exhaustive d’histoires exclusives: Toutes les combinaisons possibles d’indices David Poulin, LITQ Université de Montréal

13. Formalisme des histoires consistantes Fonction de cohérence: histoire  histoire C † Probabilité: Éléments diagonaux. Termes hors diagonaux: Interférence entre les histoires. David Poulin, LITQ Université de Montréal

14. Formalisme des histoires consistantes q(t) q’(t) (q0,q0’)eiI[q(t)]-I[q’(t)] (qf-qf’) D(;) =   t0 tf David Poulin, LITQ Université de Montréal

15. Formalisme des histoires consistantes Cadre logique: Nécessaire & Suffisant Interprétation... (débattue) Critère de classicalité Règle de supersélection Transition quantique-classique (Conditions plus restrictives) David Poulin, LITQ Université de Montréal

16. Formalisme des histoires consistantes Consistance  Insensibilité mutuelle des mesures L’état est perturbé par la mesure mais les statistiques des autres mesures n’en sont pas affectées. Dynamique effective. David Poulin, LITQ Université de Montréal

17. HC pour le CQ Algorithme quantique: Automatiquement consistant Définition naturelle des temps tk Conditions plus faible Retour d’information † Extension consistante: Est-il possible de faire une extension consistante locale de cette famille? David Poulin, LITQ Université de Montréal

18. HC pour le CQ 2.Mesure complète dans une base locale à chaque temps. Calculateur quantique = 1.Mesure complète dans la base de calcul à chaque temps. Évolution quantique cohérente sur superposition quantique. = Évolution stochastique classique sur mélange statistique. David Poulin, LITQ Université de Montréal

19. HC pour le CQ 3.Mesure partielle dans une base locale entre certaines portes. (avec retour d’information) Calculateur hybride classique-quantique Seulement les parties fondamentalement quantiques exécutées sur un calculateur quantique. Est-ce possible? TFQ semi-classique de Griffiths & Niu. David Poulin, LITQ Université de Montréal

20. HC pour l’étude du CQ Pseudo état de Bell:           Si État pseudo pur: Petite polarisation  pas d’enchevêtrement David Poulin, LITQ Université de Montréal

21. HC pour l’étude du CQ  Dynamical Static Lorsque  < c , il n’y a pas d’enchevêtrement donc pas d’avantage calculatoire! L’état du calculateur peut être représenté par un mélange statistique de spins classiques à chaque étape du calcul. (Simulation classique efficace) Fait établi: Forte décohérence  Simulation classique efficace Forte décohérence  Petit  David Poulin, LITQ Université de Montréal

22. HC pour l’étude du CQ Présence d’états non orthogonaux. Aspect quantique Fonction de cohérence pour état p.p.: Modèle de spins classiques ne peut expliquer la dynamique du calculateur à haute entropie! Aucune explication classique de la dynamique. David Poulin, LITQ Université de Montréal

23. Conclusion • Puissance de calcul de la mécanique quantique? • HC sont un outil permettant d’étudier cette question. • (Parmi d’autre...) • Distinction propriété statiques et dynamiques. • Nouvel indice sur l’aspect quantique du calcul. • Question ouverte: • Classe de modèles classiques qui requièrent la consistance. David Poulin, LITQ Université de Montréal